2021-2022学年广西蒙山县高二年级上册学期期末考试（一）数学（理）试题含答案

2021-2022学年广西蒙山县高二上学期期末考试（一）数学（理）试

题

一、单选题

1.抛物线y=4/的焦点坐标为（）

A.（0,1）B.（0,-1）C.（0二）D.（4,0）

1616

【答案】c

【分析】将抛物线方程化为标准方程即可求解.

【详解】y=4x2=>x2=^-y,则焦点坐标为（0,，）.

416

故选：C.

x+y>1

2.若变量x,），满足约束条件r-yN-l,则目标函数z=x-2y的最大值为（）

2x-y<2

A.1B.-5C.-2D.-7

【答案】A

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.

【详解］解：由z=x_2y得丫亨1、z

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）:

平移直线由图象可知当直线y=gx-],过点A时z取得最大值,

x+y=l，解得广二,所以A(1,O).

由

2x-y=2[y=0

代入目标函数z=x-2y,得2nm=1,

故选：A.

3.已知命题。：x2+x-2>0>命题4：X—1>0,则。是夕的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

[分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】因为命题p：x>l或x<-2,命题q：X>1,

所以?是夕的必要不充分条件，

故选：B

4.已知命题p：玉oeR,x；-%+1<0,那么命题P的否定是()

A.3X()eR,-x0+1<0B.3x0eR,x^-x0+1>0

C.VxeR,x2-x+1>0D.VxeR,x2-x+1<0

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案.

【详解】“3x°eR,君的否定是“VxeR,/一x+120”.

故选：C

4

5.函数y=-^+x(x>2)的最小值是()

x—2,

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

4

【分析】将函数变形为y=—；+“-2+2,再根据基本不等式即可求得最小值.

x-2

44I~4

【详解】解：x>2,y=-----+x=------+X-2+2>2.-------x(x-2)+2=4+2=6,

X—2X—2yX—2

4

当且仅当，7=X-2,即x=4时等号成立，所以y的最小值是6.

x-2

故选：C.

6.已知等差数列｛《,｝的前八项和为S.，/+%=8,则Sg=()

A.24B.28C.30D.36

【答案】D

【分析】根据等差数列的前"项和公式以及等差数列的下标和性质，即可求解.

【详解】因为｛%｝是等差数列，且生+%=8,

所以怎=胆詈）='|（4+%）=36.

故选：D.

7.在.ABC中，若bcosC+ccos8=asinC,贝/ABC的形状是（）.

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定

【答案】A

【分析】根据正弦定理和题设条件，化简得到sinA=sinAsinC,进而得到sinC=l,即可求解.

【详解】因为Z?cosC+ccos5=asinC,

由正弦定理，可得sin8cosC+sinCcos8=sinAsinC,

又由sin8cosc+sinCeos8=sin（8+C）=sinA,所以sinA=sinAsinC,

因为A£（O,TT）,可得sinA>0,所以sinC=l,

又因为CEO,%）,所以c=',所以ABC为直角三角形.

故选：A.

8.若。<匕<0,则下列不等式正确的是（）

A.—<y-B.ab>a2C.同<问D.a2>h2

ab1111

【答案】D

【分析】取。=-2,〃=-1可判断A、B、C,由不等式的性质可判断D,进而可得正确选项.

【详解】对于A,取a=—2*=-1,则故选项A错误；

对于B,取。=-2,匕=-1,则必故选项B错误；

对于C,取〃=-2力=-1,则同〉例，故选项C错误；

对于D,因为。<6<0,所以尸〉〃，故选项D正确.

故选：D.

9.已知正三棱柱A8C-的所有棱长都为1,则Aq与CR所成角的余弦值为（）

【答案】B

【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的

角.

【详解】如图所示，分别取8C、8c的中点0、。一

由正三棱柱的性质可得A。、80、。。两两垂直，建立空间直角坐标系.

所有棱长都为1.

.•.A弓,0,0,片（0,3，1｝

:.AB】=—^-，―,1,BCt=（0,—1,1）,

二.cos<AB]AB,BC,_2_1

'IABJ-IBC，1>/2->/24

.•・异面直线用与屿所成角的余弦值为1

故选：B.

10.已知数列｛”,｝满足%=2%,5,,为数列包｝的前〃项和，且&=三，则4=）

A.3B.2C.1D.4

【答案】C

【分析】由已知得竽=g,从而有数列｛为｝是公比为g的等比数列，根据等比数列的求和公式计算

可求得答案.

【详解】解：若4=0,则%故此时$6=0,与题设矛盾,

故而4=2%,故%*0,

所以华=；，所以数列｛4｝是公比为g的等比数列，

%--A

所以S_112JJ_6363,解得4=1.

6.132132

1----

2

故选：C.

11.椭圆片+>2=1的左右焦点为《、尸2,p为椭圆上的一点，/月尸鸟=^,则4PE8的面积为（）

43

A.1B.73C.—D.2

3

【答案】C

【分析】由椭圆方程可得归凰+|9|=4,结合余弦定理求得归娟归用=g,最后根据三角形面积公

式求△。耳鸟的面积.

【详解】•••点户是椭圆工+y2=l上的一点，斗、鸟是焦点，

4

.•.归娟+归司=4,即（归用+归用）2=16①，

•.•在△户耳居中

.♦.|P周2+|叫2_2|P娟.|P段cosq=（2百）2=12②，

①-②得：冏|.|明=；阀卜|尸尸2卜呜=9上等=字

故选：C.

12.已知双曲线£：£._Z=1（。>。力>0）的渐近线方程是y=±2工则E的离心率为（)

a2b2

石畔

A.五或2B.75C.D.

【答案】B

【分析】由渐近线方程可得匕：〃=2:1,利用双曲线的参数关系求离心率即可.

【详解】双曲线的方程为W-4=l（a>0*>0）,

arb

・,.双曲线的渐近线为y=±2x,结合题意一条渐近线方程为y=2x,得6：a=2:1,

a

设。=乙b=2t,则C==后”>0）,

•••该双曲线的离心率是。=g=叵=逐，

at

故选：B.

二、填空题

13.若向量”=(4,一1,2),〃=食,8,-6)且“_1&,贝ljx=.

【答案】5

【分析】空间向量垂直，则空间向量的数量积为0,进而列出方程，求得结果

【详解】因为〃_Lb,所以〃./?=(),即4x—8—12=0,解得：x=5

故答案为：5

14.不等式加+bx+2>0的解集是卜，则a+b=.

【答案】-14

4<0

【分析】由一元二次不等式的解集可得-_=求纵b.

即可确定目标式的结果.

21

­二—

a6

a<0

b1a=-12

【详解】由题设,—————可得

a6b=-2

—2——1

a6

a+b=—14.

故答案为：-14

15.已知,ABC,点。在8c的延长线上，且AB=AC=2,CD=\,AD=3,则ABC的面积为

【答案】G

【分析】在一ACD中利用余弦定理，可得乙4c0=再根据钻=AC=2,可知ABC为等边三

角形，根据三角形面积公式，即可求出结果.

【详解】在工ACO中，4c=2,CO=1,AD=yfl,

4+1-72

由余弦定理可知，

2x2x12

又NACDe(0,i),所以NACO=T，所以N4CB=(,

又AB=AC=2,所以.ABC为等边三角形,

所以...ABC的面积为gx2x2xsing=G.

故答案为：G.

9,>

16.设桶圆，+与=1(。>方>0)的右顶点为4上顶点为8,左焦点、为F.若ZABF=90,则椭圆的

ab

离心率为.

【答案】叵]

2

【分析】由椭圆的方程可得4F,8的坐标，再由NABr=90°,可得数量积=0，整理可

得a,c的关系，进而求出椭圆的离心率.

【详解】由椭圆的方程可得4(4。),8(。，3，尸(一。,0),因为NAB尸=90。，所以

BA-BF=(a,-b).(-c,-b)=0,即炉=3而-洛所以+々°一〃2=o,则/+«一1=。，ee(0,l),

解得e=叵ll.

2

故答案为：.

2

三、解答题

17.记S,,是公差不为0的等差数列｛q｝的前"项和，若a3=S5,4%=S4.

(1)求数列｛4“｝的通项公式。.；

(2)求使S“>为成立的〃的最小值.

【答案】(1)%=2〃-6；(2)7.

【分析】(1)由题意首先求得出的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】(1)由等差数列的性质可得：$5=5%，贝I：a3=5a3,.-.a3=0,

设等差数列的公差为d,从而有：%%=(6—1)(%+[)=—1，

S4=4+凡+4+4=(4—2d)+(%—d)+“3+("3+d)=-2^/,

从而：_d2=_2d,由于公差不为零，故：(1=2,

数列的通项公式为：a„=a.+(n-3)d=2n-6.

(2)由数列的通项公式可得：at=2-6=-4,则：s“=〃x(-4)+Mgx2=〃2-5",

2

则不等式5,>4即:n-5n>2n-6,整理可得:(«-1)(«-6)>0,

解得：或”>6,又〃为正整数，故”的最小值为7.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握

等差数列的有关公式并能灵活运用.

18.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,且2AinA-Ga=0.

（I）求角8的大小；

（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围.

TT‘6+13

【答案】（I）8=3；（II）

2,2

【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大

小；

（II）方法二：结合（I）的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角4的三角函数式，然后由

三角形为锐角三角形确定角4的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cosA+cosS+cosC的

取值范围.

【详解】（I）

［方法一］:余弦定理

3ann]2A3q-

由26sinA=6"，得sin?A=即l-cos4=五.

结合余弦定8sA=

h2+c2-

/.1-

2bc

即4b2c2-b4-c4-a4-2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c2,

即/+//+/+a2c2_2a2b2-2b2c2=0，

即/+//+/+2a2c2_2a2b2-2b2c2=a2c2，

即+c2-b2y=(«c)2,

•••一/^。为锐角三角形，：./卡，—〃〉。，

a2+c2-b2=ac，

jr

又B为二ABC的一个内角，故8=

［方法二］【最优解】：正弦定理边化角

由2/?sinA=yf3a,结合正弦定理可得:2sin8sinA=>/3sinA,:,sinB=

2

JT

ABC为锐角三角形，故B=

(ID［方法一］：余弦定理基本不等式

因为8=?,并利用余弦定理整理得尸="+/—形,

即3ac=(a+c)2一b2.

结合，得唱42.

b

由临界状态(不妨取A=］)可知g=百.

而，MC为锐角三角形，所以牛＞6.

b

由余弦定理得cosA+cosB+cosC=^—c———+—+"———

2bc2lab

b2=CT+C1-ac,代入化简得cosA+cosB+cosC=—+1

b

'百+13"

故cosA+COSB-FCOSC的取值范围是

2'2'

［方法二］【最优解】：恒等变换三角函数性质

结合(1)的结论有:

cosA+cosB+cosC=cosA+—+cos

2

=C°S-osA+&nA+Lq

222222

=S，nA+

[42-

0＜-^-A＜-

3271,冗冗、712兀

由＜可得:一＜A＜一,—＜A+一＜—,

。“462363

则sin(A+菅卜sinlA+-

2'2L

即cosA+cosB+cosC的取值范围是—.

【整体点评】(I)的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得

a2+c2-b2=ac,运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法,

确定为最优解；(II)的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦,

方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.

19.已知p：函数，（》）=》2+2（。-1）》+2在区间（-8,3]上不是减函数；q-3xeR,x2-4x+«<0.

（1）若3且g”为真，求实数。的最大值；

（2）若“p或q”为真，“p且/为假，求实数a的取值范围.

【答案】（1）4

（2）（-oo,-2]I（4,+00）

【分析】（1）先求出命题，4均为真命题时〃的取值范围，再根据“P且4”为真，即可求出实数。的

最大值；

（2）根据"p或q”为真，"p且为假，得到。，4一真一假，即可求出实数”的取值范围.

【详解】（1）当P为真时，函数/（*）=/+23-1）》+2在区间（-8,3]上不是减函数，

所以-（a-l）<3,解得。>一2.

当4为真时，关于x的不等式V-4x+a40有解，

所以△=42-4“20，解得“W4.

若“P且q”为真，则a>—2且a«4,所以—2<a44.

所以若“p且q”为真，实数。的最大值是4.

（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，则p与q一真一假，有（1）可得，

当P真4假时，。>-2且a>4,解得a>4；

当P假4真时，。4一2月.“44,解得a«-2.

综上，所求实数”的取值范围是（-8,-2]（4,4W）.

20.如图，在四棱锥P-AfiCD中，PAL底面45C。，四边形A8CO为正方形，M,N分别为AB,

PD的中点.

⑴求证：MN"平面PBC；

（2）若%=AD,求直线MN与平面PCO所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

*

【分析】（1）取PC中点，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理证明即可.

（2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.

【详解】（1）取PC中点为E,连接BE,NE

'：E,N分别为PC,PD的中点，

/.EN//CD,EN=-CD.

2

又四边形A5CO为正方形，...C£）〃AB,CD=AB,

又为A8的中点，,硒〃EN=BM,

四边形BMNE为平行四边形，

：.MN//BE,

又3Eu平面P8C,MNu平面P8C,

MN〃平面PBC.

（2）以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

设|以|=卜。=2,则0（0,2,。），C（2,2,0）,P（0,0,2）,“（1,0,0）,N（0,l,l）,

MN=（—1,1,1）,PC=（2,2,—2）,PO=（0,2,-2）,

设平面PC£）的法向量为m=（x,y,z）,

PC〃?=0,2x+2y-2z=0

则即nn9

PDm=0,2y—2z=0,

令y=i,则，”=(0,1,1),

_M_N_-_m_\=2巫

设直线MN与平面PC。所成角为。，则sin0=

V3-V2~3

z

rx

21.如图，边长为2的正方形A8CD所在的平面与半圆弧co所在平面垂直，M是C。上异于c,D

的点.

(1)证明：平面平面8MC；

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

5

【分析】(1)方法一：先证BCJ•平面CMD,得8C_L£)M,再证CM_L£>M,由线面垂直的判定定理

可得。M_L平面BMC,即可根据面面垂直的判定定理证出；

(2)方法一：先建立空间直角坐标系，然后判断出M的位置，求出平面M4B和平面MCD的法向

量，进而求得平面M4B与平面MC£>所成二面角的正弦值.

【详解】(1)［方法一］:【最优解】判定定理

由题设知，平面CMC平面ABC£),交线为CD因为BCLCRBCu平面A8CD,所以BC_L平面CMD,

故因为M为C。上异于C,。的点，且QC为直径，所以。MLCM.

又BC<~>CM=C，所以OM_L平面BMC.而£)Mu平面AM。,故平面AMZ)J_平面BMC.

［方法二］:判定定理

由题设知，平面CM。_L平面ABC。,交线为CD因为AOLCD,4）u平面ABCR所以AZ）J_平面

MCD,而CA/u平面MCD,所以45J.CM,因为M为CD上异于C,。的点，且。C为直径，所以

0M_LCAf又ADDM=D,所以，CM_L平面AMC,而CA/u平面8MC,所以平面AMDJ_平面

BMC.

［方法三］：向量法

建立直角坐标系，如图2,设M（0,a,力,D（0,0,0）M（2,0,0）,B（2,2,0）,C（0,2,0）,

所以D4=（2,0,0）,DM=（0,4。）,

..n-DA=02x,=0

设平面AMD的一个法向量为"2=（X，y,zJ,所以｛,即

n-DM=0ay]+/?Z[=0

取平面AMD的一个法向量机=（0,h-a）,

同理可得，平面BMC的一个法向量”=（0,6,2-a）,因为点〃在以（0,1,0）为圆心，半径为1的圆上,

所以，（4-1）2+层=1,即々2+62-24=0,而％.〃=〃2+。2_24=0,所以平面4VJ_平面5MC.

（2）［方法一］:【通性通法】向量法

以。为坐标原点,D4的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

当三棱锥M-ABC体积最大时，M为。。的中点.

由题设得。（0,0,0）,A（Z0,0）,8（2,2,0）,C（0,2,0）,M（OJl）,

AM=（-2,1/）,A3=（0,2,0）,DA=（2,0,0）

设〃=(x,y,z)是平面MAB的法向量，则

n-AM=0[J-2x+y+z=0

n-AB=0'12产0可取〃=(1,0,2).

.八八n-DA非J5

0A是平面MC£>的一个法向量，因此cos〈〃,OA〉=口网=飞-,sin〈〃,D4〉=等2，

所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是2叵.

5

［方法二］:几何法(作平行线找公共棱)

如图3,当点M与圆心。连线MO_LOC时，三棱锥ABC体积最大.过点M作

EF//DC,ED±DC,FCVDC,易证/BFC为所求二面角的平面角.在RtZ\BCF中,

sinNBFC,即面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是亚.

BF55

图3

［方法三］:【最优解】面积射影法

设平面与平面MCO所成二面角的平面角为巴

由题可得在ZWCD平面上的射影图形正好是△•<?£).

取A3和8的中点分别为N和。，则可得OM=1,MN=6所以由射影面积公式有

COS0=^£D=',所以sine=4£,即面M4B与面MCC所成二面角的正弦值是型.

［方法四］:定义法

如图4,可知平面MA8与平面的交线/过点