第二学期04计量经济学复习题

修订记 A（ PartB：往届考 一 拟合优度（来自 数学期望（来自，与上届考题答案一致 异方差性（来自，与上届考题答案一致 信息量指 协方差平稳（ 自相关性（来自 方差（来自，与上届考题答案一致 可逆性（来自，与上届考题答案一致 时间序列（ 白噪音过程（ 二 判断 三 简 问题1：写出VAR(3)模型的具体形 经济学意义 PartC：保留：以下内容为历史版本v2.0 完成内容整理,创建word根据内容进行更、（学级2016冬）内容更Part（2016冬更新114章重点《标红的题目为老师上课讲的考题，后面标的页码是张思成老师编著的金融计量学（第《Warning：富贵儿整理内容为1到14章重点，模糊体的为订正或新加的。鉴于富贵儿第1章thesimplenetreturncontinuouscompoundingreturnPt代表金融产品在时刻t那么该金融产品的简单净收益率（thesimplenetreturn）Rt定义为R100%*PtPt PtPtreturn为tr100%*ln(Ptt

其中，ln中心矩P8 （skewness矩：moments.从统计学角度来说一个随量X的第n阶矩可以定义为E[(X)n](x)nf(x)dxX的均值，E(·)这样，如果假设X的各阶矩都有定义，那么n取不同的值就对应着随量X的各阶随量的1阶矩被称为均值或期望值，经常使用来表示，它度量了随机分布的 量的2阶矩被称为方差，经常用2来表示，它衡量了X的变化幅度。方差的方根称为标准差，用来表示。均值和方差被广泛地用来刻画各种随机分布尤其是正态分随量的4阶矩被称为尾峰度（峰度，衡量随量分布的尖峰或平坦程度 第3章差分方程P44-个随机扰动变量t的影响，则可用等式陈述为ytyt1tyt1得到ytyt1(1)yt1tytytyt1operatoryytyt(y)2y(y

)(

t

t

t动态乘数（也叫脉冲响应函数）在差分方程中，一般假设tyt，在实践中人们往往很想知道这样的冲击因素tyt的动态影响路径是什么样子的。yt动态乘数

multiplier影响乘数=yt与脉冲响应函数相联系的另外一个概念是累积脉冲响应函数（cumulativeimpulseresponsefunction，CIRF）它的定义是yt

ytt

ytt

...ytt

jj1

j

...累积脉冲响应函数经常用来衡量随机扰动因素如果出现永久性变化，即t,t1,...,tytjyt1yt12yt2...pytptP53程。滞后算子以英文单词“lagL表示，基本的运算规则如下：Lytyttt

yt

LLy yt1yt12yt2t(3.31) yLy p第4章AR 假定yt是一个随量，自协方差（autocovariance）定义的是yt与其自身滞后期之间co(X,Y)E[XE(X)][YE(Y)]E[·]ytjytjjE[ytE(yt)][ytjE(ytj)],j0,1,2,...如果一个随量的期望值（均值）保持不变，那么4.5可写另外从方差的定义还可以知道随量yt的方差就是当j=0时的特殊情况假设 t ar(y)E[y][ ]E(y t 回顾基本的统计学知识，与方差、协方差相关的还有相关系数，例如随量x和co(x,co(x,ar(x)ar( co(yt,co(yt,ytjar(yt)ar(ytjj

,j0,1,2,...stationaritystationarity差以及协方差均不随时间t的变化而变化，则称yt为弱平稳随 量，即yt必须满足以下tEyt)aryt2jE[yt][ytj],j0,1,2...如果组成随机过程的随量为弱平稳的，这个随机过程称为弱平稳过程E(yt) ar(y) coytytj0,j0（4.16）yt是白噪音过程。AR（1）一阶自回归过程记作AR(1)，表现为当期的随量对自身的滞后一期项和一个随机扰ytcyt1tct-tyt1cyt2t1（tytcyt

c(cyt

t

)

tAR(1)P66（达成平稳条件时AR（2）ytc1yt12yt2t（4.40）(L)ytc 其中(L1LL2 pAR（p）pAR(p)ytc1yt12yt2...pytpt这里是方差为2的白噪声过程。如果使用滞后算子，AR(p)t(L)ytc其中，(L)为滞后算子多项式，定义为4.6704.67AR（p）（λi第5章ARMAMAprocessMA(1)移动平均（movingaverage，MA）过程有时候也被称为滑动平均过程，是指将时间序列ytMA过程的最简单形式是一阶移动平均过MA(1)，模型形式为ytct1t1 其中c表示常数项，是方差为2MA过程的定义可以看出“移动平均”的含义来源于上述的后两项。如果利用滞后算子来定义MA(1)

ytc

其中LMA(1)MA(1)过程的均值，即E(yt)E(ct1t1)cMA(1)0MA(1)ytct1t12t2这里t仍代表方差为2的白噪声过程，c为常数项，1和2 yc(1LL2 E(yt)cE(y)2

)2(122)2

1t

t j

1(1212

,j 2j2,j2j

j0,jj

1(12)12

,j ,j2 12 j0,jqMA（q）ytct1t12t2...qtq其中t表示白噪音过程，而i(i1,2q代表系数。MA(1)、MA(2)过程类似，MA(q)过程的均值为E(ct1t12t2...qtq)cARMAprocessP91-ARMAARMA(p,q) t

y

ptttp

1212t

其中定义为方差为2的白噪音过程，c t qtq=0ARp=0则变成一个t qt p(1LL2... p

Lp)

c(1LL2...

或者更为简约的形式：(Lytc(L)tARMAP91-从MA过程的特性我们已经知道，MA过程在任何条件下都是平稳过程，所以对于等式1-1z

z2...

zp0pprocess，记MA过程的可逆条件类似，ARMA(p,q)过程的可逆条件是方程p1zz2...zq0 MA(q)部分自相关函数的定义 P95-与自相关函数的定义有联系，但又不同的一个概念是部分自相关函数（partialfunction，ACFyt1,yt2,...,ytk1ytyt2yt1Durbin-WarsonDWAICSICP107（罚函数第7章一阶差分法 型例子就是随机过程。如果从AR模型的平稳性条件来考虑，那么随机过程之所以非平稳过程，就是因为这个过程的特征方程的根含有一个单位根（unitroot。也正因为如（unitprocessone（integrated(1)2随机趋势非平稳过程可以通过差分法变为平稳过程。如果是I(1)，则一次差分即可实就是指使用原过程获得一次差分项yytyt1的表达式，其中yt基于随机过程的一次差分y是一个平稳的随机时序变量，因为y等于平稳白噪音过程t。ytI(2)其中2表示二次差分符号，依此类推。第9章向量自回归（VAR）VARP165-VAR模型的实质是查多个变量之间的动态互动关系。例如我们要考虑一组变量y1t,y2t,...,yntn维的向量Ytn*1Y

y2t,t1,2,...,Ty ...yntmt和tYt

Y t

pVARYtC1Yt12Yt2...pYtpt其中Cn*1维的常数向量，i(i1,2pn*nnoiseE(t)

tE(’0对于stn*n对称正定（positivedefinite）矩阵。2VAR(1)模型YtCYt1tVARy1tc11112y1,t11t

t

ycy ycy2t

2

22

t

2t

t

c

E(2)E(

2不难看出C

1，E(,)

1t

12c

t E()E

2

2t

212

L

L

22

22VARvar模型中进行进一步分析。VAR模型的滞后期数选择信息量准则AICSICP179P180AIC越小越好VAR模型中滞后期数的方法有两种。化。与一个不含有截距项的VAR(p)模型相对应的AIC和SIC计算分别为AICln

2T

SICln

T

T表示样本大小，pn2VAR（npn个系数表示残差向量的方差--协方差矩阵估计。AICSICAICSICp。在实际应用中，需要首先给定一个最大的滞后期数LRVAR系统对应的似然函数出现显著性增大。具体地说，考虑VARp1)与VARp2),并且p2p1。这样分别估计对应的两个VAR1和2。LR(T)(ln1ln2)这个统计量衡量了不同滞后期是否显著影响模型的拟合情况。κVAR模3VARp15p26VAR633*3=99LR检验来判断最优滞后。test（LR检验过程。12、1824期为最大滞后期数；对于季度数据，一般可以48234期为最大滞后期数。因果关系Granger 几个变量的当期值有影响。正因为如此，因果关系检验经常被解释为在VAR模型中是一种“预测”关系，而并非真正意义上的“因果关系”2VAR(p)y

c

1t1

12

12

12

1ty2t

c2

(2)(2)y2,2t

2ty2,tj0y2ty1t的因果关系，即H:(1)(2)...(p)

0y

c

221t122

1ty2t

c2

()pp()

y2,tp

2t自对应的残差的方差--协方差矩阵分别记作u和r，那么对应的LR成(T)(ln

lnu)这个检验统计量的结果，如果原假设被，那么就说y2t是y1t的因果关系。简单脉冲响应函数【脉冲响应函数（impluseresponsefunction，IRF）IRFIRFVARword（VMA形式）MAVARVMA（∞）Ytt1t12t

（9.66）

yi,t

h其中，h表示ij列的元素。换言之hj个随机扰动因素（ tVARit+h（yi,th）

0InInni=jy

1yitVAR 此，方差分解提供了关于每个扰动因素影响VAR模型内哥哥变量的相对程度。jt的方差能由其他随机扰动jt第11第12GARCHGARCH模型介绍只有高斯-OLS估计方法获得最佳线性无偏估计（bestlinearunbiasedestimator,BLUE）一般线性回归模型yXu具有以下假设，则称为经典线性回归模型model，CLRM1ytc1x1t2x2tkxktutyXu2、X为确定的（fixed）X30E(utx

x)5co(us，ut)6u~N(0,2

(s（bestlinearunbiasedestimator，BLUE，这就是著名的高斯-马尔可夫定理（Gauss-MarkovtheoremF检验。Gauss-MarkovCLRM的全部假设都成立，那么对于回归模 型yXu通

u'u(u1...uT)...

u

TARCH间序列分析中。ARCH模型的思想是，误差项再时刻t的方差依赖于时刻（t-1）的误差ARCHARCH(1)ARCH模型其滞后阶数“1”表ARCH(1)yx,u 2Eu2 )(

t tyt和xtut表示无序列相关性（seriallyuncorrelated）yx,u，u~N(0,2 2E(u2 , ,...)

...

t t

1t

2t

ptARCH(1)ARCH(p)模型系统中，我们仍然假设随机扰动项ut不存E(utus)0，st0E(utE(utut10ARCH

ytcyt1uttu~N(0,2t

~N(0,2

t对于这两个不同的假设，对yt和uttARCH系统的方差等式来说需要限制02 有/ARCHGARCH（1,1）tt个滞后项，用以代替多个u2GARCH(1,1)模型的基本表达形式：ttyx'u，u~N(0,2

t2

1t

1t与GARCH（p,q）P259-260GARCH(p,q)qGARCH项中的滞后阶数，pARCHyx'u，u~N(0,2 p

其中0，t严格大于零。

it

jtj成长线投资收益均值的平均（常数、上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于波动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果资产收益的变化非常大，那么对下期方差的预期就会增加。而且，GARCH模型也与收益等数据中观测到的波动集群性（volatilityclustering）GARCH-in-meanGARCH(1,1)-in-Meanyx'

u

~N(0,2

t

t2

u2

1t

1t 产收益率，那么该项前的系数衡量了收益率与风险之间的关系，如果为正值，那么说明pqyx'pq

u

~N(0,2

t 2

u2

iti jtj j1GARCH模型（TGARCH）TGARCH模型，首先设立一个虚设变量，满足以下条件：It10，ut1IIt

GARCH yx'u，u~N(0,2

其中 为门限。2

'u2

t

t

1t

t 1t指数GARCH模型（EGARCH）P274- tGARCHtt是ln2，并且分别使用均值等式的扰动项和扰动项的绝对值与扰动项的标准差之比来捕EGARCH(1,1)模型可以设立成：t yx'u，u~N(0,2

ut1

t1

0t

t

ttEGARCH的基本形式可以看出ln2t tGARCH模型那样需要约束才能确保方差2tEgarchegarch经典线性回归的基本假设CLRMOLS估计 就是随量在给定条件下的分布，利用概率密度函数，在给定y的情况下X的密度， (x;)

fx,y(x,x|

fy(【随量的矩假定T代表随 量t的样本观测值的个数，那么样本均值可写成tˆ1TtTtˆ21T1

表示均值为0的随量E(At)AE[tE[At]AE[tE[utt]E[ut]E[t ar[A]A2ar[ ar[At]ar[t

]E[u22u

2]E[u2]2E[u]E[2

t

t 【ARMAcriteriacriteria（SICAICSIC的定义如下：

2 t 2AIC(p)ln

2 t

SIC(p)ln clustering。，显著的差别。这主要是因为，高频数据表现出与低频数据几位不同的特征收益率高频数据表现出明显的集群（clustering）GDP增长这样的时间序列变量中却没有这种聚类现象。并且收益率自回归模型的残差序列表现出很强的波动性，其方差在给定GDP或者其他季度宏观数据时，模型回归RobertEagleTimBollerslev.。，OxProfessionalversion5.10(Windows/U)(C)J.A.Doornik,1994-----PcGive12.10sessionstartedat12:59:31 8-01-2017---EQ(1)ModellingsalesbyOLS-Thedatasetis:C:\ sandSettings\Administrator\桌面\截面分析部分展示Theestimationsampleis:1- t- t-prob-- -5.50716e---- F(10,389)28.97- no.of no.of Algebracodeforclothing.in7:Ltsales=log(tsales);Lsales=log(sales);Lmargin=log(margin);Lnown=log(nown);Lnfull=log(nfull);Lnpart=log(npart);Lnaux=log(naux);Lhoursw=log(hoursw);Lhourspw=log(hourspw);Linv1=log(inv1);Linv2=Lssize=EQ(2)ModellingLsalesbyOLS-Thedatasetis:C:\ sandSettings\Administrator\桌面\截面分析部分展示Theestimationsampleis:1- t- t-prob--- - -----F(10,389)35.47- no.of no.of EQ(3)ModellingLsalesbyOLS-Thedatasetis:C:\sandSettings\Administrator\桌面\截面分析部分展示Theestimationsampleis:1- t- t-prob--- - ----- F(9,390) 39.51 - no.of no.of EQ(4)ModellingLsalesbyOLS-Thedatasetis:C:\ sandSettings\Administrator\桌面\截面分析部分展示Theestimationsampleis:1- t- t-prob--- - -- - F(8,391)44.39- no.of no.of9 EQ(5)ModellingLsalesbyOLS-Thedatasetis:C:\sandSettings\Administrator\桌面\截面分析部分展示Theestimationsampleis:1- t- t-prob - F(7,392) 43.63 - no.of no.of EQ(6)ModellingLsalesbyOLS-Thedatasetis:C:\ sandSettings\Administrator\桌面\截面分析部分展示Theestimationsampleis:1- t- t-prob - F(6,393)50 no.of no.of7 RESET 0.57087Normality 32.705HeteroF(12,380)13.346Hetero-XF(27,365)6.9911RESET 0.57087-t-t-t-t-----PartBAICSIC。协方差平稳（间的变化而变化，则称y为弱平稳随量，即y必须满足以下条件：衡量随量或一组数据时离散程度的度量如果一个过程可以用自回归模型来近，称该过程具有可逆性时间序列（广义地讲，将某种金融随量按出现的时间顺序排列起来称为金融时间序列。从现实世白噪音过程（二、判断题GARCHARCH模型（3（（L（（（（（（（三、简答VAR（3）模型中，44（4×3+1）=52个系数，此时每个单个VAR模型相关的脉冲响应函数则能较全面的反映各个变量之间的动态影响。与VAR模型相关的脉冲响应函数是Yt序列在受到一个单位随机扰动因素的冲击后的动ARIRFVARWold表现形式（VMA形式）MA系数。Ytt1t12t2...jtj

yi,th

ij表示hijj个随机扰动因素（jt）0InInni=jy

yit 富的结构，其可以能够捕获数据的特性。用于确定必要资本及提供依据。问题4：讨论基于非平稳时间序列的因果检验是否可讨论基于非平稳时间序列的因果检验是否可信因此，因果关系检验对于经济预测能够起到一定的作用PartCv2.0的1Ptt的价格，同时假定与该金融产品相关的红利忽略不计，那么该金融产品的简单净收益率（thesimplenetreturn）Rt定义为PtPreturntr100%*ln(Ptt其中，ln2就是随量在给定条件下的分布，利用概率密度函数，在给定y的情况下X的密度， (x;)

fx,y(x,x|

fy(3、【随量的期望与矩高。矩的英文对称moments.从统计学角度来说一个随量X的第n阶矩可以定义E[(X)n](x)nfX的均值，E(·)这样，如果假设X的各阶矩都有定义，那么n取不同的值就对应着随量X的各阶矩。相应地1阶矩被称为均值或期望值，经常使用来表示，它度量了随机分布的置。另外，随量的2阶矩被称为方差，经常用2来表示，它衡量了X的变化幅度。差的平称为标准差，用来表示。均值和方差被广泛地用来刻画各种随机分布尤其是4、【随量的矩假定T代表随 量t的样本观测值的个数，那么样本均值可写成tˆ1TtTtˆ21T1

（A表示常数，ut和表示均值为0的随量E(At)AE[tE[At]AE[tE[utt]E[ut]E[t ar[A]A2ar[ ar[At]ar[t

]E[u22u

2]E[u2]2E[u]E[2

t

t 5个随机扰动变量t的影响，则可用等式陈述为ytyt1yt1得到ytyt1(1)yt1yt的一次差对其滞后项的反应关系。为简化说明，ytyt1operatoryytyt6在差分 一般假设t是服从某种分布的随机扰动项这种随机干扰项影响序列yt在实践中人们往往很想知道这样的冲击因素tyt的动态影响路径是什么样子的。因此就yt动态乘数

multiplier影响乘数=7与脉冲响应函数相联系的另外一个概念是累积脉冲响应函数（cumulativeimpulseresponsefunction，CIRF）它的定义是ytjytjytj...yt

jj1j2... t t t累积脉冲响应函数经常用来衡量随机扰动因素如果出现永久性变化，即t,t1,...,tytj8yt1yt12yt2...pytp9滞后算子以英文单词“lagL表示，基本的运算规则如下：Lytyt1L2ytyt2Lpytytyt1yt12yt2 yLy 假定yt是一个随量，自协方差（autocovariance）定义的是yt与其自身滞后期之co(X,Y)E[XE(X)][YE(YE[·]ytjytjjE[ytE(yt)][ytjE(ytj)],j另外从方差的定义还可以知道随量yt的方差就是当j=0时的特殊情况假设 t ar(y)E[y][ ] t 回顾基本的统计学知识，与方差、协方差相关的还有相关系数，例如随量x和的相关系数ar(x)ar(ar(x)ar(co(yt,co(yt,ytjar(yt)ar(ytjj

,jjj绘制出的图示称为自相关图对于随机时间序列的平稳性（tionarity）有很多定义形式，但是最常见和常用的定（eaklytionarit（aiancetionarit）stationarity差以及协方差均不随时间t的变化而变化，则称yt为弱平稳随量，即yt必须满足以下tEyttary)2tjE[yt][ytj],j如果组成随机过程的随量为弱平稳的，个随机过程称为弱平稳过程白噪声过程（whitenoiseprocess）是金融时间序列分析中最常用的平稳过程之一。如E(yt) ar(y) co(yt,ytj)0,jytytcyt1ct-yt1cyt2tytcyt

c(cyt

t

)

cc2

tttytc1yt12yt2

(L)ytc 其中(L1L 15、【PpAR(p)ytc1yt12yt2...pytpt这里是方差为2的白噪声过程。如果使用滞后算子，AR(p)t(L)ytc其中，(L)为滞后算子多项式，定义为(L)1LL (L)(11L)(12L)...(1p移动平均（movingaverage，MA）过程有时候也被称为滑动平均过程，是指将时间序列过程yt写成一系列不相关的随量的线性组合MA过程的最简单形式是一阶移动平均MA(1)，模型形式为ytct1t 其中c表示常数项，为系数，是方差为2MA过程的定义可以看出“移动平均”的含义来源于上述的后两项。如果利用滞后算子来定义MA(1)

ytc

LMA(1)MA(1)过程的均值，即E(yt)E(ct1t1)MA(1)0MA(1)ytct1t12t 这里仍代表方差为2的白噪声过程，c为常数项，

yc(1LL2

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0E(yt)E(y)2

)2(122)

1t

2t j

1(1212

,j 2j2,j2jj0,jj

1(12)12

,j ,j 12 j0,jqMA(q)MA(1)、MA(2)模型的更一般化拓展形式，其基本ytct1t12t2...qt其中t表示白噪音过程，而i(i1,2q代表系数。MA(1)、MA(2)过程类似，MA(q)过程的均值为E(ct1t12t2...qtq)process自回归移动平均过程记作ARMAARMA(p,q)ytc1yt12yt2...pytpt1t12t2... 其中定义为方差为2的白噪音过程，c q=0ARp=0则变成一个MA过程。另还可利用滞后算子将表达式写成：2(112

2...

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2...

pt2q或者更为简约的形式：(Lytcpt2qMAARARMA

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p个或多个根落于单位圆上，则此时的ARMA(p,q过程称为自回归单整移动平均过程p q（autoregressiveintegratedmovingaverageprocessARMA(p,d,q)，其中pq分标表ARMA部分的阶数。所谓单整，就是指单个序列存在一个或者多个单位根时的情况。ARMA(p,q)MA qMA(q)

1zz2...

zq0与自相关函数的定义有联系，但又不同的一个概念是部分自相关函数（partialfunction，ACFyt1yt2ytk1ytyt2yt122、【ARMAcriteriacriteria（SICAICSIC的定义如下：

2 t AIC(p)ln

2 t

SIC(p)ln 型例子就是随机过程。如果从AR模型的平稳性条件来考虑，那么随机过程之所以非平稳过程，就是因为这个过程的特征方程的根含有一个单位根（unitroot。也正因为如（unitprocessone（integrated(1)2随机趋势非平稳过程可以通过差分法变为平稳过程。如果是I(1)就是指使用原过程获得一次差分项yytyt1的表达式，其中表示查分符号。所以yt，基于随机 过程的一次差分y是一个平稳的随机时序变量，因为y等于平稳白噪音过程t。ytI(2) t t t t t2y(y)(y t t t t t其中2VAR模型的实质是查多个变量之间的动态互动关系。例如我们要考虑一组变量n维的向量Ytn*1的向量时间序列Y

y2t,ty ...yntmt和tY

Ymt

pVAR t

YtC1Yt12Yt2...pYtpCn*1i(i1,2pn*nnoiseE(t)tttE(’0对于stn*n对称正定（positivedefinite）2VAR(1)模型

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2不难看出C

1，E(,)

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212(L)IL1,011L,12L111L,12L L, L,1 22 2225、【VARVAR化。与一个不含有截距项的VAR(p)模型相对应的AIC和SIC计算分别为AIClnSICln

2TTT表示样本大小，pn2VAR（npn个系数表示残差向量的方差--协方差矩阵估计。AICSICAICSICp。在实际应用中，需要首先给定一个最大的滞后期数LR检验法就是比较不同滞后期数对应的似然函数值。VAR虑VARp1)与VARp2),并且p2p1。这样分别估计对应的两个VAR1和2。LR检验统计量定义为(T)(ln1ln2这个统计量衡量了不同滞后期是否显著影响模型的拟合情况。κVAR模3VARp15p26VAR633*3=99LR检验来判断最优滞后。test（LR检验过程。12、1824期为最大滞后期数；对于季度数据，一般可以48234期为最大滞后期数。因果关系（Grangercausality）可以用来检验某个变量的所有滞后项是够对另一个或几个变量的当期值有影响。正因为如此，因果关系检验经常被解释为在VAR模实质是一种“预测”故事关系，而并非真正意义上的“因果关系”2VAR(p)y

c

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(p)(p)y2,tp

2t自对应的残差的方差--协方差矩阵分别记作u和r，那么对应的LR成(T)(lnrlnuκpLRp服从2分布的统计量根据这个检验统计量的结果如果原假设被那么就说的因果关系

27、【脉冲响应函数（impluseresponsefunction，IRF）IRFIRFVARword表现形式（VMA形式）MAVARVMA（∞）Ytt1t12t2...jtj

yi,th 其中，h表示ij列的元素。换言之hj个随机扰动因素（ tVARit+h（yi,th）个 假定其他所有扰动项不变。根据以上定义，我们还可以知

0InInni=j

1yit28、【VAR 此，方差分解提供了关于每个扰动因素影响VAR模型内哥哥变量的相对程度。jt的方差能由其他随机扰动jtclustering。，显著的差别。这主要是因为，高频数据表现出与低频数据几位不同的特征收益率高频数据表现出明显的集群（clustering）GDP增长这样的时间序列变量中却没有这种聚类现象。并且收益率自回归模型的残差序列表现出很强的波动性，其方差在给定GDP或者其他季度宏观数据时，模型回归RobertEagleTimBollerslev.。，30、【ARCH间序列分析中。ARCH模型的思想是，误差项再时刻t的方差依赖于时刻（t-1）的误差ARCHARCH(1)ARCH模型其滞后阶数“1”表ARCH(1)yx,u，u~N(0,2 2E(u2 )u2 t 1tyt和xtut表示无序列相关性（seriallyuncorrelated）的随ARCH(1)ARCH(p)的形式，即yx,u，u~N(0,2 2E(u2 ,

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...u2 t

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2t

ptARCH(1)ARCH(p)模型系统中，我们仍然假设随机扰动项ut不存E(utus)0，st0E(ut)E(utut1)0ARCH

ytcyt1uttu~N(0,2tut~N(0,t2t对于这两个不同的假设，对yt和utARCH系统的方差等式来说需要限制02 ttGARCHARCH(1)模型中加入了2自身的一个滞后项，用以代替多个u2GARCH(1,1)模型的基本表达形式：ttyx'u，u~N(0,2 2u2 1t 1t与GARCH(p,q)qGARCH项中的滞后阶数，pARCH项中的滞后阶数，这GARCH(p,q)模型的基本形式就可以写成yx'u，u~N(0,2 p 2 2

其中，2

0

iut

j

jtGARCH模型的用途非常广泛，常被用于分析金融时间序列领域。例如人们可以通过形成长线投资收益均值的平均（常数、上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于波动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果资产收益的变化非常大，那么对下期方差的预期就会增加。而且，GARCH模型也与收益等数据中观测到的波动集群性（volatilityclustering）33、【GARCH-in-Mean简单的GARCH(1,1)-in-Meanyx'

u

N(0,2

t 2

u2

1t

1t在上述模型中，均值等式包括了一个经常用于度量风险程度的变量2y 产收益率，那么该项前的系数衡量了收益率与风险之间的关系，如果为正值，那么说明yx'

u

t1 2

u2

iti jtj j1（TGARCHvariableGARCH(1,1)为例，要建立只有一个门限的TGARCH模型，首先设立一个虚设变量，满足以下条件：It10，ut1IIt

GARCH yx'u，u~N(0,2

其中 为门限2

'u2

t

t

1t

t 1t2

2 1t

1t t2

'u2 1t

1t1t 1t（EGARCHGARCH2而是ln2 yx'u，u~N(0,2

ut1

t