+27.2.2+相似三角形的性质+课件++2021-2022学年人教版数学九年级下册

27.2.2相似三角形的性质义务教育教科书

九年级下册相似三角形的———————,各对应边——————。对应角相等成比例回顾1.三角形相似的判定方法有那些？两个角对应相等的两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似。2.相似三角形的有哪些性质?3.相似三角形还有哪些性质?如图，已知△ABC∽△A′B′C′,相似比是ｋ，其中AD

、

A′D′分别是BC

、B′C′边

上的高。

1）△ABD与△A′B′D′相似吗？

因为△ABC∽△A′B′C′

所以∠B=∠B′（相似三角形对应角相等）又∠ADB=∠A′

D′

B′=90°所以△ABD∽△A′B′D′（两个角对应相等的两个三角形相似）解因为△ABD∽△A′B′D′=B′A′D′k=ABA′AD所以2）AD

、

A′D′有什么关系呢？解结论:相似三角形对应高的比等于相似比如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为Ｋ,AD

、

A′D′分别是BC、

B′C′边上的中线。问：AD

、

A′D′之间有什么关系？D'C'B'A'DCBA

因为△ABC∽△A′B′C′所以又又∠B=∠B′所以△ABD∽△A′B′D′所以结论:相似三角形对应中线的比等于相似比解所以在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为10倍?问题情境算一算：ΔABC与ΔA´B´C´的相似比是多少？ΔABC与ΔA´B´C´的周长比是多少?面积比是多少？在4×4正方形网格中看一看：ΔABC与ΔA´B´C´有什么关系？为什么？

想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？（相似）2探究新知√102√21√5√2ABCA’C’B’ABCA’B’C’已知:ΔABC∽ΔA´B´C´,相似比为k.=k2求证:ΔABC的周长ΔA’B’C’的周长=ksABCsA´B´C´探究新知周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以证明吗？证明：∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k∴（相似三角形的对应边成比例）∴AB=kA´B´,BC=kB´C´,AC=kA´C´∴ABCA’B’C’已知:ΔABC∽ΔA´B´C´,相似比为k.=k2求证:ΔABC的周长ΔA’B’C’的周长=ksABCsA´B´C´如图AD和A´D´分别是BC，B´C´边上的高。∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k∴∠B=∠B´（相似三角形的对应角相等）∵AD和A´D´分别是BC，B´C´边上的高。∴∠ADB=∠A´B´C´=90°∴△ABD∽△A′B′D′（有两个角对应相等的两个三角形相似）∴证明：ABCA’B’C’已知:ΔABC∽ΔA´B´C´,相似比为k.=k2求证:ΔABC的周长ΔA’B’C’的周长=ksABCsA´B´C´DD´

在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,三角形的边长,周长,面积,角,哪些放大为10倍?答:三角形的边长,周长放大为10倍.三角形的面积放大为100倍.三角形的角大小不变.已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比周长比面积比注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要平方;而已知面积比，求相似比或周长比则要开方。练一练：24100100100001913132．．．．．．．．．P115课内练习1理解ABCDEF相似三角形的周长比等于相似比吗?相似三角形的周长比等于相似比.思考已知：如图，△ABC∽△A’B’C’，它们的相似比是K，

AD、A’D’分别是高.求证：证明：∵△ABC∽△A’B’C’B’D’C’A’ABCD相似三角形的面积比等于相似比的平方.总结

通过前面的思考、探索、推理，我们得到相似三角形有如下性质；

相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。理解1、已知△ABC∽△A´B´C´，AD、A´D´分别是对应边BC、B´C´上的高，若BC＝8cm,B´C´＝6cm,AD＝4cm,则A´D´等于（）A16cmB12cmC3cmD6cm2、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（）A7∶3B49∶9C9∶49D3∶7CD理解3.把一个三角形变成和它相似的三角形，（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的___倍。（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的________倍。4.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14厘米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是——————。（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是_____________。运用例：如图，△ABC~△A'B'C'，它们的周长分别是60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。C'B'A'CBA解：因为△ABC~△A'B'C‘所以==ABBCA'B'B'C'6072又AB=15厘米B'C'=24厘米所以A'B'=18厘米BC=20厘米故AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米）运用1、两个相似三角形的一对对应高分别是35cm和14cm,它们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长。2、如图在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC,如果BC=8cm,AD:AB=1:4,那么△ADE的周长等于_______cm。ADEBC

运用3.某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？DE30m18mBCA运用4..如图，蛋糕店制作两种圆形蛋糕,一种半径是15cm,一种半径是30cm,如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃,半径是30cm的蛋糕够多少人吃?(假设两种蛋糕的高度相同)运用5..如图，在ABCD中，E是BC上一点，AC与DE相交于F，若AE:EB=1:2，求∆AEF与∆CDF的相似比。若∆AEF的面积为5平方厘米，求∆CDF的面积。BFEDCA运用6.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？NMQPEDCBA解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC所以AEAD=PNBC因此，得x=48（毫米）。答：-------。80–x80=x120运用7.已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积为4cm2,△BOC的面积为9cm2,则梯形ABCD的面积为_________cm2ABCDO解:∴△AOD∽△COBS△AOD:S△COB=4:9∴OD:OB=2:3∴S△AOD:S△AOB=2:3∴S△AOB=6cm2∴梯形ＡＢＣＤ的面积为25cm2∵AD∥BC25做一做：如图，D，E分别是AC，AB边上的点，∠ADE=∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，若AD=3，AB=5。

求：（1）;

（2）△ADE与△ABC的周长比;

（3）△ADE与△ABC的面积比。例题.如图是某市部分街道图，比例尺是1:10000，请你估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.解：地图上的比例尺为1：10000，就是地图上的△ABC与实际三角形地块的相似比为1：10000，量得地图上AB=3.4cm,BC=3.8cm,AC=2.5cm。∴三角形地块的实际周长为9.7×104cm，即970m。∴三角形地块的实际面积为4.18×108cm2,即41800m2答：估计三角形地块的实际周长为970米，实际面积为41800平方米。∵ABCDP115课内练习2∵×3.8×2.2=4.18cm2∴地图上△ABC的面积为则地图上△ABC的周长为3.4+3.8+2.5=9.7(cm)量得BC这上的高为2.2cm某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？

你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？DE实际问题思考30m你能吗18mBCABACDE解:如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m,ΔABC的周长为80m，面积为100m2,求ΔADE的周长和面积问题解决30m18mADE1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则ΔEFC的面积等于多少？BDEF面积为多少？

2.若设sΔABC=S,SΔADE=S1,SΔEFC=S2.请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？√S=√S1+√S2BCF48m2拓展延伸36m2证明：DE//BC＞ΔADE∽ΔABC＞S1S=(A

CAE)2EF/