2022-2023学年安徽省宣城市高一年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年安徽省宣城市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1.已知集合"={T°，1},集合8=/2},则集合人8=()

A.{1}B.O,}c.{T，°，l}D.{—L0J2}

【答案】D

【分析】直接利用并集的定义运算.

【详解】集合"=，={L2},则集合-8={-1,0,1,2}

故选：D

2.已知扇形的半径为2,圆心角为45°,则扇形的弧长是()

兀71

A.45B.4C.2D.90

【答案】C

【分析】由弧长公式求解即可.

殳

【详解】因为圆心角的弧度数为I,所以扇形的弧长是彳1X*2=-2-,

故选：C

3.已知函数，。+1)=蚓，则"9)=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】取x=3结合对数和指数的运算求解即可.

【详解】取x=3得出,0+1)="9)=叱=1

故选：C

4.设。则函数y二卜叵一。)的图象的大致形状是()

—什

xx

A.B.

【答案】B

【分析】确定分段函数的解析式，与x轴的交点坐标为(a,()),(0,0),及对称性即可得到结

论.

【详解】函数丫=冈(xLla)=1一》。一吟、<°,va>0,

当xK),函数y=x(xDa)的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x轴的交点坐标为(0,0),

(a,0)

当x<0时，图象为y=E)x(xDa)的图象为开口先向下的抛物线的一部分.

故选B.

【点睛】本题考查分段函数，考查函数的化简，考查数形结合的数学思想，属于中档题.

5.下列选项中，能使>6”成立的一个必要不充分条件是()

A.a?"B.a>\b\

C.a>b+2D.a>b-2

【答案】D

【分析】欲求。>6成立的必要而不充分的条件，即选择一个。>6能推出的选项，但不能推出。>6,

对选项逐一分析即可

【详解】4=1>6=-2不能推出/>〃，故选项A不是的必要条件，不满足题意；A不正确；

a=l>b=-2不能推出”>网，故选项B不是方的必要条件，不满足题意；B不正确；

。=1>6=-1不能推出”>6+2,故选项C不是。>6的必要条件，不满足题意；C不正确；

能推出但〃>3-2不能推出a>b,。>6-2是a>b的一个必要不充分条件，满足题

意，D选项正确.

故选：D.

Inxe,八

------F1=0

6.方程xx的根所在的区间是()(参考数据ln2a0.69,ln3=1.10)

A.0,2)B.Q，e)C,(⑼D.(必

【答案】B

Inve,

---------+1=0

【分析】由xX-------可得x+lnx-e=°,利用零点存在定理可得出结论.

Inxe.八

---------F1=0

【详解】对于方程xX,有x>0,可得x+lnx-e=0,

令/（x）=x+lnx-e,其中x>0,

因为函数夕=》-6、y=lnx在（。,+8）上为增函数，故函数/（x）在（°，+8）上为增函数,

因为/（l）=l-e<0/（2）=2+ln2-e<0/（e）=l>0

由零点存在定理可知，函数」（X）的零点在区间0，e）内.

故选：B.

（2a-l）x+3a,x<l

"x)=

是定义在上的减函数，则的取值范围是（）

7.已知logax,x>lR0

【答案】D

【分析】分段函数为减函数需满足三个条件，一是上支为减函数，二是下支为减函数，三是下支的

最大值小于或等于上支的下界，列不等式组即可解得.

/（x）=[Q"l）x+3a，x<l

【详解】要使函数lbg“x，x*l在R上为减函数，

2a-l<0

<2a-14-3a>logJ]।

需满足°,解得52.

故选：D.

_71

8.已知函数/（x）=2Ksinx+aco&x图象的一条对称轴为*_彳，/（演）+/々2）=0,且函数/（x）在

区间G，&）上具有单调性，则上+引的最小值是（）

上土5乃24

A.6B.3C.6D.3

【答案】B

【分析】根据辅助角公式得出"x）=2瓜欣+4cosx=>/m/sin（x+0）,即可根据对称轴列式得

兀

/（x）=4sinX+一

出。的值，即可得出‘6,根据已知得出a'/a））与（々'/（马））关于对称中心对称,

x+x2=2k兀,keZ

即可列式得出■3,即可得出答案.

------_a退

［详解］/（x）=2百sinr+〃cosx=J12+/sin（x+6）其中二""=6

_71

函数/（X）图象的一条对称轴为*一3,

/（工］=2V3sin-+acos—=±J12+a」

则33,解得：a=2,

［―^Atan"3"生

则&2+a-=4,3,即6,

故小…卜+焉,

：/（再）+/（、2）=0,且函数/（X）在区间（X”匕）上具有单调性，

a））与aJ（%））关于对称中心对称，

冗冗

%+—I-x2—

----------—=kn,keZX.+x,=1k7t——,keZ

2，解得3,

x+x=

,nli2L|-fkf

则％=o时，I3|3,

故选：B.

二、多选题

9.下列函数中，既是偶函数，又在（兀二兀）上单调递增的是（）

A/（x）=co&xB./G）=Y

C."x）=3'D./（'）=%

【答案】AD

【分析】根据基本初等函数的单调性、奇偶性检验各选项即可判断.

【详解】函数/«）=8眈是偶函数，在（孤2兀）上单调递增，A选项正确;

函数/（x）=d是奇函数，B选项错误；

函数/,（x）=3，非奇非偶，c选项错误；

函数/0）=也国是偶函数，在（兀，2兀）上单调递增，口选项正确；

故选：AD.

10.已知a，6，ceR,则下列结论正确的是()

1/---1----

A.若a>Z?>0,则。b

B.若分>儿2,贝|ja<b

Ca>0,6>0,2"+3ci=2'+4b则a>b

1［1

a-\-—<h+—

D.若a>。>0,则ba

【答案】AC

【分析】对A,直接作差比较即可证明，对B,首先得/>°,再根据不等式性质即可判断，对

C,首先放缩得2"+3。>2"+36,构造函数〃X)=2，+3X即可判断c,对D,举反例即可.

—1——1=-b---a-

［详解］对A,abab,a>b>0f•-ab>0,b-a<0f

b-a八11-11

岫，即。6，即"6,故A正确，

对B,若改2>历2,贝|」/>0,贝ija>b,故B错误，

对C,若2"+3a=2'+46=2〃+36+b,若a>0,6>°,则2"+3”>2”+36,

函数〃x)=2、+3x,根据增函数加增函数为增函数的结论得/(x)在R上单调递增，

则a>6,故C正确，

1^15,1,1311

个,idd—=2H—=-bH=1d=-ClH—>6L+—

对D,若a=2,b=l,则b22,a22,则ba,故D错误，

故选：AC.

2!

II.已知a=3',b=186,c=log43,d=log54,则下列大小关系正确的是()

A.a>bB.a>dC.c<dD.b<c

【答案】ABC

【分析】利用指数函数、对数函数的性质确定各数的范围，再进行比较即可

21J.

【详解】3§=8屋18k>1,所以a>b>l；

34

510g43=log2433=log64<log243<log256=43<51og3<4

4，444，4，，

4

510g54=logs10244=log5625<log51024<log53125=54<51og54<51<,<.

L1」4

a>b>\>d>—>c

所以5.

故选：ABC

1,x>0

sgn(x)=<0,x=0

12.已知符号函数I-1,X<0,则下列说法正确的是()

A.函数N=sgn(x)的图象关于y轴对称

B.对任意xwR，sgn(e')=l

C.对任意的xeR，k|=rsgn(-x)

D.函数V=xsgn(TmO的值域为®y<-l或04y<1}

【答案】BCD

【分析】举反例判断A；由e、>°判断B；讨论x<。、x=0、x>°三种情况，确定

y=-xsgn(-x)的解析式，从而判断c；由-ku-的范围得出其值域.

【详解】对于A,若'=$8门。)的图象关于夕轴对称，则"=$8"》)为偶函数，应该满足

sgn(-l)=sgn(l),但sgn(-l)=-l,sgn⑴=1,即sgn(-l)wsgn(l),故人错误;

对于B,因为e*>0,所以对任意xeR，sgn(e')=l,故B正确；

对于C,当x<0时，sgn(-x)=l；当x=0时，sgn(-x)=0；

-x,x<0

-xsgn(-x)=<0,x=0,n-xsgn(-x)=|x|

当x>0时，sgn(-x)=,即[x,x>0,故C正确；

对于D,当xe(0'l)时，-lnx>0,y=xsgn(-Inx)=x€(0,l)；

当x=l时，-lnx=0,y=xsgn(-lnr)=0；

当xe(l，+0°)时，-Inr<0,N=xsgn(-lnx)=-xe(-8,-1),

即函数y=xsgn(-lnx)的值域为®y<_i或04y<i},故口正确；

故选：BCD

三、填空题

13.命题“—>°?<x+l”的否定是

【答案】"Tx〉0,2“2x+1,,

【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题.

［详解］命题“女>0,2'<X+1，，的否定是“Vx>0,x+1

故答案为：Vx>0,2v>x+l

14.已知函数/（"）=（"一2加-2卜…3是黑函数，且在（0,+0上单调递增，贝1］实数

m=

【答案】-1或3

【分析】由题意利用幕函数的定义和性质，求得〃，的值.

【详解】函数‘（""（"J?机―2尸*""3是累函数，且在（°，+00）上单调递增，

nr一2加一2=1

<

则有〔"+加+3>°,解得机=3或m=-l.

故答案为：T或3

4

p/r八cosa=--

15.已知角。的终边经过点'HR,且5,则实数x=.

_8

【答案户

【分析】由三角函数的定义得出£

x48

cosa=-^=——x=--

5

【详解】由三角函数的定义可得^2+22,贝"V。，整理得9/=64,解得3.

_8

故答案为：3

16./（X）是定义在R上的奇函数，当…时，"、）=©+厂3。+5,若/（x）-a+220对一切

x20成立，则实数。的取值范围是.

--,2

【答案】L2」

g（x）=4x+—（x>

【分析】由奇偶性得出xN°的解析式，当》=°时，得出。42,当x>°时，令'"x

求出其最小值，得出实数。的取值范围.

【详解】V=/（x）为定义在R上的奇函数，••/（0）=0.

当x=0时，/（°）-4+220对―切丫=0成立，得出a«2.

x>0,-x<0,f（-x）=-4x---3a+5=-/（x）

当x,

/(x)=4x+—+-5>tz-2

x对一切x>0成立，

4xH—N-2。+3

即X对一切x>0成立，

g(x)=4x+-(x>0)(\|041t-00]

令X,由对勾函数的单调性知：在I2J上单调递减，在(21上单调递

增，

即g(xL=g({|=4,故4"20+3,2-；

综上,

故答案为:L2

四、解答题

17.(1)计算：3限4+27：lg5+lg20；

小J兀，八)、2sina+cosa

tan—+a=3-----------------

(2)若12)，求cosa-sina的值.

]_

【答案】(1)9；(2)4

【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果；

tan修+a]=32sina+cosa

首先对(2)化简求出tana,再将cosa-sina利用齐次式分子分母同时除以cose,将

tana的值代入即可求得.

【详解】(1)原式=4+3%+阴00=4+3+2=9；

1

tana=——

,所以3

222

18已知集合/=例1值(x+l)41},8=1x-(a+l)x+2a(a+l)<0}

⑴若a=2,求；

（2）若4c8=0,求实数”的取值范围.

［答案］⑴3-I<X<5}

⑵{ala=l或422}

【分析】（1）由对数的运算性质及对数函数的性质计算出集合A,再将。=2代入集合8中，解出集

合B,再由并集的定义即可求得/口8.

（2）由（1）求得集合A,再对集合5化简，由题意知4c8=0,则对集合8中的。分类讨论即可求

得满足条件的实数。的取值范围.

【详解】（1）若。=2,则8={H*-9x+20<0}={x4<x<5},"={乂_1<》44},

贝°/={x\-\<x<5}

⑵B=1|（1一2〃）}一（〃2+）<0卜<x<a2+1j

2

当6=0时，2a=a+\f即。=l,"c5=0,符合题意；

当540时，即awl,若4cB=0,则2〃24或/+1«一1，即心2

综上，实数。的取值范围为{H°=1或022}

/(x)=V3cos|2x--।-sin2x

19.已知函数.I3J

兀5兀

⑴求函数/（x）在L16」上的单调递增区间;

⑵若/周W,求中丸值.

Jin7兀5兀

和回彳

【答案】（1）

7

(2)9

/（x）=sinf2x+—jxe

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为I3九由166」可求得

兀5兀

2x+-

/（X）在.6」上的单调递增区间;

3的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数，

cos

(2)由已知可得出3,利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.

cos2x+-sin2x-sin2x=—cos2x+-sin2x=sin(2x+生兀

/(x)=—

【详解】(1)解：由题意得22223

兀5兀

XG6」，所以2x+yG[0,2兀]

因为

0<2x+-<-——<x<—

令32,解得612,

3兀，八兀，八7兀/,5兀

—《2x+一«2兀—<%<—

令23,解得“6,

兀571兀兀7兀57i

%‘五」和一

所以函数/(x)在Z’6」上的单调递增区间为一~n,~6

f2

(2)解：由(1)知3

c.2「C兀1,2,7

=2sin£+—-1=——1=——

13)99

20.宣城市旅游资源丰富，知名景区众多，如宣州区的敬亭山风景区、绩溪县的龙川景区、旌德县的

江村景区、宁国市的青龙湾景区、广德市的太极洞景区、郎溪县的观天下景区、泾县的查济景区等等.

近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业将迎来复苏.某旅游开发公司

计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023

25,0<xW5

x2+20x-100,5<W20

―900…“

n/、6lxH------565,x>20

年有游客X万人，则需另投入成本3万元，且IX,该游玩项目

的每张门票售价为100元.为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发

展，每年给该游玩项目财政补贴l°x万元.

(1)求2023年该项目的利润/(X)(万元)关于人数x(万人)的函数关系式(利润=收入-成本)；

(2)当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

60x-325,0<x<5

匹(x)=b/+40x_200,5<x<20

900…“

—x-----F265,x>20

【答案】⑴1X

(2)游客人数为30万时利润最大，最大利润为205万元

【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可；

（2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可.

【详解】（1）该项目的门票收入为5。工万元，财政补贴收入10x万元，共60》万元收入,

60x-300-25,0<x<5

w(x)=\eox-300-(x2+20x-100)5<x420

60x-300-|61x+--565|,x>20

则利润IxJ

60x-325,0<x<5

"(x)=,-X2+40X-200,5<X<20

-x----+265,x>20

化简得x

（2）当°<x45时，此时“（X）单调递增,

%％=%(5)=-25

x=--=20

当5<x420时，二次函数开口向下，对称轴为2x(-1)

则砥X）max"（20）=200,

900、―900

,:xH----之60x=

当x>20时，x,当且仅当x,即x=30时等号成立,

•••阳女"=%（30）=-30-黑+265=205

综上，游客人数为30万时利润最大，最大利润为205万元.

21.如图，矩形/SCO中，/8=6,8C=2,点",N分别在线段“仇8（含端点）上，尸为

4。的中点，PMLPN,^ZAPM=a

AD

⑴求角二的取值范围；

(2)求出NN的周长/关于角a的函数解析式，3),并求的周长/的最小值及此时a的值.

兀71

6'i

【答案】⑴L

“、1+sina+cosa兀兀

（2）"）sinacosa”_71

」；当“一^时，APMN的周长/取得最小值为2五+2

【分析】(1)由图形可知当点■位于点8时，角a取最大值，当点N位于点C时，角a取最小值,

求解即可.

(2)结合图形中的直角三角形，利用三角函数和勾股定理，把的三条边用角a表示，可求

出/(a),再利用换元法，通过函数单调性求最小值.

【详解】(1)由题意，当点加位于点8时，角a取最大值，此时tana=Ji,

c兀兀

0<a<—a--

因为2,所以3,

71兀兀兀

当点N位于点C时，由对称性知NOPN取最大值角a取最小值53-6,

兀71

所以角。的取值范围是16'3

\PM\=----

（2）在直角MAM中，cosa,

（兀）.尸。..1

CQSZDPN=COS——a=sina=----।xi1尸N=-------

在直角中，（2）两且归。n|=r1,所以।।sina,

1I11

+|PN『=■>•~2

在直角APMN中，由勾股定理得,cos2asin2acos~asm~a,

因为l_63」，所以sma>0,cosa>0,所以'1cosasina,

1111+sina+cosa兀兀

/（a）=------+-------+--------------------------,aG

所以sinacosasinacosasinacosa6^

t-x/2sinftz+—'ie3,6

令，=sina+cosa,因为ael_63」，所以I4J