2022届高三数学二轮复习-高考猜题预测-综合训练五大题训练

2022届高三数学二轮复习大题训练

(综合训练(5))

1.如图，在四边形A88中，ABUCD,A8=2«,CD=R,cosA=—,cosZADB=~.

33

(1)求cosZB£)C;入----?C

(2)求3c的长.//\/

4N------乂

2.3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作.

(1)若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3

名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；

(2)若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记§表

示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量J的分布列.

3.如图①，在梯形ABCD中，AB//DC,AD=BC=CD=2,AB=4,E为43的中点，以DE为

折痕把折起，连接/W,AC,得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题.

(1)证明：ACA.DE；

(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角AE-C的余弦值.

①四棱锥A-BCDE的体积为2；

②直线AC与EB所成角的余弦值为国.

4

4.己知椭圆C:5+/=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳，F2,椭圆C的离心率小于弓.点P

在椭圆C上，\PF,\+\PF2\=4,且马面积的最大值为

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点力，3是椭圆C上不同的两点，点N在直线/:3x+4y-12=0上，且=,

NB="BM,试问2+〃是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

5.已知｛a〃｝和也J均为等差数列，4=乙=1,%=4+生，4=2+%，

记c“=〃皿｛4一〃4,b2-na2,…，bn-nan｝(n=l,2,3,...),

其中机3｛e，9，…，%｝表示不，X29...,%这S个数中最大的数.

(1)计算q,c2,c3,猜想数列｛g｝的通项公式并证明；

(2)设数列[------]-----1的前〃项和为S“，若S“<->+4,”对任意〃eN”恒成立，求偶数机

的值.

6.已知函数/(x)=xe2x-(1+Inx).

(1)证明：/(x)..2x；

(2)对X/芭w(0,+oo),x2e(0,e],不等式百工2(/*+。历G)••西+“2(/3+1)恒成立，求实数〃

的取值范围.

2022届高三数学二轮复习大题训练

(综合训练(5))

1.如图，在四边形A88中，ABUCD,A8=2«,CD=R,cosA=—,cosZADB=~.

33

(1)求cosZB£)C;入--------?C

(2)求3c的长.//\/

【解答】\/

j-----------------------，

(1)因为AB//CD,cosA=—,cosZADB=-,

33

所以sinA=Jl-cos2A=—,sinZADB=yJl-cos2ZADB=,

33

cosZ.BDC=cos[4一(A+ZADB)]--cos(A+/ADB)

=sinAsinZADB-cosAcosZADB

V32V2V6176

=------X---------------------X—=-------.

33339

(2)由已知及正弦定理.=—竺一，

sinAsinZADB

可得半=噂,解得加＞=3,

V32V2

T亍

由于cosNBOC=远，CD=46,

9

在中，由余弦定理可得：

BC=ylCD2+BD2-2CD•BD-cosZBDC=J6+9-2XV6X3X^=VH

2.3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作.

(1)若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3

名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；

(2)若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记J表

示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量《的分布列.

【解答】

(1)3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有5?种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等.

设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A则该事件共包括3v不同的结果.

所以24)=萃=也.即3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为里.

53125125

(2)解法1：随机变量&的可能取值为0,1,2,3.

c；C(c：)254

—。)=舟喂，m)=

©125

PH一2)一C；(C：)2c.36尸(〜3)=空_J_

"©J-125,—)-(^)3-125-

随机变量J的分布列为:

0123

2754368

r

125125125125

解法2：日参加社区服务的概率均为P=i=r

则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数4~8(3,1)

PC=i)=*yg产，i=0,1,2,3.

分布列为:

0123

2754368

rP

125125125125

3.如图①，在梯形ABCD中，AB//DC,AD=BC=CD=2,AB=4,E为43的中点，以DE为

折痕把折起，连接/W,AC,得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题.

(1)证明：AC±DE；

(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角AE-C的余弦值.

①四棱锥A-BCDE的体积为2；

②直线AC与EB所成角的余弦值为先.

4

D

AEB

图①

【解答】

(1)证明：在图①中，因为OC//A8,CD=LA8,E为43中点，

2

所以DC//AE,DC=AE,所以49CE为平行四边形，

所以AO=CE=CD=AE=2,同理可证。£=2,

在图②中，取。E中点O,连接。4,0(7,。4=。。=6，

因为ADMAE'MCEMCD,所以。E_LCM,DE1OC,

因为0A0C=0,所以。E_L平面AOC,

因为ACu平面AOC,所以£>f_LAC;

(2)若选择①：因为。£：_1平面4",£>Eu平面3CDE,

所以平面AOC±平面3CDE且交线为OC,

所以过点A作AH_LOC,则AHJ_平面,

因为品coE=26，所以四棱锥A-BCDE的体积匕一BCOE=2=；x2g-A”，

所以A”=G=OA,所以AO与A"重合，所以40,平面BCOE,

建系如图，则0(0,0,0),C(-V3,0,0),E(0,1,0),A(0,0,®

平面A4£法向量为CO=(G,0,0),

设平面AEC法向量为〃=(x,y,z),

拒*+_Q

因为CE=(6,1,0),C4=(6,0,6),所以+，得〃=(1,-G,-1)，

V3x+V3z=0

设二面角c一AE-c的大小为e,则cose=1COn1=方与==与，

|CO|.|n|V3X>/55

所以二面角。-AE-C的余弦值为］；

若选择②：因为DC//EB,所以NACZ)即为异面直线AC与E8所成角，

在AADC中，cosZAC£>=40+4-4=显,所以AC=J^,

4AC4

所以O1+OC2=AC?,即OAJ_OC,

因为OEJ_平面AOC,DEu平面BCDE,

所以平面AOC_L平面BC0E且交线为OC,

所以AO_L平面BC0E,

建系如图，则0(0,0,0),C(-V3,0,0),£(0,1,0),A(0,0,道)，

平面D4E法向量为CO=(6,0,0),

设平面A£C法向量为〃=(x,y,z),

管十二。，得〃=(『回1),

因为CE=(6,1,0),CA=(G,0,百)，所以.

y/3x+\/3z=O

设二面角力-AE-C的大小为

则c°s"湍#乎'

所以二面角0-M-C的余弦值为(.

4.已知椭圆。：4+¥=1(。＞。＞0)的左、右焦点分别为耳，F2,椭圆C的离心率小于立.点产

ab2

在椭圆C上，|/7"+|P6l=4,且百入面积的最大值为G.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点A,3是椭圆C上不同的两点，点N在直线/:3x+4y-12=0上，且=,

NB-/BM,试问4+〃是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【解答】

(1)\PFl\+\PF2\=4=2a,a=2,则£＜正=c＜&,

a2

当尸为上顶点或下顶点时，△?耳用的面积最大，；x2cxb=bc=B

加=622

由4=层+C2解得b=g,c=l.所以椭圆C的方程为工+2=1.

l43

c＜V2

(2)由于=NB=RBM,所以A,M,N,3四点共线，

22

由(1)得椭圆C的方程为匕+乙=1,故在椭圆内，

43

所以直线MV与椭圆必有两个交点A,B,不妨设A在MN之间，8在M0的延长线上,

当直线M/V的斜率不存在时，直线MN的方程为x=1,

\+(=0=±3,即A(l,|),B(l,_g),

3+4y-12=0ny=2,即N(l,?).

由W4=AAM,NB=HBM得(0,一$=A(0,--),(0,-^)=〃(0$，

所以4=3,〃=——,2+/z=0.

当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为=

y-\=Z(x-l)

由J/2消去y并化简得(3+4公口2+(设一8公口+4二-8%—8=0,

—+—=1

43

8公一配4女2弘-8

WA=AAM,NB=〃BM得一XN=-*人)，xB-xN=//(xiW-xB),

XaXn

所以X+〃=~+=XAF+xB-xN

XXXX

M-AM-B1-4\-XB

=XN(4+Xp2)2X,XB+区+XB)

XAXB-{XA+XB)+\

4k+8,Sk2-8kc、.4公-8A-8,8k2-8k,

----x(-------2)-2x---------+(-----)

_4V+33+4公3+4/3+4公r

4k2-8k-8.Sk2-Sk..

--(^74F)+1

-8%二168A+16

3+4公+3+4公一八

_________5'

-314户

综上所述，/1+〃为定值，且定值为0.

5.已知{a〃}和也J均为等差数列，4=8=1,%=4+生，4=2+%，

记c“=〃zor{4—,b2-na2,…，bH-nan](n=l,2,3,…)，

其中机or{X],与，…，儿}表示不，x2,...»4这s个数中最大的数.

(1)计算q,c2,c3,猜想数列{c.}的通项公式并证明；

(2)设数列[------]-----1的前〃项和为S“，若。,<->+4〃7对任意〃€乂恒成立，求偶数机

的值.

【解答】

(1)设等差数列{q},g,}的公差分别为4，4,

%=4=1,%=4+%,b5=b4+a29「.1+24=2+4，d2=l+d],解得4=1,d?=2,

an=14-(«-1)=A?,0“=1+2(〃-1)=2〃-1.

cn=inax{bx-nax,b2-na2,,bn-natl}(n=l,2,3,

/.G=4-4}=0,

c2=max{b}-2a,，b2-2a2}=)nax{-\}=-1，

c3=tnax{bx-3a],b2-3a2,b3-3a3}=max{-2,-3,-4}=-2.

猜想数列{cn]的通项公式%=1-〃.

证明：4讨_（”一〃％）="+]2—九，

二.数列｛4一〃勾｝为单调递减数列，/.clt=bl-nal=l-n.

]_]__J1

(2)

(3—%)(2—%)(〃+1)(〃+2)H+1及+2

1

数列的前〃项和为5“=(，」)+(1」)+...+(」------)=-—

(3一)(2f)"23347?+1n+22n+2

1

S<-nrT对任意nsN”恒成立,-m2+4m，化为：2m2-8加+L,0，

n+4/?2”

解得：上叵轰的世叵，

22

二.偶数m的值为2.

6.已知函数/(x)=xc"-(1+Inx).

(1)证明：/(x)..2x；

(2)对VXIw(0,+oo),x2G(0,e],不等式%/(井.・时+%2(/g+D恒成立，求实数

的取值范围.

【解答】

(1)证明：令〃(x)=/(x)-2x,则“'。)=62*+2庇2*-工-2=(1+2力(62,-！)，X>0,