2021-2022学年江苏省连云港市高二上学期期末数学试题(解析)

2021-2022学年江苏省连云港市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1.过两点2,4和4,1的直线的斜率为（）

A.£B.2C.9D.£

5656

【答案】D

【分析】应用两点式求直线斜率即可.

【详解】由已知坐标，直线的斜率为k

246

故选：D.

2.若在1和16中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比口为（）

A.2B.2C,4D.4

【答案】A

【分析】根据等比数列的通项得：161q.lt从而可求出口.

【详解】解：\La,b,c,l版等比数列,

•••根据等比数列的通项得：161q„,

q2,

故选：A.

3.抛物线y4X2的焦点坐标是（）

A.i.oB.0,1

C.30D.0，1

【答案】D

【详解】抛物线y4x?的方程化为标准方程为：X2；y,

故P；,则焦点坐标为（0$）,

故选：D.

4.直线x邪Y2耶0被圆X2y24截得的弦长为（）

A.1B."

C.2D.3

【答案】C

【分析】利用直线和圆相交所得的弦长公式2氏F直接计算即可•

【详解】由题意可得图的圆心为00,0,半径r2,则圆心到直线的距离

277T272-32.

故选：C.

5.若双曲线经过点6邪,且它的两条渐近线方程是ylx,则双曲线的离心率是

10

【答案】A

【分析】由已知设双曲线方程为：子％0,6,JT代入求得1,计算即

可得出离心率.

t详解】双曲线经过点6,了，且它的两条渐近线方程是ylx,

设双曲线方程为：*y2°,6,邪代入得：个3,i.

所以双曲线方程为：上力i.

92

a3,bl,c

双曲线c的离心率为：

故选：A

6.已知f

【答案】B

【分析】求得导因数，则?，计算即可得出结果.

【详解】vfx

fx-x-掾,解得：x2.

oX24o

0

故选:B

7.在流行病学中，基本传染数R是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的

0

情况下，一个感染者平均传染的人数.R一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接

0

触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数R3,平

0

均感染周期为4天，那么感染人数超过1000人大约需要（）（初始感染者传染R

0

个人为第一轮传染，这R个人每人再传染R个人为第二轮传染）

00

A.20天B.24天

C.28天D.32天

【答案】B

【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，

得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数

【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染，

则每轮新增感染人数为R-

0

经过n轮传染，总共感染人数为：

1R1匕…RnLJJLI

0001K

0

即1「3一1000,解得n6,

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要24天，

故选：B

【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在

于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的

前n项和公式时,应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

8.设函数fxax2axInx1,若fx00的整数x0有且仅有两个，则a的

取值范围是（）

ln3ln2ln2ln3

A.———>———B一,一

6266

ln3ln2>ln2ln3

C一,一

,62

【答案】D

fx。等价于"二1ax,令hX,lnL1,gXax,利用导数研究

X1X1

h⑴g⑴

函数的单调性，作出hx的简图，数形结合只需满足h(2)g(2)即可.

h(3)g(3)

【详解】vfx0,即fxax2axInx10rInx1axx1

「iInx1

又x1,则--------ax.

1Inx1

hx------当hx0时，xe1,

X1乙

X(1,e1)时，hx0,X(e1,)时，hx0,

hx在(l,eD单调递减，hx在(e1,)单调递增，目h00,且*

hx0,作出函数hx图象如图所示,

若fx0°的整数x（）有且仅有两个，即只需满足

ln2

___a

h(l)g(l)

h(2)g(2),即—2a,解得：aln2ln3

~y~

h(3)g(3)

X1IF

___3a

4

故选：D

9.垂直于直线3x4y100且与圆x2y216相切的直线的方程是（）

A.4x3y180

B.4x3y200

C.4x3y180

D.4x3y200

【答案】BD

【分析】令所求直线为4x3ym0,根据与圆的相切关系求参数m,即可得方程.

【详解】由题设，与3x4y100垂直的直线为4x3ym0,

又与圆x2y216相切，则4,可得m20,经检验满足题设.

•••所求直线方程为4x3y200或4x3y200.

故选：BD.

10.在等差数列a中，若a6,a1则()

n49

A.a9

1

B.S45

io

C.S的最大值为45

n

D.S。时，n的最大值为19

n

【答案】ABC

【分析】先利用等差数列的通项公式及前n项和公式求出a及S]o即可判断选项AB的正

误；

利用数列的单调性即可判断选项C的正误，解关于n的不等式即可判断选项D的正误.

t详解】由已知条件得aa3d6,aa8d1,

4!91

109

解得a9,d1,则S910145,则选项AB均正确；

11u/

a9n1110n,此数列为单调递减数列，其中a。，

n1U

则数列的前9项和或前10项和最大，即S的最大值为SS45,则选项C正确；

n910

s9nULl0,解得0n19,且nN,贝”的最大值为曾，则选项D不正确；

n2

故选：ABC.

H.设m为实数，方程2二-1,下列说法正确的是()

m12m

A.若此方程表示圆，则圆的半径是我

2

B.若此方程表示双曲线，则m的取值范围是1,2

C.若此方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是2,

D.若此方程表示焦点在丫轴上的椭圆，则m的取值范围是L2

【答案】AC

t分析】根据选项中，方程所表示的曲线列不等式求参数或其范围，即可判断正误

【详解】A：方程为圆时，m12m可得m贝卜1,即半径是正

确；

B：方程为双曲线时，仙1)(2m)0可得m1或m2,错误；

m10

c：方程为焦点在X轴上的双曲线，n可得m2,正确；

29m0

D:方程为焦点在y轴上的椭圆，2mm10可得1m错误.

故选：AC.

12.关于切线，下列结论正确的是()

A.过点2，*且与圆X2y21相切的直线方程为XJTy20

B.过点L2且与抛物线y24x相切的直线方程为xy10

C.曲线ysin及在点不。处的切线的方程是2xy无0

D.过点0,0且与曲线yex相切的直线方程为exy0

【答案】ABD

【分析】对于A:利用圆的切线性质和直线垂直的斜率关系求得切线的斜率，然后利用

直线方程的点斜式写出直线的方程，从而判定A;对于B：利用点斜式设出切线方程，

利用判别式等于零求得斜率，进而得到抛物线的切线方程，进而判定B;对于C:利用

导数求得因数ysin2x在点为0处的切线的斜率，进而写出切线的方程，从而判定C；

对于D:设出切线横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过坐标原点，

代入求得切点的横坐标，进而得到切线的方程，从而判定D.

【详解】对于A：易知点为圆x2y21上的点，记坐标对应的

点为P,

圆的圆心为。0,0,则直线0P的斜率为k46

OPX

p

又•.•圆上的切线与圆的半径垂直，.•.切线的斜率为k1R

K3

0P

・・・切线方程为yxy，整理得：x事v20,故A正确;

23

对于B：过点1,2目与抛物线y24x相切的直线斜率显然存在，设为ykx12,

由抛物线的方程得X黑，代入切线方程并整理得。y2yk20,

44

k

.124_k21k22k0,

对于C:解得k1,・••切线方程为yx12,即xy1。，故B正确；

函数ysin2x的导函数为ycos2x22cos2x,

y|2cos2兀2,.•.国数ySin2x的图象在点兀0处的切线的方程是y2x兀，

XK

即2xy2n0.故C错误；

对于D：函数ye*的导函数为yex,过点0,0目与曲线y弓相切的直线与函数ye.

的图象的切点为Px,eq,则切线斜率ky|.•.切线方程为

0Xx

0

yexexXX,

00o

•.•切线经过点（。,0）.；.0e%0x,解得X1,

xoo0U

过点0,0且与曲线y不相切的直线方程为yex,即为exy0,故D正确.

故选:ABD.

三、填空题

13.设aR,若直线xay22a与直线axya1平行，则a的值是

【答案】1

【分析】先通过讨论a分成斜率存在和不存在两种情况，然后再按照两直线平行的判定

方法求解即可.

t详解】由已知可得，当a。时，两直线分别为x2和y1,此时，两直线不平行；

1a2a2

当a0时，要使得两直线平行，即——----解得，a1.

a1rnla

故答案为：1

4n

14.经过M4,3,N_V_,1两点的双曲线的标准方程是________.

【答案】电A1

43

【分析】设双曲线的标准方程将点坐标代入求参数，即可确定标准方程

169]

【详解】令上Zi1，则%,可得：2:

b3

a2K21112

3a2^2

9161

令2N1,则;2%,无解.

a2b2116i

a23b2

故双曲线的标准方程是％&1.

43

故答案为：2a1.

43

15.数列a的前n项和“满足：Sn22n1,则

nn

2,n1

t生素】

0术2n3,n2

【分析】利用当n1时，aS；当n2时，aSs〃即可得出.

11rnn1

31)22nl12n3,

【详解】当n2时，aSSn22n1

当n1时，aS1212,不适合上式,

11

2,n1

数列a的通项公式，

2n3,6lY

2,n1

故答案为:

2n3,n2,

120

16.已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为Tt15,其中Tt为蜥蜴的

t5

体温单位：C)J为太阳落山后的时间隼位：min).当tmin时，蜥蜴

体温的瞬时变化率为l.ZC/min.

【答案】5

【分析】求得导函数，令7①1-2计算即可得出结果.

1?0

【详解】...Tt__15,

t5

今T(t)1.2得-______1,2.

解得：t5.

时刻t5min时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为LZC/min.

故答案为:5.

四、解答题

17.在等差数列a中，已知公差dl.a3,前n项和53冥中n2）.

n2nn

（磔n；

（2床和：“|a|.

【答案】（312

⑵18

【分析】（1）根据已知的d,a,S，利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可列式求

nn

解.

（2）由第（1）问中求解出的an的通项公式，要求前12项绝对值的和，可以发现，该

数列前6项为正项，后6项为位项，因此在算和的时候，后6项和可以取原通项公式的

相反数即可计算，即为（SS）,然后再加上前6项和，即为要求的前12项绝对值的

126

和.

（1）

l.a3,前n项和$3

由题意可得，在等差数列a中，已知公差d

n2„n

a（n1）（1）3

,2

5

解之得2,所以n=12

n12

51）（》In3（hN*）,

由（1）可知数列｛an｝的通项公式为a（n

n乙

所以nh||a||a|...〔aS(SS)2SS

i12126126612

即fI2[6?（J][125号1（；）]18

i1

18.已知椭圆的焦点为F2.0.F2,0,且该椭周过点p2）五.

12

（1床椭圆的标准方程；

（2浴椭圆上的点Mx,y满足MFMF,求y的值.

00I2U

t答案】（埠111

(2)y2

0

【分析】(1)利用两点间距离公式求得p到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定

义得到a的值，结合c的值，利用a,b,c的平方关系求得b2的值，再结合焦点位置，写

出椭圆的标准方程.

(2)利用向量的数量积质一E0,求得点Mx,y满足的条件，再结合椭圆的方

1200

程，解得y0的值.

(1)

解：设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,

因为|PF|J2(2)2—(00263。

|PF|J(22%~~(退02,

所以|PF||PF|4/2a,即a坏,

12

又因为c=2,所以b?a2c24,

又因为椭图的中心在原点，焦点在x轴上，

所以该椭圆的标准方程为-111.

84

(2)

解：所(2x,y)昕•(2x,y)

100200

因为而一而一，所以加l丽-0,即x?y24,

121200

又2.41，所以丫24,即y2.

84oo

19.在等差数列a中，已知公差d0,a1,且a，aU6成等比数列.

n1123

(1成数列a的通项公式；

n

(2况bn2.求数列\的前n项和1.

nn

【答案】(lXn=n

(2)T(nI)第2

n

【分析】(1)由已知条件可得(d+2)2=2d+7,从而可求出公差d,进而可求得数列a

n

的通项公式，

(2)由(1)得bn2„,然后利用错位相减法求T

(1)

因为a,a+1,a+6成等比数列，所以GD2aG6)

123213

又ajl,所以(d+2)2=2d+7,所以(1=1或(1=3(舍)，

所以an=n；

(2)

因为bn2n,所以Tbb...b12222323...n2n1

nn12n

所以2T122223324...(n1)2„n2n,,

n

所以T22223...2nn2nj2nt2n2nj

n

所以T(n1)Z-2

n

20.设a》0,已知函数fx七a%a.

(1喏f13,求函数fx在l,f1处切线的方程；

(2床函数fx在0,2上的最大值.

【答案】(l)3xy20

(2当0«2时，f(x)max=8-当a>2B^,f(x)max=-a

【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解；

(2)先求函数的导数，令导数等于零，求得两极值点，然后讨论极值总是否在所给

区间内，再结合比较区间端点处的国数值的大小，可得答案

(1)

因为f(x)3X22ax,所以f⑴32a3,即a=0,

所以f(x)x3,f(1)=1,

所以切线方程为：yT=3(X-1),即3Xy20.

(2)

9a

f(x)3X22ax,令f(x)0得x0,x

123

①当a=0时，f(x)=X3在［Q2］上为单调递增函数,

所以f(x)max=f(2)=8；

2a

2时，即a>30寸，f(x)在［0,2］上为单调递减函数,

-

f&)f(0)a.

0,2)单调递增,

③当0Q2时，即0〈a<3时，£。)在(0,)上单调递减，在

JO

所以f(x)=max{f(0),f(2)},

(i)若f(0)>(2),2<a<3,f(x)max=f(0)=-a»

(ii)若f(0)<f(2),即0<a<2,f(x)max=f(2)=8-5；

综上，当0«2时，f(x)max=f(2)=8-当a>田寸，f(x)max=f(0)=-a

21.已知直线1与抛物线C:x22py(p0)交于，\,B两点.

(1浴P2,直线1过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2,求AB的长;

(2浴OAOB,ODAB交AB于D2,2,求p的值.

t答案】(D6

(2)2

【分析】(1)通过作辅助线，利用抛物线定义，结合梯形的中位线定理，可求得答案;

(2)根据题意可求得直线AB的方程为y=x+4,联立抛物线方程，得到根与系数的关系,

由OAJ_OB,得际时0,根据数量积的计算即可得答案.

(1)

取AB的中点为E,当p=2时，抛物线为C：x2=4y,焦点F坐标为F(0,1),过A,E,

B分别作准线y=T的垂线，重足分别为LH,G,

在梯形ABGI中(图1),E是AB中点，则2EH=AI+BG,

EH=2-(-1)=3,因为AB=AF+BF=AI+BG,

所以AB=2EH=6.

设A(x,y),B(x,y),由ODJ_AB交AB于D(-2,2),(图2),

I122

得kOD=-l,kAB=l,则直线AB的方程为y=x+4,

x22py

由得zx22px8P0,

yx4

所以XX2p,xx8p,

1212

由OAOB,得orOITO,即XXyy0,

1212

即xx(x4)i4)0可得2xx4&x)160

1212'1212

即2(8p)42p160,所以P=2.

22.已知函数fxInx—aaR.

x

(1岩a2,求函数fx的单调区间；

(2若函数fx有两个不相等的零点x,x,证明：xx4a.

1212

t答案】(1单调递增区间是(4,+«?)单调递减区间是(0,4)

(2证明见解析.

【分析】(1)求f(x)的导函数，结合定义域及导数的符号确定单调区间；

(2)法一：讨论a0、a。时f(x)的零点情况，即可得a0,构造

F(x)f(x)f(4ax),利用导数研究F(x)0在(0,2)恒成立，结合f(x)单调性证明不

1X

xxx]n

等式；法二：设°XX,XX01,由零点可得一炉,进而应用分析

1221A乙”--------------

IXXr

21

XXX

21n

法揩结论转化为证明FMv,综合换元法、导数证明结论即可.

121

(1)

函数f(x)的定义域为(0,+«?)

当a=2时，f(x)Inxi2,贝Uf(x)1—

XXx2x2

令f(x)0得，x>4；令f(x)0得,0<x<4；

所以，单调递增区间是(4,+㈤单调递减区间是(0,4).

(2)

当2《附，f(x)>0在(0,十处恒成立，故函数f(x)不可能有两个不相等的零点,

当a>0时，函数f(x)在⑵,+8上单调递增，在(0,2)上单调递减，

因为函数f(x)有两个不相等的零点x,x,则f(x)f(x),

i：*12

不妨设°X2ax♦

12

Inx2aIn⑷x)2a,

设F(x)f(x)f(4ax),(0<x<2a),则F(x)

x4ax

所以F(x)12a12a8a(x2a%

X%'

Xx24ax(4ax)2x2(4a

由a>0知：F(x)0在(0,2)恒成立,

所以F(x)在(0,2)上单调递减,即F(x)>F(2a)=0,

所以)即)④)f(右X)

f(x)f(4aX,f&fX又f(x)f(x),故