数学人教版七年级上册第4章几何图形初步专训1-巧用角平分线的有关计算课件

阶段方法技巧训练（三）专训1巧用角平分线的

有关计算习题课角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．1训练角度角平分线间的夹角问题(分类讨论思想)1．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分

∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．如图①，当OC落在∠AOB的内部时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°，所以∠MON＝∠BOM－∠BON＝50°－30°＝20°.解：如图②，当OC落在∠AOB的外部时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°.所以∠MON＝∠BOM＋∠BON

＝50°＋30°＝80°.综上可知，∠MON的度数为20°或80°.解：本题已知没有图，作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况，体现了分类讨论思想的运用．点拨：2训练角度巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)2．如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在

A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与

BD间的夹角是多少度？因为∠CBA与∠CBA′折叠重合，所以∠CBA＝∠CBA′.因为∠EBD与∠A′BD折叠重合，所以∠EBD＝∠A′BD.又因为∠ABC＋∠CBA′＋∠A′BD＋∠EBD＝180°，所以∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝×180°＝90°.即两折痕BC与BD间的夹角为90°.本题可运用折叠法动手折叠，便于寻找角与角之间的关系．解：点拨：3训练角度巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题(方程思想)3．如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，

且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．设∠AOC＝x，则∠COB＝2x.因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠AOB

＝(∠AOC＋∠BOC)＝

x.又因为∠DOC＝∠AOD－∠AOC，所以19°＝

x－x，解得x＝38°.所以∠AOB＝3x＝3×38°＝114°.解：根据图形巧设未知数，用角与角之间的数量关系构建关于未知数的方程，求出角的度数，体现了方程思想的运用．点拨：4训练角度巧用角平分线解决角的推理说明问题(转化思想)4．如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，

∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF

有怎样的关系？说明理由．∠DOE＝∠COF.理由如下：因为OD平分∠AOB，所以∠DOB＝∠AOB.因为OF平分∠BOC，所以∠BOF＝∠BOC，所以∠DOB＋∠BOF＝∠AOB＋∠BOC

＝∠AOC，即∠DOF＝∠AOC.解：又因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝∠AOC，所以∠DOF＝∠EOC.又因为∠DOF＝∠DOE＋∠EOF，

∠EOC＝∠EOF＋∠COF，所以∠DOE＝∠COF.欲找出∠DOE与∠COF的关系，只要找到∠DOF与∠COE的关系即可．而OD，OF分别是∠AOB，∠BOC的平分线，那么由此可得到∠DOF与∠AOC的关系，而且又有∠EOC＝

∠AOC，即可转化成∠DOF与∠EOC的关系，进而可得∠DOE与∠COF的关系，体现了转化思想的运用．点拨：5训练角度角平分线与线段中点的结合5．如图，(1)已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON

的度数；因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，所以∠MON＝∠MOC－∠NOC

＝∠AOC－∠BOC

＝(∠AOB＋∠BOC)－∠BOC

＝∠AOB＝45°.解：(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON

的度数；(3)如果(1)中∠BOC＝β(0°＜β＜90°)，其他条件不

变，求∠MON的度数；(2)∠MON＝∠AOB＝(3)∠MON＝∠AOB＝45°.解：(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么样的规律？从(1)(2)(3)的结果中可看出：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关．解：(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们

之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计

一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出

其中的规律．可设计的问题为：如图，线段AB＝a，延长AB到C使BC＝b，点M，N分别是线段AC，BC的中点