2021-2022学年安徽省黄山市高二年级上册学期期末数学试题含答案

2021-2022学年安徽省黄山市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.若直线3》+叼-4=°平分圆/+/_4.“2k3=0的面积，则实数，"的值为（）

A.-2C.一3

【答案】B

【分析】确定圆心坐标，由题意可知直线3'+乃-4=°经过圆心，由此即可得答案.

【详解】圆x2+/_4x+2y+3=0的圆心为（2,-1）,

因为直线标+叼-4=0平分圆x2+y-4x+2v+3=0的面积，

故3x+"9-4=0过圆心（2,-1）,则3x2-机-4=0,.•.机=2,

故选：B

2.抛物线'=4/的准线方程为

y=----

B.y=iD.16

【答案】D

【详解】分析：先将抛物线方程化为标准方程，再写出准线方程.

2

,2x=­y

详解：将y=4x化为4-,

y=----

则该抛物线的准线方程为’16.

点睛：本题考查抛物线的标准方程、准线方程等知识，意在考查学生的基本计算能力.

3.设直线/的斜率为上，且3-，则直线/的倾斜角的取值范围为（）

【答案】D

【分析】由斜率的定义及正切函数的图像和性质即可求得.

【详解】设直线/的倾斜角为巴则兀）

--<A:<1

当斜率3时，由斜率的定义及正切函数的图像和性质可知:

。，吊U件I

直线/的倾斜角的取值范围为LML6)

故选：D

4.已知数列S,满足q=3,。”+1,则心=()

A.-2B.3C.2D.3

【答案】B

【分析】写出数列的前5项，即可得出数列S"｝是以4为周期的数列，即可得到答案

12

[\q=3，M+i=l---—

【详解】•••数列伊n力中，4+1,

,上+1°--+1

23，...，

=

所以可得数列｛“"｝是周期为4的周期数列，所以@一%一一3,

故选：B.

5.如图，棱长为1的正四面体"-8CO中，M为棱8c的中点，则丽•丽的值为()

A.4B.4C.0D.2

【答案】A

MF=—CDcosZ.AMF=

【分析】取8。的中点尸，易得2,利用余弦定理得6,即

cos<AM,CD>=

6,再利用数量积的定义即可得到答案.

【详解】取8。的中点尸，在图中作出标,

A

•••正四面体"BCO的所有棱长为1,

：.\AM\=\AF\=^,\MF\=^

石

cosZ.AMF=6一

在A/MF中由余弦定理可知

cos<AM,CD>=

AM-CD=\AM\-\CD\-cos<AM,CD>=—x\x\--=一

由平面向量的数量积的定义可知2I6J4,

故选：A.

6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日

脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378

里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了六天后到达目的地,

求每天走的路程.”在这个问题中，此人前三天一共走的路程为（）

A.192里B.288里C.336里D.360里

【答案】C

【分析】利用等比数列的求和公式即可得到结果.

【详解】记每天走的路程里数为由题意可得｛""｝是公比为万的等比数列，

S6=—^~^-<=378

由等比数列的求和公式可得，-2,解得4=192

1-flY

S3=192X―号L=336

所以2里

故选:C

7.下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位置关系的结论，其中正确的是（）

A.两条直线灯4的方向向量分别是”（1，T4）,=则

B.直线/的方向向量是"（LT4）,平面a的一个法向量是"=（2,2/），则/〃0

C.直线/的方向向量是"=（°=3,4）,平面a的一个法向量是"=（°，-3,4）,贝

D.直线/的方向向量是"=0-3,4）,平面a的一个法向量是"=0,3,2）,则

【答案】C

【分析】根据题意，结合线、面位置关系的向量判断方法，——判断即可

【详解】A项，因为"（LTD,"=（T3,f,即£=_兀所以粉人所以或解重合，故

A项错误；

B项，因为a»=lx2+（-3）x2+4xl=0（所以所以〃/a或/在面a内，故B错误；

C项，因为。=（。-3,4）,〃=（0,-3,4）,即所以京而，所以Ua,故C项正确；

D项，因为存〃=以1+（-3）x3+4x2=0,所以所以〃/a或/在面a内，故D项错误.

故选：C

8.已知各棱长均相等的直棱柱/8C-44G,则异面直线"G与8c所成角的余弦值为（）

1显立区

A.4B.4C.4D.4

【答案】A

【分析】通过平行关系平移异面直线相交，解三角形即可.

【详解】如图所示，连接4c交'G于点0,取44的中点为〃，

连接OM、/M,则°M||qc且2,

4MOA为异面直线"C与B©所成的角或补角.

已知各棱长均相等,

,设棱长为：2,

则有：A。、==26,,AM=也

OA=OM=yfl

OA2+OM2-AM2

cos/.MOA-

在AOAM中,IxOAxOM4,

所以异面直线"G与AC所成角的余弦值为：4.

故选：A.

Cxy।z>b>Q\

9.已知点尸是椭圆.示.后一,”>>'的右焦点，椭圆上一点“（一2」）关于原点的对称点为5,

若尸的周长为2几+2石，则椭圆的离心率为（）

j66后

A.2B.4C.2D.5

【答案】C

【分析】设椭圆的左焦点为片，连接"片津片，由题意可得点8也在椭圆上，且8（2,-1）,由

△4BF的周长为2#+2退，

可得/|+|8/口=2指，又由与OWAB/7。，可得|4耳|=|8尸|,进而有|Z尸|+|4耳|=2"，即

2。=2后，

解得〃=太，将A点坐标代入椭圆方程可解得〃=3,从而可得d=3,即可求得离心率的值.

【详解】解：因为椭圆关于原点中心对称，

所以点,（一2，1）关于原点的对称点B也在椭圆上，且BQ，7）,

所以|48|=，4。+22=2石

又因为尸的周长为2指+2退，

所以|“严+|8尸|=2#①,

设椭圆的左焦点为6,连接“耳，^耳，

由4/0装8尸0,可得|/|=|"|②,

由①②可得M用+M用=2而，

即2a=2屈,

所以°=指，

工+4=1

所以椭圆的方程为6卜

2+J_=1

代入A点坐标得：一,

解得〃=3,

所以‘2=/一〃=3,

所以离心率a屈2.

故选：C.

4

P1rC——>0,/)>0)———

10.已知点片，鸟分别是双曲线a-b-的左右焦点，直线3与双曲线C交

于尸、Q两点,若1尸°卜阳闾，则双曲线的c的渐近线方程是()

A.k小B.y=^

Qy-±y/5xDy=±2x

【答案】D

_4

【分析】设点P（XJ）在第一象限，则。（一居一〃联立3"可得根据同1=阳用可得

2，2-=2

x+V=c，代入可求。，从而可求渐近线方程.

【详解】不妨设点尸（”/）在第一象限，则。（-S）,

y，x―9a汨八」6"守

联立13,可得9b2-16/,则9/-16/

222

9a%16ab222

因为P°卜山闻，所以"2+）=，2,gp9Z»2-16a2+%2-16a2-C~0,

9向-32因-16=0f-Y=42=2

整理得9/-32/6276a4=0,即\a）\a）,解得（负值舍去），即°.

所以双曲线的C的渐近线方程是丁=±2苫.

故选:D.

11.己知圆C：（X+2）-+V=3,过圆外一点尸作圆C的切线，切点为7,0为坐标原点，且满足

|「小闺尸。则阳的最小值为（）

A.4-乖B.4-G

C.4+>/3D4+5/5

【答案】A

【分析】根据题意列出方程，得到p的轨迹是以历（2，°）为圆心，半径为遥的圆，即可得到归。的

最小值.

【详解】设尸（"M,因为圆C：（x+2）-+V=3,则圆心CH，。），半径为百，

故|P7f=|PCf_，=（x+2）2+/_3,

根据题意有阳=3即，即叫2=2归。「

即（X+2）2+/-3=2（X2+/）

整理得（X-2）2+/=5.

即P的轨迹是以M（2，°）为圆心，半径为右的圆，

所以附|n「|MC|-石=4-石

故选:A

12.我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo.新Logo将原本方正的边

框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品

牌生命的律动感.设计师的灵感来源于数学中的曲线°：国"+帆”=1,则下列有关曲线C的说法中不

正确的是（）

新十年新形象

小来*LOG。

A.对任意的〃eR,曲线C总关于原点成中心对称

B.当”>0时，曲线C上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点）

C.当时，曲线C围成的图形面积可以为2

D.当"=T时，曲线C上的点到原点最近距离为20

【答案】C

【分析】对于A选项：曲线C上任取一点P,将其关于（°，°）的对称点°坐标代入曲线C方程中，进

而判断A选项是否正确；

对于B选项：当〃>0时，取x=o,y=o,即可判断B选项是否正确：

对于C选项：当°<〃<1时，根据曲线C围成的图形，即可判断C选项是否正确；

对于D选项：当〃=T时，求出曲线C方程，结合对称性作出图象，求出曲线C上点到原点距离的

最小值即可判断D选项是否正确.

【详解】对于A选项：在曲线0：上『十3"=1上任取一点0,。，x）,则尸Go,%）关于（°，°）的对称

点为。（-%，-%）,将。（-%，-%）代入曲线C：|x|+3=1,则|±X°I"+1士为I"=|/I"+1%|"=1,即

。也在曲线C上，故曲线C关于原点成中心对称，故A选项正确；

对于B选项：当时，取、=0力=±1；取'=。户=±1,曲线C总过四个整点（0，±1）和（±1，°）,故B

选项正确；

对于C选项：当°<"<1时川41,从而民|+4国

（当X=0/=土1或》=±1/=0时取等）

曲线c围成的图形在正方形国+3=1的内部，面积小于正方形W+3=i的面积2.故c选项错误；

11.,1.1.1,

---1=1.y|=1+-----..=1<1

对于D选项：当〃=T时，曲线3,‘l"T,3⑶，.［川>1,结合

---1---=1

设“（XJ）是曲线C：|x|RI上任意一点，则A关于直线y=x的对称的点8（y,x）也在曲线C上,

所以曲线c关于直线y=x对称

11I

---1---=1

令曲线C：|x|I川中或x=_2,y=_2或x=_2,y=2或x=2,y=-2,

所以（22）或（-2,2）或（-2,-2）或（2,-2）到原点距离最近，最近距离为2a,故口选项正确.

故选：C

二、填空题

13.已知空间向量£,5满足"=2,W=3,且坂的夹角为3,若（20皿苏+町，则实数

'等于.

6

【答案】5

【分析】运用平面向量数量积乘法分配律计算.

【详解】依题意有侬/)(筋+2办。，即2启+4菽-彳标-2片=0,

a=4,b=9,a-b=14MMeos2=3

由条件知11113,

j_6

8/l+(4-Z)x3-2x9=0z=y

,，

6

故答案为：5.

22

C：三+”,7n

14.已知椭圆169,直线，：x-y+7=°,则椭圆上的点到直线/的最近距离为.

【答案】④

【分析】设尸(4cose,3sin0),eq0,2;r],求出点尸到直线/：x-y+7=°的距离，利用三角函数求出

函数的最值即得解.

【详解】解：设尸(4cose,3sine),ee[0,2;r],则点尸到直线/“-卜+7=0的距离为

,|4cos<9-3sin6>+7|15cos(。+[)+7]4,3

d=--------/--------=J--------j==---------L,CQS67=—sin。=一

VPTF7255,

k5+7|=万

当8se+夕)=T时，距离取得最小值V2

故答案为：五.

15.已知直线=与抛物线U「=4x交于A,8两点，尸为抛物线C的焦点，若

阳=3|町则实数”的值为.

【答案】百或一百

【分析】联立直线/与抛物线C可得/Y-(2/+4)X+4=0,利用韦达定理可得到

_4_I

』+工-+户斗”，利用抛物线的定义和阉=3网可求出％=3,即可求解

[详解]设交点工区，%)，8(%，%),由于直线/：y=%(xT)过抛物线c:),2=4x的焦点F(l,0),

所以将产T)代入/=以并整理可得k2x2-(2r+4)x+/=0,

则A=(2k2+4f-4公=16+16->0,再+%=2+出6/=1,

又由抛物线的定义可得上玉+"3用=吃+1,

由M尸I=3\BF\可得再=3X2+2代入xxx2=1可得+2/-1=0,

解之得“§或、2=T（舍去），故"3时，*=3

10

代入+--3可得〃=3n%=±追，

故答案为：百或一右

16.己知正项数列｛《J的前〃项和为S，，且满足4=1,%（“向+2%）="3,若对于任意的ReN*,

不等式“（5"+1）2""+"-3恒成立，则实数2的取值范围是.

[—,+<»）

【答案】16

【分析】将％（*+2与）=*化简后得到（“用+4）（”向-2a“）=0,由于为正项数列所以可以得到

何）是等比数列，进而求出通项以及前"项和.代入'0，+1）*见+〃-3后通过化简作差求得实数

4的最小值.

【详解】解:根据题意得七一的"+「2展=0,所以（勺+1+%）&+「2%）=0

：｛叫为正项数列，•.•—+%*°,即/+尸2勺=0

-^±=2

•••，，数列是以2为公比，1为首项的等比数列.

IS〃=]_L2^〃=2〃—1

.•/-2①，1-2②，

将①②代入义G“+%+〃-3得42N2-+w-3

即八万十亍"对于任意的〃eN*恒成立.

令八'2",则八2w+,2"2"+12"+

所以当“44时，/（〃+1）2/（〃），当”25时/（"+1）</（"）,

故〃=4或5时，询取得最大值."叽「'"）=/（5）=而

所以21616.

[--,+8）

所以实数尤的取值范围是16

[--,+8）

故答案为：16

三、解答题

17.如图，在四面体48CZ）中，ABX.CD,AD1BC,且E,F,G,〃分别是48,

BC,CD,£%边的中点.

(1)求证：ACIBD

丽=；@+9+反+而）

（2）若尸是EG和户77的交点，求证：对空间任意一点°,都有

【答案】（1）证明见解析;

（2）证明见解析.

【分析】（1）过点A作/°，平面8CO,连接8°，C°，O°.证明出°为△BCO的垂心，得到

CO1BD,利用线面垂直的判定定理证明出平面ZCO,即可证明ZC/8Z）.

（2）连接£尸，6"，后"，尸6先证明出四边形川6〃为平行四边形再利用向量共线定理即可证明.

【详解】（1）过点A作平面8C。，垂足为°,则N°_LCZ）,连接8O,CO,O°

因为4BJ.CD,AO[}AB=A,ZOu平面480,/8u平面Z80,所以CO_L平面480

因为8Ou平面48。，所以COJ.8O.

同理可证：BCLDO.

所以。为△8CZ)的垂心.

所以C018Z).

因为ZO,8D,COcNO=O,COu平面/CO,/Ou平面NCO,所以801平面ZCO.

又/Cu平面ZC。，所以4CJ.BD.

(2)连接EF,GH,EH,FG.

EF=-AC

因为E,F,G,//分别是BC,CD,边的中点，所以£尸〃4c且2

GH=-AC

GH//ZC且2,

所以EF//GH且=G〃，

所以四边形MG”为平行四边形.

因为「是EG和F”的交点，所以由向量共线定理可得:

痂=|（OE+OG）=|+而）+；必+砺、=；@+丽+1+历）

即证.

18.已知数列也｝中，囚=8,且满足《川=5。"-2・3”

（1）证明：数列&"-3"｝为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式;

⑵若b'1="（%-3"）,求数列血｝的前〃项和S”.

【答案】（1）证明见解析；勺=3"+5"

5+（4〃-1）x5””

⑵"16

【分析】（1）等号两边同时减去3"",用定义即可证明；

（2）用错位相减法即可求解.

【详解】（1）•.•%=5见-2.3",

…-3"*"-53=5@-3"）

数列也4｝是以％与=5为首项，以5为公比的等比数列.

..an-3"=5x5"-'=5"

，…+5”

（2）...氏=3"+5”

...a=〃Q-3"）=〃x5",

$"=4+旬+&+•••+〃

即S”=1x5,+2x5?+3x5,+•••+«x5"①

.5S„=1X52+2X53+3X54+…+〃x5"”②，

由①-②得：

-4S„=1X5'+1X52+1X53+•••+1x5"-nx5"+,

5（l-5n）

-4S=△——^-nx5"+'

1-5,

S_5+（4n-l）x5nt,

化简得：16.

19.已知抛物线/=2勿（p>0）的焦点为尸，且尸为圆/+6-1）=1的圆心.过点尸的直线交抛物

线与圆分别为A,C,。，B（从左到右），且"（阳，乂），8（/,外）.

(1)求抛物线的方程并证明必力是定值；

(2)若"0C,ROD的面积满足：S4Aoe=4sB0D,求弦AB的长

【答案】(1)答案见解析：

9

⑵2.

【分析】(1)先求出焦点"(°』)，即可求出抛物线的方程；利用“设而不求法”证明出

\AC\=2\BD\=-

(2)求出2,即可求出弦的长

【详解】（D由尸为圆/+（y-i）2=i的圆心可知：尸（。，1）.

又抛物线*=2々（。>0）的焦点为尸，所以5=:解得：P=2

所以抛物线的方程为f=4y

过点尸的直线交抛物线于A,B,且“（和乂），

所以直线的斜率必存在，设其为3设直线方程为卜=履+1

2

<x=4y

联立[y=kx+\

当左=0时，解得：%=%=1,所以乂必=1.

—rj2-f—+4>l_y+-^-=0

当人二°时，消去x得：kU/k,所以乂必=1.

综上所述：必%=1为定值.

（2）因为&&c=4S且两个三角形等高，所以用=4叫.

因为|/C|♦忸。|=3尸卜]。尸|）.（|即卜⑷可）=[4尸].忸尸卜（|/尸|+忸日）+1

=（%+1）（%+1）-（乂+1+%+D+1

=必力

=1

[\AC\=2

AC\=4\BD\]

由I111解得：I2.

所以眼|=|/c|+|cq+|四

=2+2+-

2

9

-2.

20.如图1,E尸为等边的中位线，将A/JBC沿叱折起，构成如图2所示的四棱锥N-8CFE,

'AM=-MC

其中2.

A

A

⑴求证：4E〃平面BMF；

（2）若平面AEF1平面BCFE,求二面角A-BF-M的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

11

⑵13

【分析】（1）连接EC交3产于点P,连接利用比例关系可得“尸//"后，即可求证；

（2）利用面面垂直的性质定理可得40工平面8CFE,建立空间直角坐标系，求出面48尸，面

8尸N的法向量，即可得到答案

【详解】（1）连接改交"于点P,连接收尸，

因为EF为等边08C的中位线，所以M//BC,

所以AEFPfCBP,

EPEF\

所以而一瓦一5,

AM=^-MC把」

因为2，所以MC2,

所以在中，MP//AE,

因为"Pu平面4石0平面8W"所以40/平面&W"

▲z

]A

（2）V

取所的中点°,8c的中点。，连接/O。。，

因为=所以/°1E/，

因为平面/跖，平面8CFE,平面尸c平面8CFE=£7"4Ou平面4七£

所以/。，平面8CFE,

易得在等腰梯形8CFE中，ODLEF,

以。为原点，分别以为'J/轴建立空间直角坐标系,

人，。当'4，一1，0、样1,0

F0B

不妨设等边的边长为2,则IT°k2

f⑸

AM—x,y,z~~AC=S'2)

设M（xj，z）,则\7

1(凡⑻

~AM=-MC~AM^~~ACW

3322

因为2,所以3所以

_731百也

x=—,y=~,z=—M

解得633,所以"T'3'T

AF^)"Trr_T,2,0r

设平面ABF的一个法向量为〃=（%，乂，4）,平面BFM的一个法向量为加=（々，%，z?）,

1

5”TZ|=0

AFn=Q

•i

出=2x/3

则由1荏•万=°彳玉一必一z=0令"=2,贝旷-3,%=2,3,此时

得T'

w=f273,2,—

3

3

V3O

一-

%+必=

22

6

BFm=O-4石

-一O

/+必+Z=

333222

令

则

此

BMw=0-时

由图可得二面角4-6为锐角，

11

所以二面角力一夕7-〃的余弦值为百

22

Xy

21.已知椭圆。/+从一的离心率为E,左顶点为"（-2,0）,直线/与椭圆C交于P,

°两点.

（1）求椭圆的C的标准方程;

（2）若直线”，的斜率分别为人，且"'"-一月求归°1的最小值.

【答案】（1）43

（2）3

【分析】（1）根据题意列方程组解决即可；

②设直线/：X=W+〃，P（X|,乂）,0小,%）,联立方程得（4+3/）商+6%利+3/-12=0,得

―〃3/72快二迪出=_2

4+3/-4+3/，由4（〃-2）4（得〃=-1,再根据弦长公式解决即可.

22

rv

C:-T+^r=l（a>6>0）1

【详解】（1）由题知，椭圆仁h2的离心率为2,左顶点为“（々°）,

—C——1

a2

a=2

a2=b2+c2

,解得。=2,6=百,c=l,

所以

---1---=1

所以椭圆C的标准方程为43

（2）由（1）得，43,

因为直线/与椭圆C交于尸，。两点,

由题可知，直线/斜率为0时，桃2>°

所以直线/的斜率不为0,

所以设直线/：%=〃沙+%尸&

x=my+n

"x2y2_

联立方程后+丁，得（4+3/）面+6加沙+3〃2-12=0,

=48（3加2_"2