2016考研数学二试题答案及解析

xa1x

x

，则（【答案】x1当x0时，ax x1 (1 (13x x2x3x

3x3x13

lnx,xf(x2(x1x1lnx,x(x1)2,xF(x)x(lnx1),x(x1)2,xF(x)x(lnx1)1,x(x1)2,xF(x)x(lnx1)1,x(x1)2,xF(x)x(lnx1)1,x【答案】xf(x做不定积分可得原函数，lnxdxxlnxx1dxxlnxxCx01

1x2edxx00

exdx的敛散性为 2x2【答案】 0

edx ex limexlimex(011

edx ex ex[limexlimex0

f(x在(内连续，其导函数的图形如图所示，则（f(x2yf(x2f(x2yf(x3f(x3yf(x1f(x3yf(x2【答案】2213个拐点设函数

fi(x)(i12具有二级连续导数，且fi''(x00(i12，若两条求曲线yfi(x)(i12在点(x0y0yg(x)yf1(x的曲率大yf2(xx0的某个邻域内，有（）.f1(x)f2(x)f2(x)f1(x)f1(x)g(x)f2f2(x)g(x)【答案】),’(y=f1(x)y=f2(x)在(x0,y0)[1

,k(x0

|f[1 又f1"(x00,f2"(x00,则f1 ,F(x)≤F(x0)=0f1(x)≤f2(x),

f(x,y)

x

，则 f'f' f'f' f'f' f'f' 【答案】fx'

ex(xy)(x

0,fy'(xy)2fx'fy'

ex(xy)exex (x ABAB相似，则下列结论错误的是（ATBTAATBBTAA1BB1【答案】ABPP1APB(P1AP)TPTAT(P1)TPTAT(PT)1BTAT~BT(P1AP)1P1A1(P1)1P1A1PB1A1~B1P1AA1)PP1APP1A1PBB1AA1~BB1，CP1ATPBTCC.f(xxxa(x2x2x22xx2xx2x

1 1 21,2，则（aa2a1a1a【答案】 曲线y 1yx2

)的斜渐近线方程 k

x

x(1x2 blim(ykx)

)]

x1 yx2

1(sin12sin2L n n n 【答案】sin11 ( L nn 10xsinxdxsin11以yx2ex和yx2为特解的一阶非齐次线性微分方程 y'y2x【解析】x2-(x2-ex)ex是y’-y=0f(x在(f(x)x1)22xf(t)dtn20f(n)(0) 【答案】5f(x)(x1)22xf0f'(x)2(x1)2ff"(x)22f'(x),f"'(x)2f"(x)f(n)(x)2n2f"(x)(n2)f(0)1,f'(0)224,f"(0)f(n)(0)Pyx3P间的距离为l.P的横坐标对时间的变化率为常数V0，则当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是 28282v20

设矩阵 1与 11等价，则a a 【答案】（15）（10分1求极限lim(cos2x2xsinx)x41【答案】e（16）（10分f(x1|t2x2|dt(x0f'(xf(x的最小值0f'(x4x2 f( f(x)1|t2x2|dt(x00<x<14x22x,0xf'(x)2x,x x1令f'(x4x22xf"(x)8x2,f"(1)22x1f1)1 x≥1f’(x)=2x=0,x=0(舍1∴f(x)的最小值为4（17）（10分zz(x,y由方程(x2y2zlnz2(xy1)0zz(x,y的极值z(11（1）方程(x2y2zlnz2(xy10①x,y2xz(x2y2)z1z20 z2yz(x2y2)z1z20 zz0,z0得xz10z=0（舍） yz1z∴当x≠0时， x代入原式(x2y2)zlnz2(xy1)0y2x2(1)ln(1)2(2x1) （2）②x,y2z2x

2x

2y2

2

1)(z

12 0

z

2

1z

12 2

y

0

z2y zy2z2y

2y

2y2

2z

1(z

12 0

z2 z2

2

2 A ,B 0,C

ACB240,A9∴x=-1,y=-1（18）（10分Dy1yxyx

x2xyx2

dxdy【答案】12（19）（10分 y(x)ex,y(x)u(x)ex是二阶微分方程(2x1y''2x1y'2y0的两个解，若u(1)eu(0)1，求u(x) y(x)cexc(2x1)exDD （20）（11分Dy

1x2(0x1与ysin3

(0t

Dx2转一周所得旋转体的体积和表面积【答案】体积为V18S 【解析】D的图形如下图所示，D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积可看作两积之差，A2

（21）（11分f(x在[03上连续，在(03内是函数cos

f(0) 2xf(x在区间[032f(x在区间(03存在唯一零点2111【答案】（

（2）证明略（22）（11分 11a 设矩阵A a, ，且方程组Ax无解 a1 a 2a2 求aATAxAT的通解【答案】（1）a0（2）xk(01,1)T120)T，其中k为任意常数A

1 a1 a01 1 0（2）将a0代入可得A 0，1 1 1 11 AA10 10 因此可得(ATA,AT) 3x12x22x3 故可得

2，因此可得方程组的一个特解为(12

x31 （23）（11分

（Ⅱ）3B

,B2BA.B100

表示成1,2,3的线性组合

2 1 2298 99【答案】（Ⅰ） 2 1 22 （Ⅱ）(2299)(22100) (1299)(12100 (2298)(22 利用相似对角化，由|EA|0得到特征值为012当0时，代入EA中，求解方程组(EAX0

22同理得到其他的两个特征向量分别为：1

1，200

200 1 0设P(r,r,r) 2，则有P1AP 0，因此可12 0

1 0

2A99P 0 P1，根据矩阵P可以求得其逆矩阵为P1

1 2 0

1

1 A99P 0 P1 2 0