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第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则机动目录上页下页返回结束多元复合函数的求导法则第八章6/7/2023多元函数一、多元复合函数求导的链式法则定理.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t

取增量△t,则相应中间变量且有链式法则机动目录上页下页返回结束有增量△u,△v,6/7/2023多元函数(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,机动目录上页下页返回结束则定理结论不一定成立.6/7/2023多元函数推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y

对x

求导,表示固定v

对x

求导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数例1.设解:机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数例2.解:机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数例3.设

求全导数解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动目录上页下页返回结束验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.6/7/2023多元函数为简便起见,引入记号例4.设

f

具有二阶连续偏导数,求解:令则机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数(当在二、三象限时,)例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解:

已知极坐标系下的形式(1),则机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数题目目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数已知注意利用已有公式机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数同理可得题目目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论

u,v是自变量还是中间变量,

则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数例1.例6.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数思考与练习解答提示:P31题7P31题7;8(2);P73题11机动目录上页下页返回结束……6/7/2023多元函数P31题8(2)机动目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数作业

P312;4;6;9;

10;12(4);13

P73题11第五节目录上页下页返回结束6/7/2023多元函数备用题1.已知求解:由两边对

x

求导,得机动目录上页下页返回

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