2021年全国高考乙卷数学（文）真题试卷（含详解）

绝密★启用前

河南省2021年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知全集。={123,4,5},集合"={1,2},N={3,4},则加(MuN)=()

A.B.{1,2}C.{3,4}D,{1,2,3,4)

2.设iz=4+3i,则2=()

A.-3—4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

3.已知命题〃：±wR,sinx<l；命题q:VxeR,e|v|>1.则下列命题中为真命题的是（

A.PHB.C."FD.

xY

4.函数/（x）=sin^+cos3的最小正周期和最大值分别是（）

A.3兀和0B.3兀和2C.6兀和及D.6%和2

x+y>4,

5.若苍丁满足约束条件，x-y«2,则z=3x+y的最小值为（）

A.18B.10C.6D.4

K25兀

6.2-------(\

1212

B/C6

A.D.—

2322

7.在区间（。，1随机取1个数，则取到的数小于工的概率为（

)

I2_3

3I

A.BD.

4-I°I6

8.下列函数中最小值为4的是（）

A.y=f+2x+4B.^|smx|+|sinx|

।4

C.y=2'+22TD.y=lnx+-----

Inx

9.设函数/（©=匕£，则下列函数中为奇函数是（

)

1+X

A.B./(x-l)+lC.小+1)-1D./(x+l)+l

10.在正方体—中，P为耳。的中点，则直线网与AO】所成的角为（）

11.设B是椭圆C：,+y2=i上顶点，点尸在C上，则归目的最大值为（）

A.|B.76C.y/5D.2

12.设arO,若x=a为函数/（x）=a（x—a）2（x—。）的极大值点，则（）

A.,a<bB.a>bC.ab<crD.ab>a2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=（2,5）,B=（%,4）,若aHb，则2=.

V2V2

14.双曲线±一上-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.

45

15.记4/6。的内角48,（7的对边分别为4,4c,面积为6，B=60。，q2+c2=3ac，则〃=

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥三视图，则所

选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

图④图⑤

三、解答题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和

一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为最和亍，样本方差分别记为s：和官.

⑴求嚏,亍,s：,S；;

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果»—元22)史£，则认为

V10

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).

18.如图，四棱锥尸一ABCD的底面是矩形，尸。，底面48。，M为8C的中点，且历.

(1)证明：平面平面P/m；

(2)若尸。=。。=1,求四棱锥P—ABC。的体积.

19.设｛4｝是首项为1的等比数列，数列也｝满足d=中.已知外,34,9%成等差数列.

⑴求(«„｝和也｝的通项公式；

C

⑵记S,,和T“分别为｛凡｝和出｝的前〃项和.证明：Tn<^-.

20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点尸到准线的距离为2.

(1)求C方程；

(2)已知。为坐标原点，点尸在C上，点Q满足而=90R，求直线。。斜率最大值.

21.已知函数/(>)=1-/+⑪+1.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一

题计分.

［选修4-4:坐标系与参数方程］

22.在直角坐标系xOy中，OC的圆心为。(2,1),半径为1.

(1)写出OC的一个参数方程；

(2)过点尸(4,1)作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线

的极坐标方程.

［选修4—5:不等式选讲］

23.已知函数/(%)=卜-4+,+3|.

（1）当。=1时，求不等式“X）26的解集;

（2）若a,求a的取值范围.

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河南省2021年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知全集。={123,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则加(MuN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D,{1,2,3,4}

【答案】A

【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得：MUN={1,2,3,4},则加(MUN)={5}.

故选：A.

2.设b=4+3i,则z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】C

【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

【详解】由题意可得：Z=113Z=(4+3Z)Z=4Z-3=3_4.

ii2-1

故选：c.

3.已知命题P：GR,sinx<1；命题4：VxeR,e|v|>1,则F列命题中为真命题的是()

A."qB.-pdqC.PAfD.

【答案】A

【分析】由正弦函数的有界性确定命题P的真假性，由指数函数的知识确定命题夕的真假性，由此确定正

确选项.

【详解】由于sin0=0,所以命题。为真命题；

由于y=，在R上为增函数，国之（），所以*iNe°=l，所以命题《为真命题；

所以?八夕为真命题，力八4、PAf、」（"v"）为假命题.

故选：A.

xY

4.函数/（x）=sing+cos］的最小正周期和最大值分别是（）

A.3兀和QB.3兀和2C.6兀和及D.6兀和2

【答案】C

【分析】利用辅助角公式化简/（x）,结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

xXI-V2.x42xX71

【详解】由题，/(x)=sinJ+cosy=V2——sin—+——cos—/sin,所以/（X）的最小正

2323J34

周期为一丁一“，最大值为

3

故选：C.

x+y>4,

5.若x，）满足约束条件<则z=3x+y的最小值为（）

”3,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为y=-3x+z,数形结合即可得解.

【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示,

转换目标函数z=3x+y为y=-3x+z,

上下平移直线y=—3x+z,数形结合可得当直线过点A时,z取最小值,

此时Z,nin=3xl+3=6-

故选：C.

-2兀25兀

6.cos---cos)

12n

1B6C.克

A.—D.3

2322

【答案】D

SjrJTjr

【分析】由题意结合诱导公式可得cos?2-cos2——=cos2---sin2一,再由二倍角公式即可得解.

12121212

75万2K71.21

【详解】由题意，cos?二-COS,■——=cos---cos---sin"—

1212121212

=一7t3

62

故选：D.

7.在区间（0,；随机取1个数，则取到的数小于g的概率为（）

【答案】B

【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.

【详解】设口="区间（0，：）随机取1个数”，对应集合为：p|0<x<|L区间长度为:，

A="取到的数小于;"，对应集合为：区间长度为:，

所以「（止箭bE=l

2

故选:B.

【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确

3

求出.

8.下列函数中最小值为4的是（）

A.j=x2+2x+4

C.y=2x+22-xD.y=\nx+—

Inx

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得

出民。不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,^=X2+2X+4=（X+1）2+3>3,当且仅当x=T时取等号，所以其最小值为3,A不

符合题意；

4L

对于B,因为0<卜也.41,y=Isinx|+----->2J4=4,当且仅当卜inx|=2时取等号，等号取不到,

sinx\

所以其最小值不为4,B不符合题意;

对于C,因为函数定义域为R,而2'>0,y=2'+22f=2'+?22"=4,当且仅当2、=2,即x=l

时取等号，所以其最小值为4,C符合题意;

对于D,y=lnx+S~,函数定义域为(O,l)U(l,+8)，而InxeR且InxwO，如当lnx=-l,y--5,

D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数

的性质即可解出.

9.设函数/.(3二上三，则下列函数中为奇函数的是()

1+x

A./(x-l)—]B.+lC.f(x4-—1D./(x+l)+]

【答案】B

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

1-Y9

【详解】由题意可得了。)=―-=-1+——,

1+x1+X

2

对于A,=——2不是奇函数；

x

2

对于B,/(工一1)+1=-是奇函数；

x

2

对于c,y(x+i)-i=—^-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

?

对于D,/(x+l)+l=——,定义域不关于原点对称，不是奇函数.

x+2

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

10.在正方体ABC0—A与GA中，2为4。中点，则直线与AQ所成的角为()

兀兀兀兀

A.-B.—C.-D.一

2346

【答案】D

【分析】平移直线AA至BG，将直线与AA所成的角转化为m与8G所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接BC|,PG，PB,因为AO|〃BG，

所以NPBQ或其补角为直线PB与AD,所成的角,

因为BBi1平面A4G2,所以J_PG，又PG±BR,BB。BR=4，

所以PG_L平面PBB,,所以PG，PB，

设正方体棱长为2,则BC,=2V2,PG=g,

sinZPBC,=^-=1,所以NPBG=f.

故选：D

2

11.设B是椭圆。：弓+;/=1的上顶点，点P在C上，则|尸邳的最大值为（）

A.1B.V6C.垂）D.2

【答案】A

2

【分析】设点〃（知几），由依题意可知，8（0,1）,羡+y：=l,再根据两点间的距离公式得到|PB『,

然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.

2

【详解】设点尸（知九），因为3（0,1）,a+邸=1,所以

|PB『=片+（%-1）2=5（1-乂）+（为一=-4$—2%+6=-4（%++今

而一14%41,所以当先=-；时，归邳的最大值为g.

故选：A.

【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数

的性质即可解出.易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的

长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量

的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值..

12.设。关0,若x为函数/(x)=a(x—a)2(x—。)的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<cTD.ab>a~

【答案】D

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对0进行分

类讨论，画出图象，即可得到。功所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若。=b,则/(x)=a(x—a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故疝b.

.'./(X)有x=a和x=b两个不同零点，且在x=。左右附近是不变号，在x=。左右附近是变号的.依题意,

为函数=—的极大值点，，在x左右附近都是小于零的.

当a<0时，由x〉/?,/(x)<0,画出/(x)的图象如下图所示：

由图可知b<a,a<0,故a/?〉。?.

当a>0时，由时，〃x)>0,画出/(x)的图象如下图所示:

由图可知Q>0，故

综上所述，〃/?>/成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量々=(2,5('=(44),若；〃］，则％=.

Q

【答案】-

5

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于;I的方程，解方程即可求得实数X的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-4x5=0,

Q

解方程可得：2=-.

Q

故答案为：—.

5

V22

14.双曲线二v=1的右焦点到直线x+2y—8=0的距离为.

45—

【答案】>/5

【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由已知，0=而寿=底7=3,所以双曲线的右焦点为（3,。），

|3+2x0-8|5/T

所以右焦点（3,0）到直线x+2y-8=0的距离为一/,,=下=4.

VI+22V5

故答案为：V5

15.记AABC的内角4,B,C的对边分别为a",c,面积为JLB=60。，a2+c2^3ac>则b=

【答案】2&

【分析】由三角形面积公式可得ac=4,再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，SAKC=—acsinB=—^-ac=yj3>

24

所以ac=4,/+c?=12,

所以。2=a2+c2-2accos3=12-2x4x；=8,解得b=2a（负值舍去）.

故答案为：2后.

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所

选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

【答案】③④（答案不唯一）

【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体A3CO—A4G。中，AB=BC=2,BB]=1,

E,F分别为棱BC，BC的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E—A£厅.

故答案为：③④.

【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关

系.

三、解答题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和

一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为(和亍，样本方差分别记为s；和$.

⑴求y,sf,Sj；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果》一了z2,生清，则认为

新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

【答案】（1）7=10,亍=10.3"；=0.036,$=0.04；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显

著提高.

【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.

……，、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7

［详解］（I）x=----------------------------------------------------------------=10,

10

-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

y=-----------------------------------------------------------------------=10.3,

22222222

20.2+0.3+0+0.2+0.1+0.2+0+0.1+0.2+0.3

।=-------------------------------------------------------------------=().()36,

'10

0.22+0.12+0.22+O.32+0.22+O+O.32+0.22+0.12+0.22八八，

-----------------------------------------------------------------------=0.04.

10

(2)依题意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=270.0225.=2,0.0076,

歹一^22，且萨，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高•

18.如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，底面A3CD,M为的中点，且心，A".

（1）证明：平面平面P/m；

（2）若尸。=。。=1,求四棱锥P—ABC。的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）走.

3

【分析】（1）由P£＞，底面ABCD可得PZ）_LAM，又PB上AM，由线面垂直的判定定理可得A/，平

面PBD,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM_L平面PBD；

（2）由（1）可知，AM上BD，由平面知识可知，ADAB〜AABM，由相似比可求出AO，再根据四棱

锥P-ABCD的体积公式即可求出.

【详解】（1）因底面ABC。，AMu平面ABC。，

所以PD1.40，

又PB上AM，PBC\PD=P,

所以AM_L平面尸8£）,

而AMu平面PAM，

所以平面PAM_L平面PBD.

（2）［方法一］:相似三角形法

由（1）可知40，即.

丁eqAD

于是AABD^ABMA，故一=——.

ABBM

因为6M=；8C,AO=BC,48=1,所以;BC2=1,即8C=a.

故四棱锥P—A3CD的体积V==正.

33

［方法二］:平面直角坐标系垂直垂直法

由⑵知所以

建立如图所示的平面直角坐标系，设3C=2a（。＞0）.

因为QC=I,所以A(0,0),B(1,O),0(0,2”)，

从而L-2a)=-202=-1

所以“=正，即=下同方法一.

2

［方法三］【最优解】：空间直角坐标系法

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

设|QA|=f,所以。(0,0,0),C(0,l,0),尸(0,0,1),A(f,0,0),

所以加(耳,1,()],PB=—1),AM=(-

所以而.而=r(—；)+lxl+0x(—1)=-■^■+1=0.

所以r=夜，即|D4|=&.下同方法一.

［方法四］:空间向量法

由得PAAA/=O.

所以（丽+方+而）•而=0.

即网5人必+万必+A月•AM=0.

又「。，底面ABCD,AV在平面A8CO内，

因此PDJ_AM，所以P//AA/=O.

所以AM，+A反AA/=0，

由于四边形ABC。是矩形，根据数量积的几何意义，

得一g|ZX4f+|A*『=0,即一glBCf+1=0.

所以I前1=后，即BC=J5.下同方法一.

【整体点评】（2）方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通

法，为最优解；

方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.

19.设｛a,,｝是首项为1的等比数列，数列出｝满足勿=号•已知«i-3%，9%成等差数列.

（1）求｛4｝和也｝的通项公式；

C

⑵记S,,和T“分别为｛凡｝和｛5｝的前"项和.证明：T“〈芍.

1n

【答案】（1）为=（；尸，bn=—；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用等差数列性质及《得到9d-6q+l=0,解方程即可；

（2）利用公式法、错位相减法分别求出S“,7；,再作差比较即可.

【详解】（1）因为｛%｝是首项为I的等比数列且6,3%，9%成等差数列，

所以6a2=q+9%,所以6%4=q+9%d,

即9d—6q+l=0,解得q=；,所以a,

nan

所以勿n

~~r

（2）［方法一］:作差后利用错位相减法求和

12n-\n

=—I——+…-I----H---

3323"T3"

S，，-1。+1+*••・+击),

0」1-12-』

--n-2-*1,-2--,；--1--2-,--,-r•••+

3°3'32

C1,1C1.1

、儿()——1——2——n-1——人

设「=—1+二+—2+...+2.⑧

"3°3'32

/、1,1c1,1

10——1——2——n-\——三

则2,2,2,.2•⑨

33'32333"

由⑧一⑨得之2「

3"3"

_3

所以「1n~2n

n~4x3"<-2X3"T_2X3"T

snnn

因此才-,：_,<0.

F2X32x3"

q

故心子

［方法二］【最优解】：公式法和错位相减求和法

1X(1-—)a

"3"'_3

证明：由（1）可得5.一^^一万

1------

3

丁12n-ln-

T=­I—7+…H----H---，①

〃3323〃T3〃

1丁12n-ln

31-十寸…+丁+诃，②

(1)

①一②得2T=l+l+l+.,.+l_2L=3-y_2L=l(i_l)_2L,

3“332333"3"i,13,,+123"3,,+1

1-----

3

31〃

后S〃3”1、n3/I1、n_

所以L—二—(1)-------------(1)=--------<0,

〃243“2.3"43〃2.3”

q

所以T“(手

[方法三]:构造裂项法

(1

由(I)知4=〃(3)%”，即

,令cn=(an+-，且b”=cn-

\37

“L=(a〃+4)(g)—[a(〃+l)+0,

通过等式左右两边系数比对易得a=：〃=j,所以孰=（；〃+;）（；、

则骞=4+仇+…+2=q_q,+i=；_，下同方法二.

[方法四]:导函数法

出2a-九")

设fM=x+X2+X3H-----\-Xn=---------，

1-X

』x(l")]_卜(1")],(1)-1(17")卜(1-同'_1+加用—5+1)/

[FT]=彼与=一七?一

1+心-(〃+l)x"

则f'M=1+2x+3x2H-----Fnx"~'

(17)2

所以

11

T=b+b+b,+---+bl+2xl+3x

rlt2n333J

@咽=>臣北｝下同方法二

【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数

学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择,

关键是要看如何消项化简的更为简洁.

（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论;

方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得S„,T„,然后证得结论,为最优解;

门Y

方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造c,=。〃+尸）上，使a=c“-c,+i，求得7”的表达

式，这是错位相减法的一种替代方法，

方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.

20.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点F到准线的距离为2.

（1）求C的方程；

（2）已知O为坐标原点，点尸在C上，点。满足用=9/,求直线。。斜率的最大值.

【答案】（1）y2=4x；（2）最大值为

3

【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；

（2）设。（事,%），由平面向量的知识可得一9,10为），进而可得与=生洋2,再由斜率公式及

基本不等式即可得解.

【详解】⑴抛物线。：尸=2川（〃>0）的焦点/［§0］,准线方程为x=—g

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为］--D=P=2,

所以该抛物线的方程为>2=4x；

（2）［方法一］:轨迹方程+基本不等式法

设Q(%,%)，则而=9无=(9一9%,-9%),

所以P(lOxo-9/O%),

由尸在抛物线上可得(10%y=4(10%—9)，即/=25*+9，

9o

据此整理可得点。的轨迹方程为

k"。_)'。—10%

OQ

所以直线。。的斜率xQ所以+925必+9,

10

当先=°时,kpQ=0；

kio

当"。时,。厂获了,

%

9

当%>0时，因为25%+—22=30,

%

193

此时0<%2«—,当且仅当25%=一，即为=一时，等号成立;

3%5

当%<0时、kOQ<0；

综上，直线。。的斜率的最大值为

3

［方法二］:【最优解】轨迹方程+数形结合法

2o

同方法一得到点Q的轨迹方程为.

2Q

设直线。。的方程为y=履，则当直线。Q与抛物线一三相切时，其斜率上取到最值.联立

y=kx./、2

J7Q(Q1

,29得人2-4+1=0,其判别式△=，-4FxN=0,解得％=±—,所以直线0。

y=-x——，52515J253

I525''

斜率的最大值为g.

［方法三］:轨迹方程+换元求最值法

2o

同方法一得点Q的轨迹方程为丁=y无一石.

设直线0Q的斜率为鼠则公J?)=2一一」

⑴5x25x2

令"Lu/ovfw瞿］，则二=一的对称轴为f=2,所以0〈左24J_故直线。。斜

xI9；2559933

率的最大值为一.

3

［方法四］:参数+基本不等式法

由题可设尸(4尸,4。(/>()),Q(x,y).

因为尸(1,()),而=9/，所以(x—4”,y-4f)=9(l—x,-y).

X-4/=9(1)10x=4/+9

于是<，所以《

y-4z=-9yl0y=4t

_y—___4__t__—____4__<,__4______—__1

则直线OQ的斜率为4『+"一如72网一3.

1

当且仅当4r==9，即r=3±时等号成立，所以直线OQ斜率的最大值为士.

t23

【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得。的轨迹方程，得到直线。。的斜率关于y的表达式,

然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；

方法二同方法一得到点。的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线0。的斜率的最大值，

为最优解；

方法三同方法一求得Q轨迹方程，得到直线。。的斜率左的平方关于X的表达式，利用换元方法转化为二

次函数求得最大值，进而得到直线。。斜率的最大值；

方法四利用参数法，由题可设尸(4/,4/)(f>0),Q(x,y),求得xy关于，的参数表达式，得到直线OQ的斜

率关于f的表达式，结合使用基本不等式，求得直线。。斜率的最大值.

21.已知函数/(X)=-V+4X+1.

(1)讨论f(x)的单调性;

⑵求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.

【答案】⑴答案见解析；⑵和(―1，一1一。).

【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；

(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.

【详解】⑴由函数的解析式可得：f(x)=3x2-2x+a,

导函数的判别式△=4—12。，

当△="时，/'(x)NOJ(x)在R上单调递增,

当A=4-12a>0»a<g时，，(工)=0的解为：玉=上哼至=匕*三电

当xe——时，r(K)>0,〃x)单调递增；

当XW3-1+W；二3a时，r(x)<0J(x)单调递减;

I33).

'1+Jl_3〃1

当天£—了」,+8时，r(x)>o»/G)单调递增；

综上可得：当心/时，，(#)在R上单调递增，

J.、，(1_A/1-3a](1+Jl—3a

当a<2时，，㈤在一%——-——，——-——,+00上

313JI3.

丛、田士工品”1——3a1+\J1—3a、出、拈、廿

单调递增，在,上单1Ml调递臧.

,

(2)由题意可得：/(也)=片一片+诙+1,/(xo)=3%o-2xa+a,

则切线方程为：y-(片—xj+av()+1)=(3x；—2x()+a)(x—%),

切线过坐标原点，则：()一(片一片+"+1)=(3片—2%+。)(0—％),

整理可得：—%：-1=0,即：(x0—1乂2%+玉)+1)=(),

解得:%=1，则，/)=/(l)=I-l+a+I=a+Lr(x0)=r(l)=l+a

切线方程为：y=(a+l)x,

与/(*)=x1-x2+OX+1联立得/—一+OX+1=(Q+1)X,

化简得丁—d-x+1=0,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，.［（x—l）是丁一%2—x+1的一个因

式，.••该方程可以分解因式为（x-D（f_i）=o,

解得玉=1,%=-1,

综上，曲线）=/（工）过坐标原点的切线与曲线7=/（工）的公共点的坐标为（Lo+l）和（―1,一1一a）.

【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注

意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时,

要注意除了己经求出的切点，还可能有另外的公共点（交点），要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解

时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考

压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.

（-）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一

题计分.

［选修4-4:坐标系与参数方程］

22.在直角坐标系xOy中，OC的圆心为c（2,l）,半径为1.

（1）写出OC的一个参数方程；

（2）过点尸（4,1）作OC的两条切线.以