2021年北京市延庆区高考数学一模试卷

2021年北京市延庆区高考数学一模试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（4分）（2021•延庆区一模）已知全集。={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,

0,1},则aA）UB=（）

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.[-1,0,1,3）

2.（4分）（2021•延庆区一模）已知{%}为无穷等比数列,且公比0<”1,记为{%}的

前〃项和，则下面结论正确的是（）

A.a3<a2B.a,xa2>0C.{%}是递减数列D.S“存在最小值

3.（4分）（2021•延庆区一模）已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，过点尸的直线/交C于A,

3两点，且|4?|=8,则线段四中点的横坐标为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（4分）（2021•延庆区一模）设xeR,则“V一5犬+6<0”是“|x—2|<1"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（4分）（2021•延庆区一模）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角

三角形，侧（左）视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是（）

侧（左）视图

A.1B.2C.3D.4

6.（4分）（2021•延庆区一模）在平面直角坐标系xQy中，直线/的方程为），=k（x+D+3,

以点（1,1）为圆心且与直线/相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（）

A.2B.2应C.4D.8

7.（4分）（2021•延庆区一模）已知定义在A上的塞函数f（x）=/'（，"为实数）过点42,8）,

记a=/（logg3）,b=/（log,5）.c=f（m）,则a,h,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

8.（4分）（2021•延庆区一模）设。为AABC所在平面内一点，BC=2CD,则（）

1413

A.AD=——AB+-ACB.AD=——AB+-AC

3322

3131

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB一一AC

2222

9.（4分）（2021•延庆区一模）已知函数/（幻。5'+5,0，则不等式/（X）-2*>0的

—x~+2x+1,x>0,

解集是（）

A.（-1,0）0（0,1）B.（-1,1）C.（0,1）

D.（—l,+oo）

10.（4分）（2021•延庆区一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据规定：驾驶员

的100,地血液中酒精含量为［0,20）mg,不构成饮酒驾车行为（不违法），达到［20,80）叫

的即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精

含量上升到了1.6mg/,池，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%,要想不

构成酒驾行为，那么他至少经过（）（参考数据：0.84=0.41,

0.8"=0.26,0.88=0.17,0.8'°-0.11）

A.4小时B.6小时C.8小时D.10小时

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）（2021•延庆区一模）若复数z=（1-2/）（a+i）（i为虚数单位）是纯虚数，则a=.

22

12.（5分）（2021•延庆区一模）已知双曲线=-「=1（4>0力>0）的一条渐近线过点（2,百），

a-b-

则双曲线的离心率为.

13.（5分）（2021•延庆区一模）在二项式（a+x）7的展开式中，系数为有理数的项的个数

是—.

14.（5分）（2021•延庆区一模）已知AABC的面积为26，AB=2,/8=工，则组0=__.

3sinC

15.（5分）（2021•延庆区一模）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野

上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相

似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、

航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为

f（x）=ae*+beT（其中a,Z?是非零常数，无理数e=2.71828…）,对于函数/（x）以下结论

正确的是.

①如果a=6,那么函数/（幻为奇函数；

②如果曲＜0,那么/（X）为单调函数；

③如果用＞0,那么函数f（x）没有零点；

④如果必=1,那么函数/（x）的最小值为2.

三、解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（13分）（2021•延庆区一模）已知函数/'（幻=2百sinxcosx-2asin2x+a（a＞0）,再从

条件①，条件②中选择一个作为已知，求：

（I）a的值；

（II）将/（X）的图象向右平移生个单位得到g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间.

6

条件①：/（X）的最大值为2；

条件②：/（y）=-l.

17.（14分）（2021•延庆区一模）如图，四棱柱A88-A4GR的底面ABCD是边长为2

的正方形，侧面A。。A为矩形，且侧面AARA，底面438，AA=4,E,M,N分

别是BC,BBi，A。的中点.

（I）求证：MN”平面C\DE；

（II）求二面角D-ClE-Bl的余弦值.

AG

18.（14分）（2021•延庆区一模）2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口

冬奥会”，将在2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这

是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有

的雪上项目.如表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：

（ii）若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；

（II）若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分布

列及期望E（X）.

19.（15分）（2021•延庆区一模）已知函数/（x）=-/nx+2x-2.

（I）求曲线y=/（x）的斜率等于1的切线方程；

（II）求函数/（x）的极值;

(HI)设g(x)=，f(x)-2f(x),判断函数g(x)的零点个数，并说明理由.

20.(15分)(2021•延庆区一模)已知椭圆C：W+M=l(a>A>0)经过点尸(1,立)，离心率

a2及2

灰

e=——.

2

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)设是经过椭圆右焦点尸的一条弦(不经过点P且A在8的上方)，直线与直

线x=2相交于点〃，记上4,PB,的斜率分别为4，k2,%,将勺、&、％如何排

列能构成一个等差数列，证明你的结论.

21.(14分)(2021•延庆区一模)若无穷数列｛《,｝满足：BmeN*,对于eN*),

都有也L=q(其中4为常数)，则称｛q｝具有性质“0(,〃，〃0,q)”.

(I)若｛q｝具有性质“。(3,2,2)",且%=%=2,%+%+4=18,求知；

(H)若无穷数列出,｝是等差数列，无穷数列｛c,J是公比为g的等比数列，&=。3=4,

b,+ct=c2,a„=bn+cn,判断｛”"｝是否具有性质“Q(2,1,2)",并说明理由；

(HI)设｛《,｝既具有性质“。(i,1,叩”,又具有性质“Q(j,1,%)”，其中i,jwN*,

/<j,求证：｛%｝具有性质“+

2021年北京市延庆区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（4分）（2021•延庆区一模）已知全集。={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B=

0,1},则=（）

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

【解答］解：U={-1,0,1,2,3},A={0,1,2）,3={-l,0,1},

.♦©A={-1,3},@A）LB={-1，0,1,3}.

故选：D.

2.（4分）（2021•延庆区一模）已知{〃,,}为无穷等比数列，且公比0<”1,记S“为{4}的

前〃项和，则下面结论正确的是（）

A.a3<a2B.a}xa2>0C.{%}是递减数列D.S,存在最小值

【解答】解：例如数列{《}以-2为首项，以;为公比的等比数列，

«,=-1,o,=-g，A,C,。显然错误；

%-a?=4%>0一定成立，8正确；

故选：B.

3.（4分）（2021•延庆区一模）已知抛物线C:）J=4x的焦点为F,过点F的直线/交C于A,

5两点，且|A例=8,则线段回中点的横坐标为（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：如图，抛物线），2=4x的焦点为尸（1,0）,准线为x=-l,即x+l=O.

分别过A,8作准线的垂线，垂足为C,D,

则有|ABRAF|+18尸|=|AC|+1|=8.

过43的中点M作准线的垂线，垂足为N,

则MN为直角梯形ABDC中位线，

则|MN|=5（|AC|+|8£>|）=4,所以M的横坐标为：3.

故选：C.

l,

4.（4分）（2021•延庆区一模）设xeR,则“9一5犬+6<0”是\x-2\<]”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：由丁-5》+6<0,解得2Vx<3；

由化为：-I<x-2<1,解得：1cx<3.

由2cx<3=l<x<3,反之不成立.

WX2-5X+6<OM是“|x—2|<1"的充分而不必要条件，

故选：A.

5.（4分）（2021•延庆区一模）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角

三角形，侧（左）视图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由三视图还原原几何体如图,

p

该几何体为四棱锥，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,AB1AD,

底面/WC。，S.PA=AD=2,AB=BC=\,

则该几何体的体积为丫=U(l+2)xlx2=l.

32

故选：A.

6.(4分)(2021•延庆区一模)在平面直角坐标系xOy中，直线/的方程为y=Z(x+l)+3,

以点(1,1)为圆心且与直线/相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为()

A.2B.20C.4D.8

【解答】解：直线y=Z(x+l)+3过定点P(-l,3),

已知点的坐标为

则以点M(l,l)为圆心且与直线I相切的所有圆中，

半径最大的圆的半径为r=\PM\="-1-1)2+(3-1)2=272.

故选：B.

7.(4分)(2021•延庆区一模)已知定义在R上的幕函数/。)=乂"(,"为实数)过点A(2,8),

记a=/(logo.53),b=/(log,5),c=f(ni),则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【解答】解：将A(2,8)代入f(x),得：2'"=8,解得：/n=3,

故f(x)=x3,1(犬)=3》2..0,/(x)在A单调递增，

log053<0,2<log,5<3>m=3,

故a<6<c,故选：A.

8.(4分)(2021•延庆区一模)设。为AABC所在平面内一点，BC=2CD,则()

1413

A.AD=——AB+-ACB.AD=——AB+-AC

3322

3131

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB——AC

2222

【解答】解：由题意可知，。为AABC所在平面内的一点，如图所示，

则有A8+4C=4c①，

AC+CD=AD®f

因为8c=2CO,代入①中可得A8+2cO=AC③，

Ia

由②③可得，AO=--AB+-AC.

22

故选：B.

9.(4分)(2021•延庆区一模)已知函数/(》)=•+°’贝IJ不等式f(x)-2'>0的

—+2x+1,工>0,

解集是()

A.(-1,0)D(0,1)B.(-1,1)C.(0,1)

D.(-l,+oo)

【解答】解：分别画出函数y=/(x)与y=2,的图象，如图所示，

由图象可得不等式2、>0的解集是(-1,0)U(0,1)

故选：A.

10.（4分）（2021•延庆区一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据规定：驾驶员

的100"比血液中酒精含量为［0,20）mg,不构成饮酒驾车行为（不违法），达到［20,80Mg

的即为酒后驾车，80〃?g及以上为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精

含量上升到了让，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%,要想不

构成酒驾行为，那么他至少经过（）（参考数据：0.8*=0.41,

OS，=0.26,0.88=0.17,0.8,=0.11）

A.4小时B.6小时C.8小时D.10小时

【解答】解：设酒后经过x小时后就不构成酒驾，

.-.160x（1-20%/<20,

.1.0.8'<0.125,

故选：D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）（2021•延庆区一模）若复数z=（l-2i）（a+i）（i为虚数单位）是纯虚数，则。=

-2_.

【解答】解：因为z=（l-2i）（a+i）=（a+2）+（l-2a）i是纯虚数，

所以。+2=0且l-2aw0,

解得a=-2.

故答案为：-2.

22

12.（5分）（2021•延庆区一模）已知双曲线鼻-与=1（4>03>0）的一条渐近线过点（2,0）,

orb一

则双曲线的离心率为—.

—2-

【解答】解：双曲线g—4=1（。>0力>0）的渐近线方程为y=±2犬，

由一条渐近线过点（2,百），可得？=立，

a2

故答案为:4-

13.（5分）（2021•延庆区一模）在二项式（及+xy的展开式中，系数为有理数的项的个数

是4.

【解答】解：二项式(0+x)7的展开式的通项公式为C；(&)』x",

当7-％为偶数时，此时系数为有理数，

则&=7,k=5,k=3,k=1,

故系数为有理数的项的个数是4个，

故答案为：4.

14.(5分)(2021•延庆区一模)已知A/WC的面积为26,45=2,ZB=-,则吧0=

3sinC

屋

【解答】解：因为AABC的面积为26AB=2,ZB=y,

所以2g=1x2x3Cx也，可得8c=4,

22

所以由余弦定理可得4C=yjAB2+BC2-2AB.BC-cosB=^22+42-2x2x4xl=2^,

所以鬻二条竽s

故答案为：y/3.

15.(5分)(2021•延庆区一模)同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野

上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相

似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、

航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为

f(x)=ae*+ber(其中a,b是非零常数,无理数e=2.71828…)，对于函数f(x)以下结论

正确的是②③.

①如果a=b,那么函数/(x)为奇函数；

②如果就＜0,那么/(x)为单调函数；

③如果而＞0,那么函数/(X)没有零点：

④如果必=1,那么函数〃力的最小值为2.

【解答】解：当a=b时f(x)=aex+be-x=a(ex+e-x),函数/(x)定义为R且

f(-x)=a(ex+e~x)=f(x),二.函数f(x)为偶函数.二①错误；

y=，是增函数且y>0,y=e-'是减函数且y>0.，当a>0、b<0时函数f(x)为增函

数，当”<0、b>0时函数f(x)为减函数，.•.②正确；

ab>0>匕同正或同负,又，/>0且>0,f(x)一定不为零，，函数/(x)没

有零点；.•.③正确：

当a=b=—l时，/(x)=_(靖+e-*=-2,有最大值一2,.•.④错误；

故答案为：②③.

三、解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(13分)(2021•延庆区一模)已知函数/(x)=zGsinxcosx-Zasin?x+a(“>0),再从

条件①，条件②中选择一个作为已知，求：

(I)。的值；

(H)将/(x)的图象向右平移工个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的单调增区间.

6

条件①：/(X)的最大值为2；

条件②：=,

【解答】解：(I)选择①：因为/(x)=Gsin2x+a-cos2x,

所以/(x)=43+a，sin(2x+(p),其中tang=1,

所以止+病=2,又因为a>0,

所以a=1.

选择②：/(^)=2^xlx0+a-ax2xl=-a=-l,

所以a=1.

(①tan"=[不写不扣分，②每个值计算正确各给一分)

(II)因为f(x)=V3sin2x+cos2x=2sin(2x4-—).

6

所以g(x)=2sin[2(x-—)+—]=2sin(2x--)，

666

则2%乃一军名心人一三2k7V+—,ZeZ,

262

整理得Zi—工通kkTV+~,keZ,

63

所以函数g(x)的单调增区间为伙；r-2,丘+刍(ZwZ).

63

17.(14分)(2021•延庆区一模)如图，四棱柱ABC。-A4GA的底面是边长为2

的正方形，侧面ADRA为矩形，且侧面AORAJ_底面A88,A4,=4,E,M,N分

别是BC,BB「A。的中点.

(I)求证：MN//平面CQE；

(II)求二面角。-GE-4的余弦值.

【解答】(I)证明：连结8C，ME,因为M,£分别为84，3c的中点,

所以

ME//BC，HME=^BtC,

又因为N为AQ的中点，所以ND=；A。，

由题设知AS//oc且44=oc,可得用。//%〃且4c=4。，

故ME/IND且ME=ND,因此四边形加V/)E为平行四边形，

所以MN//ED,

又MN仁平面CQE,E£)u平面CQE,

所以MN//平面CQE；

(II)因为底面ABCD是正方形，所以C£>_L4),

又因为侧面ADRA，底面AB8，且侧面AORAC底面ABCD=AD,CDu平面ABCD,

所以C£>J_平面AORA，又。平面4DRA，

所以COLOR,又因为侧面4ORA为矩形，所以

以点D为坐标原点建立空间直角坐标系。-砂z如图所示，

其中0(0,0,0),0(0,2,4),£(1,2,0),C(0,2,0),

所以。G=(0,2,4),OE=(1,2,0),

因为C£>_L平面4DRA，所以DCJ■平面BCC",

故DC=(0,2,0)为平面JEB1的一个法向量,

设"=(x,y,z)为平面DCtE面的法向量，

则卜”=°,即口+4z=°

[n-DE=0[x+2y=0

令y=-2,可得”=(4,-2,1),

所以cos<DC,n>=℃"=-2V2T

|DC|-|n|2xV2121

因为二面角A-OE-4的平面角是钝角，

所以二面角A-OE-瓦的余弦值-返.

18.(14分)(2021•延庆区一模)2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口

冬奥会”，将在2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这

是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有

的雪上项目.如表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：

2022年北京冬奥会赛程表(第七版，发布自2020年11月)

2022北京赛区延庆赛区张家口赛区

年

开冰冰速短花问有钢无跳北越单冬II当

2月闭壶球度道样山舵架舵台欧野板季由日

幕滑速滑滑雪雪-'|滑两滑滑两式决

式冰滑冰雪橇车橇"i'项雪雪项滑赛

雪数

5(六)**11*11*116

6(日)*1*1111117

说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.

(1)(1)若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；

(ii)若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；

(H)若在2月6日(星期日)的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分布

列及期望E(X).

【解答】解：(I)⑴记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶冰球”为事件A.

由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有10x10=100种不同方法，

其中恰好看到冰壶冰球，共有2种不同方法.

所以，恰好看到冰壶和冰球的概率尸(A).

10050

(")记"在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件5.

由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有6x7=42种不同方法，

其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同方法，在张家口赛区共有4x4=16.

所以P(B)=

427

(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3.

根据题意，P(X=1)=4=->

C；35

C•C；+C：♦C：+C；C：+_1+6+12+4_23

C；3535

p(x=3)=cgc8

C735

随机变量X的分布列是：

X123

P4238

353535

数学期望E(X)=lx巴+2X差+3x§=女.

35353535

19.(15分)(2021•延庆区一模)已知函数/(x)=—/nr+2x—2.

(I)求曲线y=/(x)的斜率等于1的切线方程；

(II)求函数f(x)的极值；

(III)设g(x)=x2f(x)-2f(x),判断函数g(x)的零点个数，并说明理由.

【解答】解：(I)设切点为(％,%),f'M=--+2,

X

----F2=1,XQ=1,=—ln\+2-2=0，

%

切线方程为y-0=1x(%-1),BPy=x-l；

(ID/(x)的定义域为(0,”).

令/(劝=0,BP-l+2=0,x=-,

x2

令/'(x)>0,得x>；,令f'(x)<0,得0<x<g,

故/(x)在(0,；)上单调递减，在(；,+oo)上单调递增，

.•./(X)存在极小值/(g)=/〃2+l-2=/〃2-1,无极大值；

(III)函数8(©=//(*)-2/。)=，-2)/。)有三个零点，理由如下:

由(H)知，f(x)在(0,；)上单调递减，在d,+oo)上单调递增,

且/心=2+之一2=之>0,/(；)=/〃2+1-2=历2-1<0,

,存在唯一及€(二,；)，使得/'(玉))=0,

X-f(1)=0+2-2=0,gg=(2_2)/(x)=0,

且三个零点互不相同，.•・函数g(x)有三个零点.

20.(15分)(2021•延庆区一模)已知椭圆C：W+W=l(a>A>0)经过点尸(1,"),离心率

a~tr2

72

e=——.

2

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)设9是经过椭圆右焦点尸的一条弦(不经过点P且A在B的上方)，直线至与直

线x=2相交于点记上4,PB,的斜率分别为仁，k2,k3,将勺、网、々如何排

列能构成一个等差数列，证明你的结论.

【解答】解：(I)由点？(1,自)在椭圆上得，/+万\=1①，

又°=走，所以£=也②，

2a2

22

由①②得c=1,a=29护=1,

故椭圆c的标准方程为工+9=1.

2

(II)尢、&3、的或自、/、勺能构成一个等差数列，

证明：椭圆右焦点坐标厂(1,0),显然直线斜率存在，

设钻的斜率为3则直线的方程为y=Z(x-l)③，

代入椭圆方程:+9=1，

整理得(2&2+1)/-4/》+2伏2—1)=0,易知△>(),

设4X，乂)，8(々，y2),

4k22(1)

则有%,+%④,

22如+1

在方程③中，令