高中数学-任意角教学设计学情分析教材分析课后反思

青岛高一数学导学案课题：任意角编写人：使用时间：●知识与技能目标：理解任意角的概念(包括正角、负角、零角

与区间角的概念）●过程与能力目标：（一）会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角；（二）会书写终边相同角的集合；（三）掌握区间角的集合的书写．．●情感与态度目标：（一）提高学生的推理能力；（二）培养学生应用意识．●教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写．●教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．【课堂教学探究】★探究一、任意角的概念角的概念的推广角的构成要素【即时训练1】从中午12点到下午3点，时针走过的角度是_______.钟表经过4小时，时针与分针各转了_____________.★探究二、象限角【即时训练2】下列各角：-50°，405°，210°,-200°，-450°分别是第几象限角？【小组探究】思考1：-32°，328°，-392°是第几象限角？这些角有什么内在联系？思考2：所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？【典例精析】例1.在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.【自主探究】思考4：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？例2.写出终边在y轴上的角的集合.变式训练：终边在x轴上的角的集合分别如何表示？例3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.【随堂检测】1、指出下列各角是第几象限内的角（黑板）2、写出终边在直线y=-x上的角的集合S【课后探究】1.(2015·安溪高一检测)在①160°；②480°；③-960°；④1530°这四个角中，属于第二象限角的是()A.① B.①② C.①②③ D.①②③④2、写出终边在直线y=QUOTE33x上的角的集合.《任意角》学情分析学生在理解终边相同的角的表示方法上，出现障碍，原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质。学生在学习了教材例1后，做跟踪练习时仍然感到困难，其原因是：当角为负叫时，在0度-360度范围内找出终边相同的角，不知怎样计算。学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角）出现障碍，原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解。效果分析围绕问题，让学生从日常学习、生活经验中理解知识。在问题设计上尽量与学生日常经验相联系，易于学生掌握2.营造了有利于能力发展的教学环境。通过钟表一小时时、分、秒针转过的角度与运动项目转体1080度来激发学生的学习欲望，然后通过学生熟知的知识结论由来，得到任意角的过程。通过数学猜想的展示，让学生体会伟大的发现原来就潜伏在身边，激发学生的学习乐趣.3.让学生在探究中发现、创造。通过学生自主处理问题，猜测、表达与交流等探索活动，获得知识。通过例题展示，与变式训练巩固强化知识，并灵活应用。《任意角》教材分析一、地位和功能任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念,对三角内容的整体学习至关重要.同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备,通过这部分内容的学习，又可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。所以这个内容要认真探讨教材,精心设计过程.。二、教学目标知识与技能目标：理解任意角的概念(包括正角、负角、零角与区间角的概念）过程与能力目标：（一）会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角；（二）会书写终边相同角的集合；（三）掌握区间角的集合的书写．．情感与态度目标：（一）提高学生的推理能力；（二）培养学生应用意识．三、教学重点和难点教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．本节课采用范例分析、媒体演示、分层教学等启发发现法进行教学；课堂学习上，鼓励学生采取课前预习、分组讨论、归纳总结等课堂讨论法进行学习；教法与学法协助提高，从而达到举一反三、触类旁通、提高课堂学习效率的效果。《任意角》评测练习（一）基础练一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2015·安溪高一检测)在①160°；②480°；③-960°；④1530°这四个角中，属于第二象限角的是()A.① B.①② C.①②③ D.①②③④【解析】选C.①160°角是第二象限角；②480°=360°+120°，其终边与120°角终边相同，是第二象限角；③-960°=-3×360°+120°其终边与120°角终边相同，是第二象限角.④1530°=4×360°+90°其终边与90°角终边相同，不是第二象限角，故属于第二象限角的是①②③.2.(2015·天水高一检测)已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A，B，C关系正确的是()A.B=A∩C B.B∪C=CC.AC D.A=B=C【解析】选B.由题意得BA∩C，故A错误；BC，所以B∪C=C，故B正确；A与C互不包含，故C错误；由前面的分析可知D错误.【延伸探究】本题条件下，增加D={小于90°的正角}，则D与A，B，C的关系是什么？【解析】因为D=B，BC，BA，所以DC，DA.3.若α是第三象限角，则180°-α是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】选D.方法一：特殊值法，给α赋一特殊值181°，则180°-181=-1°，是第四象限角，故180°-α是第四象限角.方法二：若α是第三象限角，则-α是第二象限角，将终边逆时针方向旋转180°得180°-α，是第四象限角.【延伸探究】本题条件下，分析90°+α，180°+α，90°-α，别是第几象限角.【解析】角α是第三象限角，将其终边逆时针旋转90°，得90°+α的终边，此角是第四象限角；将α终边逆时针旋转180°，得180°+α的终边，此角是第一象限角，因为角-α是第二象限角，将-α终边逆时针旋转90°，得90°-α的终边，此角是第三象限角.二、填空题(每小题4分，共8分)4.已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内，那么β∈________.【解析】观察图形可知-30°+k·360°<β≤135°+k·360°，k∈Z，所以β∈{β|-30°+k·360°<β≤135°+k·360°，k∈Z}.答案：{β|-30°+k·360°<β≤135°+k·360°，k∈Z}【延伸探究】将本题中角β的终边所在范围改为下图，结果又如何？【解析】观察图形可知{β|-40°+k·180°≤β≤30°+k·180°，k∈Z}.5.若α=1590°，(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式为________.(2)使θ与α的终边相同，且-360°<θ<360°，则θ=________.【解析】(1)α=4×360°+150°(k=4，β=150°).(2)因为θ与α终边相同.所以θ角可写成k·360°+150°(k∈Z).由-360°<k·360°+150°<360°(k∈Z)解得k=-1，0.所以θ=-210°或150°，答案：(1)4×360°+150°(2)-210°或150°三、解答题6.(10分)如图，已知直线l1：y=QUOTE3333x及直线l2：y=-QUOTE33x，请表示出终边落在直线l1或l2上的角.【解析】由题意知，终边落在直线l1上的角的集合为M1={α|α=30°+k1·360°，k1∈Z}∪{α|α=210°+k2·360°，k2∈Z}={α|α=30°+k·180°，k∈Z}.终边落在直线l2上的角的集合为M2={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}={α|α=120°+k·180°，k∈Z}.所以终边落在直线l1或l2上的角的集合为M=M1∪M2={α|α=30°+k·180°，k∈Z}∪{α|α=120°+k·180°，k∈Z}={α|α=30°+2k·90°，k∈Z}∪{α|α=30°+(2k+1)·90°，k∈Z}={α|α=30°+n·90°，n∈Z}.【补偿训练】写出终边在直线y=QUOTE33x上的角的集合.【解析】在0°～360°范围内，终边在直线y=QUOTE33x上的角有两个：60°和240°.因此终边在y=QUOTE33x上的角的集合为S={β|β=60°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=240°+k·360°，k∈Z}=QUOTEββ=60°+2k×180°,k∈Zββ=60°+2k×180°,k∈Z∪β=QUOTEββ=60°+n×180°,n∈Zββ=60°+n×180°,n∈Z.（二）提升练一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·吉安高一检测)下列说法中，正确的是()A.钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角B.第三象限的角必大于第二象限的角C.小于90°的角是锐角D.-95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角【解析】选D.A错误.钝角必是第二象限角，但是第二象限角不一定是钝角.例如：-181°是第二象限角但不是钝角.B错误.例如：-120°是第三象限的角，120°是第二象限的角，但是-120°<120°.C错误.例如：-10°小于90°，但不是锐角.D正确.984°40′=-95°20′+3×360°，264°40′=-95°20′+360°，所以-95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角.2.(2015·成都高一检测)集合M={x|x=QUOTEk·180°2k·180°2±45°，k∈Z}，P=QUOTExx=k·180°4±90°,k∈ZA.M=P B.M⊆PC.M⊇P D.M∩P=∅【解题指南】现将集合M，P中的角都改写为m·45°，m∈Z的形式，再分析两个集合之间的关系.【解析】选B.对集合M来说，x=(2k±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x=(k±2)45°，即45°的倍数.二、填空题(每小题5分，共10分)3.集合A={α|α=k·90°-36°，k∈Z}，B={β|-180°<β<180°}，则A∩B等于__________________.【解析】因为A={α|α=k·90°-36°，k∈Z}，所以当k=-1时，α=-126°，当k=0时，α=-36°，当k=1时，α=54°，当k=2时，α=144°，又B={β|-180°<β<180°}，所以A∩B={-126°，-36°，54°，144°}.答案：{-126°，-36°，54°，144°}【延伸探究】将本题中两个集合改为A={α|k·360°-60°≤α≤k·360°+60°，k∈Z}，B={β|k·180°+30°≤β≤k·180°+150°，k∈Z}，如何求A∩B.【解析】画出两个集合所表示角的终边的区域如图所示，由图可知A∩B={α|k·360°+30°≤α≤k·360°+60°，k∈Z}∪{α|k·360°-60°≤α≤k·360°-30°，k∈Z}.4.如果角α与角γ+45°的终边重合，角β与角γ-45°的终边重合，那么α-β=________.【解析】由条件知α=γ+45°+k1·360°(k1∈Z)，β=γ-45°+k2·360°(k2∈Z).将两式相减消去γ，得α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°=2k·180°+90°(k∈Z)，答案：2k·180°+90°(k∈Z)【补偿训练】若α=m·360°+θ，β=n·360°-θ(m，n∈Z)，则α，β终边的位置关系是()A.重合 B.关于原点对称C.关于x轴对称 D.关于y轴对称【解析】选C.因为α=m·360°+θ，β=n·360°-θ(m，n∈Z)，所以α+β=(m+n)·360°(m，n∈Z)，设k=m+n，则α+β=k·360°(k∈Z)，所以β=k·360°-α(k∈Z)，所以β与-α的终边相同因为α与-α的终边关于x轴对称，所以α，β的终边关于x轴对称.三、解答题5.(10分)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，若两只蚂蚁均从点A(1，0)同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值.【解析】根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α=m·360°，m∈Z，，14β=n·360°，n∈Z，从而可知α=QUOTEm7m7·180°，m∈Z，，β=QUOTEn7n7·180°，n∈Z.由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，2α，2β均为第二象限角.因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，所以2α，2β均为钝角，即90°<2α<2β<180°，于是45°<α<90°，45°<β<90°.所以45°<QUOTEm7m7·180°<90°，45°<QUOTEn7n7·180°<90°即QUOTE7474<m<QUOTE7272，QUOTE7474<n<QUOTE7272，又因为α<β，所以m<n，从而可得m=2，n=3，即α=QUOTE36073607°，β=QUOTE54075407°.

《任意角》课后反思利用学生熟知的运动