2021年北京市海淀区、怀柔区中考数学一模试卷

2021年北京市海淀区、怀柔区中考数学ー模试卷

ー、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一

个.

1.（2分）如图是某几何体的三视图,该几何体是（）

□□

A.圆柱B,球C.三棱柱D.长方体

2.（2分）2021年2月24日6时29分,我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功

实施第三次近火制动,进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停

泊轨道.将59000用科学记数法表示应为（）

A.0.59xl05B.5.9xlO5C.5.9x1〇4D.5.9x1〇3

3.（2分）七巧板是我国的ー种传统智力玩具,下列用七巧板拼成的图形中,是轴对称图形

的是（）

4.（2分）如图是一个可以自由转动的转盘,转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、

白二种颜色,指针的位置固定，转动的转盘停止后,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的

位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）,则指针指向白色区域的概率是（

)

cD.1

4!

5.（2分）己知正多边形的ー个外角等于60。,则该正多边形的边数为（)

A.3B.4C.5D.6

6.（2分）实数。与わ在数轴上对应点的位置如图所示,则正确的结论是（）

ba

-5-4-3-2-1012345

A.avOB.a<bC.Z?+5>0D.|a|>|6|

7.（2分）已知x=l是不等式2x-6<0的解，6的值可以是（）

A.4B.2C.0D.-2

8.（2分）如图,是〇〇直径,点C,ハ将A3分成相等的三段弧,点P在AC上.已

知点Q在A3上且4PQ=115。,则点。所在的弧是（）

A.APB.PCC.CDD.DB

二、填空题（本题共16分,每小题2分）

9.（2分）若式子A/Tス有意义,则实数x的取值范围是ー.

10.（2分）方程组で+1的解为.

[2x-y=6-------

11.（2分）如图,在一束平行光线中插入ー张对边平行的纸板.如果图中/1是70。,那么/2

的度数是.

12.（2分）若0+”的值为有理数,请你写出ー个符合条件的实数〃的值.

X211

13.（2分）计算:F------------）——=.

x-\x-\x+\------

14.（2分）己知关于x的方程ドー（s+2）x+4=0有两个相等的实数根,则机的值是.

15.（2分）图1中的直角三角形有一条直角边长为3,将四个图1中的直角三角形分别拼成

如图2,图3所示的正方形,其中阴影部分的面积分别记为邑，则鸟ー邑的值为ー.

图1

16.（2分）图1是ー个2x2正方形网格,两条网格线的交点叫做格点,甲、乙两人在网格

中进行游戏,规则如下:

游戏规则

。.两人依次在网格中画线段,线段的起点和终点均为格点:

b.新画线段的起点为前一条线段的终点,且与任意已画出线段不能有其他公共点;

c.己画岀线段的所有端点中,任意三个端点不能在同一条直线上:

d.当某人无法画出新的线段时,则另一人获胜.

如图2,甲先画出线段AB,乙随后画出线段8C.若这局游戏继续进行下去,最终的获胜

者是（填"甲’'，"乙”或“不确定”）.

图1图2

三、解答题（本题共68分,第17-20题,每小题5分,第21题6分,第22题5分,第23

题6分,第24题5分,第25-26题，每小题5分,第27-28题,每小题5分）解答应写出

文字说明、演算步骤或证明过程.

17.（5分）计算:|ー竝|-28$45。+（万一1）°+疝.

4（x+l）..x+7

18.（5分）解不等式组:3X+2

----->x

I4

19.（5分）如图,点3,E,C,ド在一条直线上,AB//DE,AB=DE,BE=CF.求

证:ZA=ZD.

20.（5分）已知ピ+a-l=0,求代数式（a+2）（a-2）+43+2）的值.

21.（6分）如图，矩形A88中,点E在8C上,AE±ED.

（I）求证:AABE^AECD；

（2）ド为AE延长线上ー点,满足£F=>1E,连接/）ビ交3c于点G.若・=2,BE=1,

求GC的长.

一

F

22.（5分）我国是世界上最早发明历法的国家之一.《周礼》中记载:垒土为圭,立木为表,

测日影,正地中,定四时.如图1,圭是地面上一根水平标尺,指向正北，表是一根垂直于

地面的杆.正午,表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气.

在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型.如图2,地面上放置ー根长2m的杆ル3,向

正北方向画一条射线3C,在3c上取点ハ,测得皮）=1.5加,AD=2.5m.

（1）判断:这个模型中?W与3C是否垂直.答:—（填’‘是”或“否"）:你的理由

是：.

（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角a的值,如下表:

节气夏至秋分冬至

太阳光线与地面夹角a74°50°27°

①记夏至和冬至时表影分别为BM和BN,利用上表数据,在射线3c上标出点”和点N的

位置;

②记秋分时的表影为BP,推测点P位于.

A.线段MN中点左侧

B.线段中点处

C.线段中点右侧

23.（6分）已知直线八ア=*0）经过点A（-l,2）.点P为直线/上一点,其横坐标为m.过

点尸作y轴的垂线,与函数y=q（x>0）的图象交于点。.

X

（I）求ス的值;

（2）①求点。的坐标（用含机的式子表示）；

②若APO。的面积大于3,直接写出点尸的横坐标,"的取值范围.

24.（5分）牛年伊始,中国电影行业迎来了开门红.春节档期全国总观影人次超过1.6亿,

总票房超过80亿元.以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息.

«.两部影片上映第一周单日票房统计图

b.两部影片分时段累计票房如下

上映影片2月12日-18日累计票房（亿元）2月19日-21日累计票房（亿元）

甲31.56

乙37.222.95

（以上数据来源于中国电影数据信息网）

根据以上信息,回答下列问题:

（1）2月12日-18日的一周时间内,影片乙单日票房的中位数为ー；

（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是ー：

①甲的单日票房逐日增加;

②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差;

③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大.

（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙,据此估计,2月19日ー21日

三天内影片甲的累计票房应超过ー亿元.

25.（6分）如图,是〇〇的弦,C为〇〇上一点,过点C作ん3的垂线与ん3的延长线

交于点ハ,连接80并延长，与。。交于点E,连接EC,ZABE=2ZE.

（1）求证:8是。。的切线;

（2）若tanE=丄，BD=\,求AB的长.

26.(6分)在平面直角坐标系x0y中,己知抛物线、=融ユ-2or+a-2(a>0).分别过点

M&0)和点N(f+2,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A和点3.记抛物线在A,8之间的部

分为图象G(包括A,3两点).

(1)求抛物线的顶点坐标;

(2)记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为机.

①当〃=2时,若图象G为轴对称图形,求加的值;

②若存在实数f,使得帆=2,直接写出a的取值范围.

27.(7分)如图,在AABC中,AB=AC,Zfi4C=40°,作射线CM,ZACM=80°.ル在

射线CM上,连接4),E是")的中点,C关于点E的对称点为ド，连接£)尸.

(1)依题意补全图形;

(2)判断ん5与。尸的数量关系并证明;

(3)平面内一点G,使得。G=Z)C,FG=FB,求/CZXJ的值.

备用图

28.(7分)在平面直角坐标系x0y中,对于点A和线段MN,如果点A,〇,M,N按逆

时针方向排列构成菱形AOMN,且ZAOM=a,则称线段MN是点ん的“。ー相关线段”.例

如,图1中线段MN是点A的“30。-相关线段”.

(1)已知点A的坐标是(0,2).

①在图2中画出点A的“30。ー相关线段”MN,并直接写出点〃和点N的坐标；

②若点A的“aー相关线段”经过点(6,1),求a的值；

（2）若存在a,ガ（a/ガ）使得点P的“aー相关线段”和“〃ー相关线段”都经过点（0,4）,

图2

2021年北京市海淀区、怀柔区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

ー、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一

个.

1.（2分）如图是某几何体的三视图,该几何体是（）

□□

A.圆柱B,球C1三棱柱D.长方体

【解答】解:由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形,

故该几何体是ー个柱体,

又•.•俯视图是ー个圆,

故该几何体是ー个圆柱.

故选:A.

2.（2分）2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功

实施第三次近火制动,进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停

泊轨道.将59000用科学记数法表示应为（）

A.0.59x10sB.5.9xlO5C.5.9xlO4D.5.9x10,

【解答】解:59000=5.9xlO4.

故选：C.

3.（2分）七巧板是我国的一种传统智力玩具,下列用七巧板拼成的图形中,是轴对称图形

的是（）

A.OB.已

【解答】解:A、是轴对称图形,故此选项符合题意;

3、不是轴对称图形,故此选项不合题意;

C、不是轴对称图形,故此选项不合题意;

0、不是轴对称图形,故此选项不合题意.

故选:A.

4.（2分）如图是ー个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形,颜色分为灰、

白二种颜色,指针的位置固定,转动的转盘停止后,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的

位置（指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（

424

【解答】解:•.・转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，

・•・指针指向白色区域的概率是

故选:B.

5.（2分）已知正多边形的ー个外角等于60。,则该正多边形的边数为（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解:360°4-60°=6.

故该正多边形的边数为6.

故选:D.

6.（2分）实数。与わ在数轴上对应点的位置如图所示,则正确的结论是（）

ba

-5-4-3-2-1012345

A.avOB.a<bC.6+5>0D.\a\>\b\

【解答】解:A.,・,2vav3,4>0,答案A不符合题意;

B.•「2vav3,-4<b<-39:.a>b>.•.答案B不符合题意;

C.v-4</?<-3,.-./?+5>0,.•.答案。符合题意;

D.-：2<a<3,-4<6<-3,:\a\<b\,.,・答案。不符合题意.

故选:C.

7.（2分）已知x=l是不等式2x-hv0的解,い的值可以是（)

A.4B.2C.0D.-2

【解答】解:“=1是不等式2x—bv0的解,

/.2-Z?<0,

/.Z;>2,

故选:A.

8.（2分）如图,是00直径,点C,。将A3分成相等的三段弧,点尸在AC上.已

知点Q在AB上且/A尸。=115。,则点。所在的弧是（）

B.PCC.CDD.DB

【解答】解:・.・NAPQ=115。,

/.ZAPQ所对应优弧48。,

・•・根据圆周角定理易知优弧ABQ所对圆心角为230°,

则劣弧APQ所对应圆心角ZAOQ=130°,

・・・。、ハ为的三等分点,

...ZAOr>=120°

故。应位于。8上,

故选：〇.

二、填空题（本题共16分,每小题2分）

9.（2分）若式子＞/T万有意义,则实数x的取值范围是_x..l

【解答】解:依题意得

x—1..0,

X..1.

故答案为:x.A.

元+y=3x=3

10.（2分）方程组的解为.

2x-y=6y=0~

x+y=3①

【解答】解:

2x-y=6®

①+②,得

3x=9,

解得x=3,

把x=3代入①,得

3+y=3，

解得y=0,

原方程组的解是」

故答案是い=へ。.

11.（2分）如图,在ー一束平行光线中插入ー张对边平行的纸板.如果图中/1是70。,那么/2

的度数是110。.

【解答】解:如图所示，由题意可知〃〃’,

•.•////',

.•.N1+N3=180。（两直线平行,同旁内角互补），

又•.•Nl=70°,

二/3=110。,

.".Z2=Z3=110°（两直线平行,内错角相等）.

故答案为:110。.

12.（2分）若の+”的值为有理数,请你写出ー个符合条件的实数。的值一正（答案不

唯一）.

【解答】解:•.•&+a的值为有理数,

.•.符合条件的实数”的值可以为:（答案不唯一）.

故答案为:（答案不唯一）.

X211

13.（2分）计算:（―-----—）•—=1.

x-1x-1x+1----

【解答】解:原式=三」.丄

X-\X+1

（x+l）（x-l）

（x+l）（x-l）

=1,

故答案为:1.

14.（2分）已知关于x的方程づー（加+2）x+4=0有两个相等的实数根，则い的值是2或

-6_.

【解答】解:•.■方程ギー（〃，+2»+4=0有两个相等的实数根,

.-.△=0,即。カ+2）2—4x4=0,

解得：ル=2或%=—6,

故答案为：2或ー6.

15.（2分）图1中的直角三角形有一条直角边长为3,将四个图1中的直角三角形分别拼成

如图2,图3所示的正方形,其中阴影部分的面积分别记为邑,则S-S,的值为9.

Si

Sz

图1图2图3

【解答】解:设图1中的直角三角形另一条直角边长为ケ,

2222

.-.S,=3+b=9+b,S2=b,

S]—S2=9,

故答案为9.

16.（2分）图1是ー个2x2正方形网格,两条网格线的交点叫做格点,甲、乙两人在网格

中进行游戏,规则如下:

游戏规则

a.两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点;

b.新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点;

c.已画出线段的所有端点中,任意三个端点不能在同一条直线上:

d.当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜.

如图2,甲先画出线段AB,乙随后画出线段BC.若这局游戏继续进行下去，最终的获胜

图1图2

【解答】解:如图2中,甲只能画3次线段，乙可以画2次线段,

图2

所以,乙一定能获胜.

故答案为:乙.

三、解答题（本题共68分,第17-20题,每小题5分,第21题6分,第22题5分,第23

题6分,第24题5分,第25-26题,每小题5分,第27-28题,每小题5分）解答应写出

文字说明、演算步骤或证明过程.

17.（5分）计算:|-A/2|-2cos45o+（^-l）°+Vi2.

ら

【解答】解:原式=竝ー2x注+1+26

2

=V2-V2+1+2A/3

=1+2け.

4（x+l）..x+7

18.（5分）解不等式组:3x+2

--------->x

I4

【解答】解：解不等式4（x+l）..x+7,得:X..1,

解不等式主主2>x,得：x<2,

4

则不等式组的解集为L,x<2.

19.（5分）如图,点8,E,C,ド在一条直线上,AB//DE,AB=DE,BE=CF.求

证：ZA=ZD.

【解答】证明:•.•A3//r)E,

:.ZB=ZDEF,

•;BE=CF,

:.BE+EC=CF+EC,BC=EF,

在MfiC和M)EF中,

AB=DE

"NB=NDEF,

BC=EF

:.MBC三ADEFISAS),

：.ZA=ZD.

20.（5分）已知が+。ー1=0,求代数式（。+2）（〃ー2）+〃（a+2）的值.

【解答】解:,.,グ+〃ー1=0,

二+。=1,

原式=储ー4+/+2〃

=2a2+2。ー4

=2（ど十〇）_4,

当"+4=1时,原式=2—4=—2.

21.（6分）如图,矩形ABC"中,点七在上,AELED.

（1）求证:故BEs/sECD；

（2）ド为延长线上ー点,满足EF=AE,连接。ビ交おc于点G.若ん3=2,BE=1,

求GC的长.

【解答】证明:(1)・.・AE•丄ク石,

.-.ZA£»=90o=ZB=ZC,

:.ZAEB+ZDEC=ZAEB+ZBAE,

：.ZBAE=ZDEC,

:.^ABES^ECD；

(2)^ABEs庄CD,

.ABBE

-EC-CD

2_1

..——,

EC2

.•.石。=4,

・.・AE=EF,ZAED=90°,

:.AD=DF,

XvZA£E>=90°,

:.ZADE=ZFDE,

-.■AD//BC,

ZADE=NDEC=ZFDE,

:.DG=EG,

■：DG2=DC2+GC-,

(4-GC)2=4+GC2,

.•.GC=|

22.（5分）我国是世界上最早发明历法的国家之一.《周礼》中记载:垒土为圭,立木为表,

测日影,正地中,定四时.如图1,圭是地面上一根水平标尺,指向正北,表是一根垂直于

地面的杆.正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气.

在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型.如图2,地面上放置ー根长2加的杆ん5,向

正北方向画一条射线3C，在3c上取点ハ,测得皮）=1.5加，AD=2.5m.

（1）判断:这个模型中他与3c是否垂直.答:是（填“是”或“否”）;你的理

由是:

②记秋分时的表影为8P,推测点P位于

A.线段MN中点左侧

B.线段MV中点处

C.线段中点右侧

夏至・

冬至

图2

【解答】解：(1)•.•AB=2加,BD=\.5m,AD=2.5m,

AD-=6.25,AB2+BD2=6.25,

.-.ADr=AEP+BD1,

ZABD=90°,

.•.ん®）是直角三角形.

故答案为:是,勾股定理的逆定理.

（2）①如图2中,点点N即为所求作.

图2

②观察图像可知,点P在线段MN的中点的左侧,

故选A,

故答案为:A.

23.（6分）已知直线七y=fcc（AwO）经过点A（-l,2）.点P为直线/上一点，其横坐标为机.过

点P作y轴的垂线，与函数y=-（x>0）的图象交于点。.

X

（1）求ん的值;

（2）①求点。的坐标（用含小的式子表示）；

②若APO。的面积大于3,直接写出点P的横坐标m的取值范围.

【解答】解:（1）将点A的坐标代入y=得:2=-k,

即ん=-2；

（2）①由（1）知,y=-2x,

设点P的坐标为（利,-2加），

当y=-2m=一时,x=--—,

xm

故点。的坐标为（--,-2附:

由函数y=—（x>0）,则川<0,

x

故，〃<—1.

24.（5分）牛年伊始,中国电影行业迎来了开门红.春节档期全国总观影人次超过1.6亿,

总票房超过80亿元.以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息.

两部影片上映第一周单日票房统计图

t票房亿元

ー影片甲

-Cー影片乙

2月12日2月13日2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日日期

b.两部影片分时段累计票房如下

上映影片2月12日-18日累计票房(亿元)2月19日-21日累计票房(亿元)

甲31.56

乙37.222.95

(以上数据来源于中国电影数据信息网)

根据以上信息,回答下列问题:

(1)2月12日-18日的一周时间内,影片乙单日票房的中位数为4.36；

(2)对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是ー：

①甲的单日票房逐日增加;

②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差;

③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大.

(3)截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙,据此估计,2月19日ー21日

三天内影片甲的累计票房应超过ー亿元.

【解答】解;(1)乙单日票房从小到大排列如下;

1.63,2.32,3.13,4.36,7.49,8.18,10.11,

.•.2月12日一18日的一周时间内,影片乙单日票房的中位数为4.36,

故答案为;4.36；

(2)①甲的单日票房并未逐日增加，在16日、17日、18日有下降,故错误；

②甲的图象来看更加平缓,方差较小,故正确；

③甲超过乙的差值从15日开始分别为:15日1.02、16日2.77、17日3.2、18日2.65,所以

在第一周的单日票房统计中,甲超过乙的差值于2月17日达最大,故正确.

故选:②③；

(3)设19-20日的票房为ズ亿元,则ス必须满足:

31.56+N=37.22+2.95,

.“=40.17-31.56=8.61.

「•2月19日-21日三天内影片甲的累计票房应超过8.61亿元.

故答案为:8.61.

25.(6分)如图,是00的弦,。为00上一点,过点C作的垂线与的延长线

交于点。,连接80并延长,与00交于点石,连接EC,ZABE=2ZE.

(1)求证:8是00的切线;

(2)若tanE=丄,BD=1,求AB的长.

3

【解答】（1）证明:连接”,

\OE=OC,

:.ZE=ZOCE,

・・・ZBOC=ZE+NOCE,

;.ZBOC=2ZE,

\ZABE=2ZE

:.ZABE=ZBOC,

:.ABI/OC,

,;AB上CD,

.•.〇C丄CD,

二.CD是00的切线;

(2)解:连接AC,BC,

・.・BE是0。的直径,

/.ZBCE=90°,

二/OCE+NOCB=900,

・・・NOCB+/BCD=90。,

:./BCD=/OCE,

二/BCD=NE,

•/NA=N£,tanE=—,BD=1,

3

CDBD1

二.---=——=-,

ADCD3

:.AD=9,

AB=8.

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线び=の2-2奴+”-2（a>0）.分别过点

0）和点NQ+2,0）作x轴的垂线,交抛物线于点A和点3.记抛物线在A,3之间的部

分为图象G（包括A,8两点）.

（1）求抛物线的顶点坐标;

（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m.

①当"=2时,若图象G为轴对称图形,求加的值;

②若存在实数f,使得%=2,直接写出a的取值范围.

【解答】解:（1）y=ax2-2ax+a-2=a（x-1）2-2,

.'.抛物线v=ax2-2ax+a-2的顶点为（1,-2）；

(2)①当a=2时，y=2x2-4x,抛物线对称轴x=l,

•.•图象G为轴对称图形,0),N"+2,0),

1—t=t+2—1»

/./=0,

过点M(r,O)和点NQ+2,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A和点3,

.1.4(0,0),8(2,0),

•.•顶点为(1,-2),

,\m=0—(-2)=2；

②:过点MQ,〇)和点N"+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B,

A(f,cit~—2at+a—2),B(t+2,+2)~—2a(f+2)+a—2),

又a＞0,抛物线对称轴x=l,

(一)当f+2,1,即&-1时，图象G上A的纵坐标的值最大，B的纵坐标的值最小,

(a厂-2at+a—2)—[a(f+2)~—2a(f+2)+a—2]=2,

解得”ー丄,

(二)当rvlvr+2,且，+2-L,IT,即ー1＜厶,0时,图象G上A的纵坐标的值最大,顶

点纵坐标的值最小,

.,.(〃ド-2at4-—2)—(—2)—2,

2

(—IP

又一1＜厶,〇,

!へ

2

(三)当［vlvr+2,且r+2—1＞1T,即Ov，＜l时,图象G上3的纵坐标的值最大,顶点

纵坐标的值最小,

a(t+2)~—2a(t+2)+〇ー2—(—2)=2,

2

・二a=-----7,

(，+1)2

又0＜，＜1,

!へ

2

(四)当r..l时,图象G上8的纵坐标的值最大,A的纵坐标的值最小,

u(t+2)"—2a(f+2)+a—2—(a厂—2at+a—2)=2,

又f..l,

综上所述,若存在实数r,使得根=2,则〇＜4,2.

27.(7分)如图,在ム钻C中,AB=AC,ZBAC=4O°,作射线CM,ZACM=80°.ハ在

射线CM上,连接A