第九章-二次型-掌握二次型及其矩阵的定义课件

第九章二次型9.1二次型和对称矩阵9.2复数域和实数域上的二次型9.3正定二次型9.4主轴问题研究对象：二次齐次多项式(1)也叫二次型(2)在数学和物理的许多分支都有重要应用(3)展现矩阵的无穷魅力1谢谢观赏2019-8-179.1二次型和对称矩阵学习目标：

1.掌握二次型及其矩阵的定义，

2.理解变量的线性变换

3.掌握矩阵合同的概念

4.掌握二次型的标准形2谢谢观赏2019-8-17一、二次型及其矩阵

1、定义：设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式叫做F上的n元二次型，简称二次型注：（1）二次型的特点（ii）每项都为二次项(2)例：下列是否二次型答:不是答:不是答:是3谢谢观赏2019-8-171）分析：2、二次型的表示约定aij=aji，4谢谢观赏2019-8-17

其中矩阵A称为二次型的矩阵.2）分析：计算5谢谢观赏2019-8-17于是有6谢谢观赏2019-8-173）总结：7谢谢观赏2019-8-174）说明:ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.i）二次型的矩阵A是对称矩阵,即（这表明二次型完全由对称矩阵A决定.)8谢谢观赏2019-8-173、例题:1）求下列二次型的矩阵2）求下列矩阵的二次型4、定义:A的秩1）例，求下列二次型的秩9谢谢观赏2019-8-17

二、变量的线性变换1、定义：是两组变量,关系式称为变量的线性变换

10谢谢观赏2019-8-172、分析：变量的线性变换11谢谢观赏2019-8-173、定义：注：12谢谢观赏2019-8-17即，B为对称矩阵.

4、分析：————

————

也是二次型.13谢谢观赏2019-8-175、总结：（2）问：经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩保持不变（3）例：（1）问：非奇异线性变换实施变量的得到的二次型的矩阵为14谢谢观赏2019-8-17三、矩阵的合同1、定义：设A，B为n阶矩阵，2、基本性质③传递性：①

自反性：②对称性：若存在可逆矩阵P，可使

则称B与A合同。若A与B合同,如果B与A合同，那么A也与B合同如果A与B合同，B与C合同，那么A与C合同。3、性质:任意矩阵A都与自身合同15谢谢观赏2019-8-174、比较：合同，相似A与B合同A与B相似16谢谢观赏2019-8-17F上两个二次型等价，是指：可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.5、定义：

6、分析：7、结论：8、问：17谢谢观赏2019-8-171、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵

平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？2、问：任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成四、二次型的标准形18谢谢观赏2019-8-17证明：对二次型变量个数n作归纳法.假定对n－1元二次型结论成立.下面考虑n元过非退化线性替换化成平方和的形式.

3、定理：数域F上任一二次型都可经n=1时，结论成立.二次型分三种情形来讨论：1)

aii

(i=1,2,…,n)中至少有一个不为零，

不妨设a11

0,这时19谢谢观赏2019-8-1720谢谢观赏2019-8-17

这里，

是一个.的n－1元二次型.配方法21谢谢观赏2019-8-17它是非退化的，且使22谢谢观赏2019-8-17使它变成平方和

于是，非退化线性替换

由归纳假设，对有非退化线性替换23谢谢观赏2019-8-17就使变成2）

但至少有一个

不妨设

作非退化线性替换：

24谢谢观赏2019-8-17不为零.由情形1）知，结论成立.则

这是一个的二次型，且的系数

25谢谢观赏2019-8-17这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立.

总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式.即3）

由对称性，

26谢谢观赏2019-8-174、二次型的标准形的定义:所变成的平方和形式注：1）由上定理知任一二次型的标准形是存在的.

2）可应用配方法得到二次型的标准形.二次型

经过非退化线性替换

的一个标准形.

称为

27谢谢观赏2019-8-17则

解：作非退化线性替换

5、例：求的标准形.28谢谢观赏2019-8-17或最后令

则

或

再令

29谢谢观赏2019-8-17所作的非退化线性替换是

即

则

30谢谢观赏2019-8-176、定理：数域F上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵.31谢谢观赏2019-8-17五、合同变换法（1）互换矩阵的

两行，再互

换矩阵的

两列;1、定义：合同变换是指下列三种变换

（2）以数k（

)乘矩阵的第i

行；再以数k

乘（3）将矩阵的第i行的k倍加

到第

行，再将第

列

的k倍加到第

列（).

矩阵的第i

列.32谢谢观赏2019-8-172、合同变换法化二次型为标准形

又，设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵（1）基本原理：C,使Ｄ＝Ｃ´ＡＣ.

若

为初等阵，则33谢谢观赏2019-8-17对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足就相当于对A作s次合同变换化为D.所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时，又注意到所以，34谢谢观赏2019-8-17（2）基本步骤：②对A作合同变换化为对角矩阵D

对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C③作非退化线性替换X=CY，则即①写出二次型的矩阵A为标准形.D为对角阵,且35谢谢观赏2019-8-173、例：用合同变换求下面二次型的标准形r1+r2

c1+c2解：的矩阵为36谢谢观赏2019-8-17r3+r1r2－r1c3+c1c2－c1－2r2－2c2c3+2c2r3+2r237谢谢观赏2019-8-17作非退化线性替换X=CY,则二次型化为标准形令则38谢谢观赏2019-8-17

①对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对称性－－可利用这一点检查计算是否正确.）

②对A作合同变换时，无论先作行变换还是先作列变换，结果是一致的.

③可连续作n次初等行（列）变换后，再依次作n次相应的初等列（行）变换.4、说明：39谢谢观赏2019-8-17作非退化线性替换f的标准形为5、练习：求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换.答案：40谢谢观赏2019-8-17的矩阵为详解：41谢谢观赏2019-8-1742谢谢观赏2019-8-1743谢谢观赏2019-8-17令则作非退化线性替换X=CY，则f的标准形为44谢谢观赏2019-8-17小结1、二次型的标准形基本概念基本结论定理2、数域P上对称矩阵合同于一个对角矩阵.定理1、任一数域P上的二次型f(x1,x2,…,xn)可经过非退化线性变换X＝CY化为标准形2、合同变换45谢谢观赏2019-8-179.2复数域和实数域上的二次型

学习目标：

1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、

2.掌握实二次型的惯性指标、符号差等概念。

3．掌握实二次型的惯性定律.46谢谢观赏2019-8-17

复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型.一、复二次型1、定理：复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩.

证：条件的必要性是明显的.我们只要证条件的充分性.设A，B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r

，由定理9.1.2，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得即：两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩.

47谢谢观赏2019-8-1748谢谢观赏2019-8-17取n阶复矩阵的一个平方根.49谢谢观赏2019-8-17那么，而因此，矩阵A，B都与矩阵合同，所以A与B合同.50谢谢观赏2019-8-17二、实二次型1、定理：实数域上每一n阶对称矩阵A都合同于如下形式的一个矩阵：（1）

这里r等于A的秩.证：由定理9.1.2，存在实可逆矩阵P，使得51谢谢观赏2019-8-17如果r>0，必要时交换两列和两行，我们总可以假定52谢谢观赏2019-8-17取那么53谢谢观赏2019-8-172、定理：实数域上n元二次型都与如下形式的二次型等价：（1）

这里r是所给的二次型的秩.注:二次型（1）叫做实二次型的典范形式，该定理是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价.在典范形式里，平方项的个数r等于二次型的秩，因而是唯一确定的.54谢谢观赏2019-8-173、定理（惯性定律）：设实数域上n元二次型等价于两个典范形式（2）（3）那么证：

设（2）和（3）分别通过变量的非奇异线性变换（4）（5）55谢谢观赏2019-8-17化为所给的二次型如果不妨设考虑个方程的齐次线性方程组（6）因为所以因此，方程组（6）在R内有非零解.令是（6）的一个非零解.把这一组值代入的表示式56谢谢观赏2019-8-17（4）和（5）.记我们有57谢谢观赏2019-8-17然而所以

因为都是非负数，所以必须又所以是齐次线性方程组的一个非零解.这与矩阵的非奇异性矛盾.58谢谢观赏2019-8-17这就证明了.同理可证得.

所以

4、总结：实二次型都与唯一的典范形式（1）等价.在（1）中，正平方项的个数p叫做所给二次型的惯性指标.

正项的个数p与负项的个数r–p的差s=p–(r–p)=2p–r叫做所给的二次型的符号差.

注意：一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定的.

59谢谢观赏2019-8-175、定理：实数域上两个n元二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩和符号差.证设是实数域上两个n元二次型.令分别是它们的矩阵.那么由定理9.2.2，存在实可逆矩阵P，使得如果等价，那么合同.于是存在实可逆矩阵Q使得.取，那么60谢谢观赏2019-8-17因此都与同一个典范形式等价，所以它们有相同的秩和符号差.反过来，如果有相同的秩r

和符号差s,那么它们也有相同的惯性指标.因此

都与矩阵61谢谢观赏2019-8-17合同.由此推出合同，从而等价.6、推论：实数域R上一切n元二次型可以分成

类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.证

给定.令62谢谢观赏2019-8-17由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰与一个以为矩阵的典范形式等价.当r取定后，p可以取0，1，…

，r

；而r又可以取0，1，…，n

中任何一个数.因此这样的共有个.对于每一个，就有一个典范形式63谢谢观赏2019-8-17与它相当.把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是R上的一切n元二次型恰可以分成

类，属于同一类的二次彼此等价，属于不同类的二次互不等价.7、例：a满足什么条件时，二次型的惯性指标是0，符号差是－2？写出其典范形。64谢谢观赏2019-8-17解实二次型的矩阵为经过合同变换可化为标准形所以当或时，二次型的惯性指标是0，符号差是－2，其典范形为65谢谢观赏2019-8-17三、小结基本概念：这里，

＝秩(f).2、

n元实二次型的规范形这里，

＝秩(f)，p称为f的正惯性指数；称为f的负惯性指数；称为符号差.1、n元复二次型的规范形66谢谢观赏2019-8-17基本结论定理、任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵推论、两个复对称矩阵A、B合同67谢谢观赏2019-8-17定理、任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵其中的个数等于矩阵Ａ的秩.68谢谢观赏2019-8-17推论、两个实对称矩阵A、B合同的充要条件是正惯性指数相等.且二次型与的69谢谢观赏2019-8-17学习目标：

1．掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型的概念。2．掌握实二次型

正定的判

定定理。

9.3正定二次型70谢谢观赏2019-8-17一、正定二次型与正定矩阵1．基本概念

i）正定二次型实二次型

称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有

ii）正定矩阵

实对称矩阵

称为正定的，如果二次型

71谢谢观赏2019-8-172、例：下列实二次型是否为正定的二次型：1）

2）

3）

72谢谢观赏2019-8-17从而例：若，都是阶正定矩阵，

证明：是正定矩阵。证明：

只需证明正定。由，都是正定矩阵，知，

正定，所以对于任意一组不全为零的实数，有，73谢谢观赏2019-8-17实二次型是正定的当且仅当.证明：若正定，则对任意一组不全为零的实数，都有

.分别选取

为，则有

.若.则对任意一组不全为零的实数，都有

所以是正定的。

74谢谢观赏2019-8-17非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变.

设实二次型(1)经过非退化实线性替换

(2)变成二次型(3)则是正定的是正定的。75谢谢观赏2019-8-17证明：若是正定的。对于任意一组不全为零的实数，令由于是可逆实矩阵，故也是一组不全为零的实数，从而

因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时，（1）也正定.76谢谢观赏2019-8-17二、正定二次型的判别

1．判别定理1：

实二次型是正定的它的正惯性指数等于.实二次型是正定的它的规范形为。一个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.例：正定矩阵的行列式大于零.逆命题不成立。反例：

的行列式大于零，但它对应的二次型

不是正定的。77谢谢观赏2019-8-17提示：2．矩阵的顺序主子式：称为矩阵的顺序主子式.矩阵的第个顺序主子式为练习：若是阶实矩阵，则满足（）时，是正定矩阵。78谢谢观赏2019-8-17称为矩阵的顺序主子式.3．判别定理2：实二次型是正定的矩阵的顺序主子式全大于零.79谢谢观赏2019-8-174、例：判定二次型是否正定.

的矩阵为

，它的顺序主子式所以，正定。80谢谢观赏2019-8-17A．，B.非退化，C.的元素全是正实数，D.的主对角上元素全为正。练习：若是正定矩阵，则下列结论错误的是（）。练习：设易知都是正定矩阵，但不是正定矩阵。81谢谢观赏2019-8-17三、小结1、正定二次型；基本概念：2、顺序主子式、主子式正定矩阵；基本结论：1、非退化线性替换保持实二次型的正定性不变.82谢谢观赏2019-8-173、实二次型f(x1,x2,…,xn)＝X´AX正定负定.2、实二次型正定A与单位矩阵E合同，即存在可逆矩阵C，使A＝C´CA的各级顺序主子式全大于零f的正惯性指数p

等于n4、实对称矩阵A正定83谢谢观赏2019-8-179.4主轴问题

学习目标

1．掌握变量的正交变换

2．掌握将实二次型通过变量的正交变换化为只含平方项的二次型84谢谢观赏2019-8-17一、变量的正交变换我们已经看到,实数域上一个二次型

可以经过变量的非奇异变换化为二次型85谢谢观赏2019-8-17

1、定义:

将n元实二次型通过变量的正交变换化为只含平方项的二次型问题,这个问题称为二次型的主轴问题.

注：(1)这里所说的变量的正交变换指的是这个变换的矩阵是正交矩阵.

(2)由于正交矩阵是非奇异的,所以变量的正交变换是非奇异的.

(3)即：给一个实对称矩阵A,要寻求一个正交矩阵U,使得是对角形式,86谢谢观赏2019-8-172、定理：