2022届高三一轮复习小题强化训练（古典概型）原卷版附解析

2022届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练（62）

（古典概型）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师"停课不停学"

的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（）

2.公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五《周髀算经》中记录着商高同周公

的一段对话.商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五大意为"当直角三角形的两条直角边分别

为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”.以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该

典故称勾股定理为商高定理.勾股数组是满足"+序=’2的正整数组（a,4c）.若在不超过10的

正整数中，随机选取3个不同的数，则能组成勾股数组的概率是（）

1111

A.—B.-C.—D.-----

10560120

3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每

个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8=3+5,在不超过14的素数中随机选取两个不

同的数，其和等于14的概率为（）

1111

A.-B.—C.—D.—

6121415

4.党的十八大要求全面实施素质教育，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，劳动

教育受到全社会广泛关注.某学校的某班级将5名同学分配到甲、乙、丙三个村参加劳动锻炼，每个

村至少分配一位同学，则甲村恰好分配2位同学的概率为（）

3214

A.-B.—C.—D.一

5555

5.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共

10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序,

则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（）

6.疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是数学,

语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午下午的课程

中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率

为

7.《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲

以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的

官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地

执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（）

1231

A.-B.-C.-D.—

55510

8.设。为正方形ABCO的中心，在O,中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）

1C2clr4

A.-B.-C.-D.一

5525

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.以下对各事件发生的概率判断正确的是（）

A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为:

B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12=5+7,在不超过15的素数中随机选取

两个不同的数，其和等于14的概率为，

C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是』

36

D.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是1

10.随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有（）

A.每次出现正面向上的概率为0.5

B.第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率为0.25

C.出现〃次正面向上的概率为C：；）05°

D.出现〃次正面向上的概率为C10.5"

11.如图，在某城市中，M,N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A、&、A3、4是道路网

中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们

分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止.则下列说

法正确的是()

A.甲从M到达N处的方法有120种

B.甲从M必须经过到达N处的方法有9种

Q1

C.甲、乙两人在A,处相遇的概率为K

400

41

D.甲、乙两人相遇的概率为——

100

12.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概

32()

率是勺；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为南；③现从中不放

2

回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为二；④从中

有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为fl.则其中正确命题的序号是

()

A.①B.②C.③D.@

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.

13.A、B、C、。四个人围成一圈，A确定好自己的位置后，B、C、。三人随机站到其他三个

位置上，则C与。不相邻的概率为.

14.湖北省2021年的新高考按照“3+1+2”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门

必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生

物学4门中选考2门科目.则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择

物理的概率为.

15.《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为商高定理.我

们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从6、7、8、9、1()这5个正整数

中随机抽取3个数，则恰好构成勾股数的概率为.

16.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运

动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概

率为.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师"停

课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（）

【答案】D

【解析】甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事件为甲、乙、丙都被选取，记此事件为A，

依题意所有基本事件为（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，

丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），

共10种，其中事件A所包含的事件数为1，所以根据古典概型的概率公式可得P（A）=\,

再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为1-P（A）=1--=二.故选：D

1010

2.公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”.《周髀算经》中记录着商

高同周公的一段对话.商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五大意为"当直角三角形

的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”.以后人们就把这个事实说

成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理.勾股数组是满足。2+从=02的正

整数组（。,么C）.若在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，则能组成勾股数组

的概率是（）

111

A.—B.-C.—D.---

10560120

【答案】C

【解析】在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，共有C1=120种组合方法，

能组成勾股数组的情况有（3,4,5）和（6,8,10）,

所以所求概率为P=故选：C.

12060

3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容

是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8=3+5,在不超过14的素数中

随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为（）

【答案】D

【解析】不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个，从这6个素数中任取2个，有2

与3,2与5,2与7,2与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7,5与11,

5与13,7与11,7与13,11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11,所以

在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为2,故选：D。

4.党的十八大要求全面实施素质教育，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班

人，劳动教育受到全社会广泛关注.某学校的某班级将5名同学分配到甲、乙、丙三个村参

加劳动锻炼，每个村至少分配一位同学，则甲村恰好分配2位同学的概率为（）

4

A.D.

5

【答案】B

【解析】5名同学分配到甲、乙、丙三个村共有・8=150,

二^3—

甲村恰好分配2位同学共有&=60，

所以甲村恰好分配2位同学的概率？=里=2.故选：B

1505

5.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初

赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方

式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（）

【答案】D

【解析】清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛,

经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，

采取抽签方式决定演讲顺序，二年级3人相邻，

基本事件总数〃=耳

在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻包含的基本事件个数机=,

在高二年级3人相邻的前提卜，高一年级2人不相邻的概率为:

3

〕故选：D.

6.疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别

是数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在

上午下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历

史、地理）课程的概率为

【答案】C

【解析】将数学、语文、政治、地理分别记为A,B,C,D,将英语,历史，体育分别记为a,。,c,

在上午下午的课程中各任选一节，所有的可能为

（A。），（A6）,（Ac）,（B,a）,（B,b）,（C,a）,（C,6）,（C,c）,

（D,a）,（D,h）,（O,c）共12种情况.

选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的情况有（A。），（氏方），

（C,a）,（C⑼,（C,c）,（D,a）,（£）,/?）,（C,c）共8种情况.

所以，所求概率为尸=2=:，故选：C.

123

7.《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得

五鹿.欲以爵次分之，问各得几何在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五

个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人,

一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（）

12

5-B.5-D.一

10

【答案】B

【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派

去两地执行公务，基本事件总数〃=&=20，

大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数加=+C；C；C；&=8,

ni82

所以大夫、不更恰好在同一组的概率为〃=一=一=一,故选：B.

n205

8.设。为正方形ABCO的中心，在中任取3点，则取到的3点共线的概率

为（）

12-14

A.-B.一C.-D.一

5525

【答案】A

【解析】如图，从5个点中任取3个有

{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},

{O,B,C},{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D},{A,C,D},{B,C,D},

共10种不同取法，3点共线只有{0,A,cyj{0,3,0}共2种情况，由古典概型的概率

21

计算公式知，取到3点共线的概率为一=一，故选：A.

105

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.以下对各事件发生的概率判断正确的是（）

A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为工

3

B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12=5+7,在不超过15的素数中

随机选取两个不同的数，其和等于M的概率为白

C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是

5

36

D.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出产品全是正品的概率是4

2

【答案】BCD

【解析】A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先

21

正再反，出现一正一反的概率「=一=一，故A不正确；

42

B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13,共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于

/\n11

14的包含（3,11）,则概率为尸=尸=京，故B正确;

C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含

（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,共5种，所以点数之和为6的概率尸=三，故C正确;

36

C21

D.由题意可知取出的产品全是正品的概率尸=片=;，故D正确.故选：BCD

2

10.随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有（)

A.每次出现正面向上的概率为0.5

B.第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率为0.25

C.出现〃次正面向上的概率为。谓05°

D.出现〃次正面向上的概率为0.5"

【答案】BD

【解析】随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，

对于A，每次出现正面向上的概率都是0.5,故4正确；

对于8,第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率为0.5,故5错误;

对于C,出现〃次正面向上的概率为G'；x0.5"x0.5m"故C正确：

对于D，出现〃次正面向上的概率为,,,n10故。错误.

Cl；x0.5x0.5°-=C,；0.5,

故选：BD.

如图，在某城市中，M>两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、

H.N44A,A4

是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到

N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达

N、M处为止.则下列说法正确的是（）

A.甲从“到达N处的方法有120种

B.甲从M必须经过为到达N处的方法有9种

Q1

C.甲、乙两人在4处相遇的概率为新

41

D.甲、乙两人相遇的概率为一

100

【答案】BCD

【解析】A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，

则甲从“到达N处的方法有盘=2（）种，A选项错误；

B选项，甲经过到达N处，可分为两步：

第一步，甲从M经过4需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为C；种;

第二步，甲从4到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为C；种.

；・甲经过为到达N的方法数为C；•C；=9种，B选项正确;

c选项，甲经过&的方法数为C；♦=9种，

乙经过4的方法数也为♦C；=9种，

.•・甲、乙两人在4处相遇的方法数为C；=81,

8181

甲、乙两人在4处相遇的概率为氏r=砺,c选项正确:

D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在4、4、A3、A,处相遇,

若甲、乙两人在A处相遇，甲经过A处，则甲的前三.步必须向上走，乙经过4处，则乙的

前三步必须向左走，两人在4处相遇的走法种数为1种；

若甲、乙两人在4处相遇，由c选项可知，走法种数为81种；

若甲、乙两人在A3处相遇，甲到A3处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走,

乙到4处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，

所以，两人在A,处相遇走法种数为C；C；C；C；=81种：

若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过A4处,

则乙的前三步必须向下走，两人在4处相遇的走法种数为1种;

故甲、乙两人相遇的概率------------=——，D选项正确.

400100

故选：BCD.

12.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个

320

白球的概率是一；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为——；

5243

③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球

的概率为彳；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为骂.

则其中正确命题的序号是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】ABD

【解析】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，

c2c'

①从中任取3球，恰有一个白球的概率是P=—#——故正确;

21

②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为〃,则恰好有两

63

、4I=图■，故正确;

次白球的概率为

1243

713

③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球

r'C'3

的概率为赤"=三，故错误；

④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为p==4=；2：则至少有一

次取到红球的概率为卷，故正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.

13.A、B、C、。四个人围成一圈，A确定好自己的位置后，B、C、。三人随机站到

其他三个位置上，则C与。不相邻的概率为.

【答案】-

3

【解析】由题意，8、C、。三人随机站到其他三个位置匕有右=6种坐法.

若。与。分别站在A的两边，则。与。不相邻的坐法有反=2种，

所以C与。不相邻的