2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期第四次月考数学试题及答案

2021-2022学年安徽省滁州市定远县第二中学高二下学期第四次月考

数学试题

一、单选题

1.若直线4%的方向向量分别为〃=（0,2,-1）为=（1,2,4）,则（）

A.B./（1/2

c.《4相交但不垂直D.44平行或重合

【答案】B

【分析】根据两直线的方向向量，求出4/的值，即可得出直线乙，的位置关系

【详解】解：由题意

。=（0,2,-1）］=（1,2,4）

,.,a-6=0+2x2+（-l）x4=4-4=0,

aYb>

：./）1/2.

故选：B.

2.一质点M按运动方程s（f）=-公?+4（位移单位：m,时间单位：s）做运动.若质点加在f=5s时

的瞬时速度为20m/s,则常数女的值为（）

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】C

【分析】先对已知函数求导，然后结合导数的定义运算求解.

【详解】由题意可得：，♦）=—2。，则s'（5）=—10R=20,所以Z=-2.

故选：C.

3.已知点4（1,-2）,8（〃?,2）且线段48的垂直平分线的方程是》+2丫-2=0,则实数机的值是（）

A.-2B.-7C.3D.1

【答案】C

【分析】由题知AB的中点坐标为（等,0）,代入方程x+2y-2=O即可得答案.

【详解】解：由题知线段A8的中点坐标为（等,0）,

因为点4（1,-2）,8（〃?,2）且线段43的垂直平分线的方程是*+2、-2=0

所以，将（詈，0%弋入直线*+2y—2=0中，得等一2=0,解得〃z=3.

故选：C

4.设随机变量X~N（7,4），若尸（X>14-。）=0.3,则P（X>a）=（）

A.0.7B.0.4C.0.3D.0.6

【答案】A

【分析】根据正态曲线的对称性可得.

【详解】X~N（7,/）,若P（X>14-a）=0.3,.,.P（X<a）=0.3,则P（X>。）=1-0.3=0.7.

故选：A

5.在（五+正广的展开式中，含x的正整数次基的项共有

A.4项B.3项C.2项D.1项

【答案】B

【详解】（石+对*的展开式的通项为&=%（⑸"（五卜G5%（04rV12）为整数，3

项，即厂=0,厂=6,厂=12,故选B.

【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题.二项展开式定

理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几

个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式。+产（可以考查某一项，也可考

查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的

应用.

6.等差数列｛4｝中，S5=15,«7=9,则%,小的等差中项是（）

A.9B.3C.12D.6

【答案】D

【分析】利用等差数列前〃项和公式及等差数列通项公式的性质，可以求得4=3,接着利用等差数

列通项公式的性质即可求出。4，6的等差中项牝.

【详解】Ss=15,%=9,,5（%+%）=]5,

2

2a鼻=4+火=6,Bp=3,

/.2a5=%+&=%+%=12,

・,.cis=6.

故选：D

7.已知圆的方程为(X—3尸+(y—3)2=4,尸(4,4)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和

BD,则四边形A8C。的面积是()

A.4B.4>/3C.8x/2D.4夜

【答案】D

【分析】由题知最长弦为直径，最短弦为是过产且与直径AC垂直的弦长，进而求得弦长，计算面积

即可.

【详解】解：由题知圆心为M(3,3),半径为厂=2,

由圆的性质可知，最长的弦长为直径，故AC=4,

最短的弦长是过户且与直径AC垂直的弦长，

由于MP=近,故BD=26匚而=2应二1=2五，

因为AC180,

所以面积为;AC8O=4及.

故选：D

8.甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习，每位毕业生只能选择一个工厂实习，设“3位大学毕

业生去的工厂各不相同”为事件A,“甲独自去一个工厂实习”为事件B,则P(A|3)=()

A.-B.-C.-D.-

3348

【答案】A

【分析】求出甲独自去一个工厂实习有C：X32,3为大学毕业生去的工厂各不相同有用，根据条件

概率公式，即可求解.

【详解】“甲独自去一个工厂实习”为事件8,

事件B包含的基本事件有C：x3?=36,

“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件4,

事件A包含的基本事件有A：=24,

242

P(A|B)=—=-.

3o3

故选:A.

【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件个数是解题关键，属于基础题.

【答案】A

【分析】求导后由函数性质判断

【详解】f(x)=：f+sin(5+x)=；£+cosx,广(x)=gx-sinx,

则/'(-x)=-/'(x),/(x)为奇函数，故排除B,D,

jr7T

且/《)=：—故排除c，

24

故选：A

->2

10.在椭圆点+]=1(。">0)中，片，鸟分别是其左右焦点，若啊|=2|尸闾，则该椭圆离心率的

取值范围是()

A.刖B.加C.同)D.(0,1

【答案】B

【分析】根据椭圆定义|尸耳|+归周=2%结合促耳|=2怛同,解得|朋昔,然后根据椭圆的几何

性质，由|尸闾"-c求解.

【详解】根据椭圆定义|尸耳|+归园=2%

将归周=2|尸闾代入得|「用=,，

根据椭圆的几何性质，|P6|2a-c,

故"2a-c，HPa<3c,

3

故eg,又e<l,

所以椭圆离心率的取值范围为

故选：B.

【点睛】本题主要考查椭圆的定义和几何性质，属于基础题.

11.德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路,

计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数A=的2"吗，其中4(i=123,4)

出现0的概率为:，出现1的概率为彳，记乂=4+/+/+4，当电路运行一次时，X的数学期望

E(X)=()

48

A.-B.2C.-D.3

33

【答案】C

【分析】根据二项分布求期望.

【详解】由题意，X=O,1,2,3,4,P(X=A)=C])(|),

故X~

...E(X)=4xg=|,

故选:C.

12.已知外㈣是定义在(0收)上的函数〃x)的导函数，且矿(x)-/(x)>0,则a=2吗)，

0=3F‘)，c=的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【分析】构造g(x)=§,由已知及导数研究其单调性，进而比较“=6=g(g)、c=g(j

的大小即可.

【详解】令g(x)=乎，则g[x)=l'(x'生).

因为对■'(x)-“X)>0对于(0,y)恒成立，

所以〃x）>0,即晨力=为在（0,例）上单调递增,

又…（；），且

所以g（升g（j>g（［|,即a>c>8.

故选：A

二、填空题

13.已知随机变量X服从二项分布,5,；｝则E（2X+1）=.

【答案】=7

2

【分析】由二项分布得到E（X）,即可求出E（2X+1）的值.

【详解】解：由题意

在随机变量X中，X服从二项分布8（5,；）

•••E（X）=5xg,

7

JE（2X+1）=2E（X）+1=-

7

故答案为：—.

14.某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程X（千米）服从正态分布N（2000,10”任选一辆该款

电动车，则它的单次最大续航里程恰在1970（千米）到2020（千米）之间的概率为.（参

考公式：随机变量€服从正态分布则P（〃-b4j4〃+b）=0.6827,

-2cr<^<//+2cr）=0.9545,P（//-3o-<^<//+3cr）=0.9973.）

【答案】0.9759

【分析】根据正态分布求出〃和b的值，根据参考公式，即可求出单次最大续航里程恰在1970千米

到2020千米之间的概率.

【详解】解：由题意

X~N（2000,l（）2）,

〃=2000,cr=10,

P(1970<X<2020)=P(〃-3cr4X<p+2cr)=P(//-3<7<^<〃+3cr)-g[P(〃-3cr4〃+3cr)-P(/z-2cr<^<//-

故答案为:0.9759.

15.设等差数列｛4｝的前〃项和为S”,q>0,〃€N",若SM>0，S«<0,则数列｛|凡|｝的最小项是第

___________项.

【答案】9

【分析】利用等差数列前〃项和公式和等差数列的性质求解.

【详解】设等差数列｛《,｝的公差为4«,>0,neN\5l6>0,5l7<0,

A<_16(q+4|6)_16(入+49)_17x2%

16-2-2'17--2-'

?.4+%〉°，17a*)<0,1.4>0,%<0,d<0,且。8>一为>。.

又一a9<-40<,所以数列｛同｝的最小项是为.

故答案为9

16.已知函数〃x)=；x2-必+inx,对于任意不同的.，x,e(0,^»),有〃？二㈤>3,则实

数。的取值范围为.

【答案】(-,—1]

【分析】设占<%，结合不等式可得/(苍)一3M</(々)-3刍，构造函数尸(x)=/(x)-3x,则

F(A,)<F(X2),即E(x)单调递增，转化问题为广(x)Z0恒成立，进而分离参数，结合基本不等式

即可求解.

【详解】对于任意演，为«0,田)，有仆)二/⑺>3,

玉一々

不妨设再<“2,则/(%)-/(工2)<3(与一赴)，即/(%)-3%<y(w)-3%,

设尸(x)=f(x)-3x,则尸。)〈尸(%),

又占<马,所以尸(x)单调递增，则尸(x)“恒成立，

因为尸(x)=/(x)-3x=^x2-(3+6Z)x+lnx,

所以尸(x)=x—(3+“)+g=、(3；a)x+l,令8(力=炉一(3+a)x+l,

要使在（0,+“）恒成立，只需g（x）=f-。+4卜+120恒成立，即3+QWX+J恒成立,

又x4—22Jx—=2,所以3+。＜2,即。W—1,

xVx

故答案为：（y0，一1]

三、解答题

17.已知在（板-土）”的展开式中，第6项为常数项.

（1）求n；

（2）求展开式中所有的有理项.

456345

【答案】（1）n=10.（2）展开式中的有理项为：7；=—x2,7；=-—,7；=—

48256x~

-10=0故〃=10.

1l0-2r

（2）设展开式中的有理项为厂

1（）_2厂

n则一^―£Zl=0,l,2,,10,故r=2,5,8

194S

.•・展开式中的有理项为：加=£，-产,=黄2

2=-f,心=*（一步户=

点评：运用二项展开式的通项公式求特定项，特定项系数、常数项、有理项等，通常是先根据已知

条件「，再求工-1，有时还需先求，：，再求广，才能求出

18.己知点P到K（一2,0）,6（2,0）的距离之和等于2J7.

⑴求点P的轨迹C的方程；

（2）过点（-4,0）的直线/与（1）中的曲线C相切，且与圆（》+2）2+丁=，任＞0）也相切，求r的值.

【答案】⑴三+二=1

73

（2）1

【分析】（1）由题意可知|m|+|「6|=2不＞|6月],故可根据椭圆的定义判定曲线C为椭圆，进而

求得椭圆方程；

（2）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，根据直线和椭圆相切，令判别式为零，求得直线方

程，再根据直线和圆相切，利用点到直线的距离等于半径，可求得答案.

【详解】（1）据题意有：|P£|+|PKI=2>/^>IK^I,

由椭圆的定义知点P的轨迹C是以4（-2,0）,6（2,0）为焦点的椭圆，c=2,a=后,

所以/-02="=3,所以轨迹C的方程为《+*=1.

73

（2）显然直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=Z（x+4）,

联立］;；得（3+7公卜2+56心+112%2-21=0,

由题意得A=（56用2一4（3+7有（112公-21）=0,所以公=；,k=+—,

33

所以直线/的方程为y=±#（x+4）,即x±J5y+4=0.

因为直线/与圆（x+2）2+y2=r2（r>o）也相切，所以「=需3=1.

19.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.

（1）求女生乙被选中的概率；

（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.

【答案】（吗

【分析】（1）直接用古典概型的概率求解即可.

（2）先算男生甲被选中的概率，再算女生乙被选中，然后根据条件概率求解.

【详解】（1）女生乙被选中事件的概率P=^=1_

2

（2）设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件8,

则P⑷喈=.（旗）=凯）.P（3加需=|

20.如图，在四棱锥P-A3C。中，底面458是直角梯形，

AB〃CD,NBAD=90,AB=AD=2DC=2,AP=PD=梃,平面平面A8C£>.

(1)证明：平面PC。，平面R4B；

(2)求直线PB与平面PCD夹角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵立

3

【分析】(1)利用空间向量的坐标运算，求出平面平面的法向量，即可证明;

(2)利用线面夹角的向量运算求解.

【详解】(1)设4ZBC的中点分别为O、E,连接尸O、OE,因为=

所以POLAD.

因为平面PAD_L平面ABCD,平面PADry平面ABCD=AC,P。u平面PAD,

所以PO1平面A8CO,AZXOEu平面A8CQ,所以PO_LARPOLOE,

因为底面ABC。是直角梯形，48〃。,">上。的中点分别为0出，

所以A8〃0E,又/胡£>=90,所以AOLOE.

以。为原点，为x轴，OE为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，

已知AB=AD=2DC=2,AP=PD=42,则0(0,0,0),A(l,0,0),£)(-1,0,0),

尸(0,0,1),80,2,0),C(—1,1,0).

PD=(-l,O,-l),£>C=(O,l,O),/Vl=(l,O,-l),AB=(O,2,O),

m-PD=0

设"?=(%,M，zJ是平面PC。的一个法向量，贝叫，

m-DC=0

I-x-z.=0,、

即，令西=1，则〃?=(l，0，T).

n-PA=0

设〃=(々,%,22)是平面的一个法向量，则1

nAB=0'

x2-z2=0

即令々=1,则"=(1,0,1).

2y2=0

因为〃?•〃=(1,0,-1>(1,0,1)=0,所以加上”，

即平面PCD1平面PAB.

(2)PB=(1,2,-1),设直线户8与平面PCD的夹角为，，

I/v6

则sin。=|cos(PB,m]\=~~r-j-4=—r=-2尸='—,

।'/I网.时76-723

直线PB与平面PC。夹角的正弦值为且.

3

21.北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行

激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情

况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查,

调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.

(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？

(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有X人，求随机变量X的分布

列与数学期望.

【答案】(1)600(人)

(2)分布列答案见解析，数学期望：2

【分析】(1)根据分层抽样的定义求出男女会员中喜欢冰雪运动的比例，进而求解;

(2)根据超几何分布计算概率.

【详解】(1)用分层抽样的方法随机抽取36名会员，

其中男会员有黑x36=20(人)，女会员有16人，

1oOO

84

所以在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有一xl000+—x800=600(人).

(2)X可能的取值有0』,2,3,

p(x=o)41n/v八C；C；4812

22055''C：222055

2

尸(/X=2、)=岩cc)

J2合啜尸-A詈嘿T

所以X的分布列为

X0123

1122814

P

55555555

11OOQ\A

所以X的期望E(X)=0xw+lx万+2x1|+3x为=2.

22.已知函数g(x)=lnx,〃(x)=J.

(1)令〃x)=nrg(x-l)+/?(x-l)讨论函数〃x)的单调性；

(2)求证：对任意的正整数〃，当X21时，有x-g(x)2历6

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；(2)证明见解析.

x—1V—2

【分析】(1)求导/'(x)=个一,分机=0,m<0,