中考数学精创专题-高频考点突破-二次函数与最值

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——二次函数与最值1．如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点,抛物线与x轴另一个交点为D．（1）求图中抛物线的解析式；（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．2．一次函数分别与轴、轴交于点、.顶点为的抛物线经过点.（1）求抛物线的解析式；（2）点为第一象限抛物线上一动点.设点的横坐标为，的面积为.当为何值时，的值最大，并求的最大值；（3）在（2）的结论下，若点在轴上，为直角三角形，请直接写出点的坐标.3．如图，抛物线y=ax2﹣x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；（3）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=﹣x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，，，，点的坐标为.抛物线经过、两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上方抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，交线段于点，使最大.①求点的坐标和的最大值.②在直线上是否存在点，使点在以为直径的圆上；若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.5．如图所示，已知直线y＝kx+m与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x＝﹣时，y取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC＝1：3，求点P的坐标；（3）若直线y＝x+a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON＝90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围（不写过程，直接写结论）．6．在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满纵坐标满足：，那么称点为点的“关联点”．（1）请直接写出点的“关联点”的坐标____________；（2）若点在函数的图像上，其“关联点”与点重合，求点的坐标；（3）若点的“关联点”在函数的图像上，当时，求线段的最大值．7．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点在第一象限的抛物线上，且点的横坐标为，设的面积为，求与的函数关系式，并求的最大值；（3）在轴上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点坐标；如果不存在，请说明理由.8．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．9．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q是对称轴上一动点，当OQ+BQ最小时，求点Q的坐标．（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．10．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．①过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．11．如图1，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接AD、BD．（1）如图2，连接AC、BC，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过P作PE//BC交AC于点E，作PQ//y轴交AC于点Q，当△PQE周长最大时，将△PQE沿着直线AC平移，记移动中的△PQE为，连接，求△PQE的周长的最大值及的最小值；（2）如图3，点G为x轴正半轴上一点，且OG=OC，连接CG，过G作GH⊥AC于点H，将△CGH绕点O顺时针旋转（），记旋转中的△CGH为，在旋转过程中，直线，分别与直线AC交于点M，N，能否成为等腰三角形？若能直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由.12．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣12的图象交x轴于A（﹣3，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．点D是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，并且当m≤x≤m+5时，对应的函数值y满足﹣m，求m的值；（3）若点D在第四象限内，过点D作DE∥y轴交BC于E，DF⊥BC于F．线段EF的长度是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值及相应点D的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．14．如图，抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y=-x-1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．15．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-x-3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C．(1)求直线AC的解析式；(2)①点P是直线AC上方抛物线上的一个动点(不与点A、点C重合)，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值；②当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位长度的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒个单位长度的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动过程中用时最少时，求点M的坐标；(3)如图②，将△BOC沿直线BC平移，点B平移后的对应点为点B'，点O平移后的对应点为点O'，点C平移后的对应点为点C'，点S是坐标平面内一点，若以A、C、O'、S为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点O'的坐标.16．如图1，直线1：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、点E，抛物线L：y＝ax2+bx+c经过点B、点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3），并与直线l交于另一点D．（1）求抛物线L的解析式；（2）点P为x轴上一动点①如图2，过点P作x轴的垂线，与直线1交于点M，与抛物线L交于点N．当点P在点A、点B之间运动时，求四边形AMBN面积的最大值；②连接AD，AC，CP，当∠PCA＝∠ADB时，求点P的坐标．17．如图1，将抛物线y=ax2(a<0)平移到顶点M恰好落在直线y=x+3上，且抛物线过直线与y轴的交点A，设此时抛物线顶点的横坐标为m(m>0).(1)用含m的代数式表示a；(2)如图2，Rt△CBT与抛物线交于C、D、T三点，∠B=90∘，BC∥x轴，CD=2，BD=t，BT=2t，△TDC的面积为4①求抛物线方程；②如图3，P为抛物线AM段上任一点，Q(0，4)，连结QP并延长交线段AM于N，求的最大值.18．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”

（1）点A（2，6）的“坐标差”为________；

（2）求抛物线y=-x2+5.x+4的“特征值”；

（3）某二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为-1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；

（4）二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上点下在x轴上，当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．（1）；（2）当时，线段PC有最大值是2；（3），，【分析】把x=0，y=0分别代入解析式可求点A，点B坐标，由待定系数法可求解析式；设点C,可求PC,由二次函数的性质可求解；设点P的坐标为(x,−x+2)，则点C，分三种情况讨论，由平行四边形的性质可出点P的坐标．【解析】解：(1)可求得A（0,2），B(4,0)∵抛物线经过点A和点B∴把(0,2),(4,0)分别代入得：解得：∴抛物线的解析式为.（2）设点P的坐标为(x,−x+2)，则C（）∵点P在线段AB上∴∴当时，线段PC有最大值是2（3）设点P的坐标为(x,−x+2)，∵PC⊥x轴，∴点C的横坐标为x，又点C在抛物线上，∴点C(x,)①当点P在第一象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOPC为平行四边形，则OA=PC=2,即，化简得：，解得x1=x2=2把x=2代入则点P的坐标为(2,1)②当点P在第二象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，则OA=PC=2,即，化简得：，解得：把，则点P的坐标为;③当点P在第四象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，则OA=PC=2,即，化简得：，解得：把则点P的坐标为综上，使以O、A.P、C为顶点的四边形是平行四边形，满足的点P的坐标为.【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，最值问题，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分类讨论的思想解决问题．2．（1）；（2）当时，的值最大，最大值为；（3）、、或【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入点的坐标即可求解；（2）连接，可得点，根据一次函数得出点、的坐标，然后利用三角形面积公式得出的表达式，利用二次函数的表达式即可求解；（3）①当为直角边时，过点和点做垂线交轴于点和点，过点的垂线交轴于点，得出，再利用等腰直角三角形和坐标即可求解；②当为斜边时，设的中点为，以为圆心为直径做圆于轴于点和点，过点作轴，先得出和的值，再求出的值即可求解.【解析】解：（1）一次函数与轴交于点，则的坐标为.抛物线的顶点为，设抛物线解析式为.抛物线经过点，..抛物线解析式为；（2）解法一：连接.点为第一象限抛物线上一动点.点的横坐标为，.一次函数与轴交于点.则，的坐标为，.，，..当时，的值最大，最大值为；解法二：作轴，交于点.的坐标为，.点为第一象限抛物线上一动点.点的横坐标为，，...当时，的值最大，最大值为；解法三：作轴，交于点.一次函数与轴交于点.则，点为第一象限抛物线上一动点.点的横坐标为，.把代入，解得，..当时，的值最大，最大值为；解法四：构造矩形.（或构造梯形）一次函数与轴交于点.则，的坐标为，.点为第一象限抛物线上一动点.点的横坐标为，设点的纵坐标为，，，，，，，..当时，的值最大，最大值为；（3）由（2）易得点的坐标为，①当为直角边时，过点和点做垂线交轴于点和点，过点的垂线交轴于点，如下图所示：由点和点的坐标可知：∴∴∴点的坐标为由题可知：∴∴点的坐标为；②当为斜边时，设的中点为，以为圆心为直径做圆于轴于点和点，过点作轴，如下图所示：由点和点的坐标可得点的坐标是∴，∴∴点的坐标为，点的坐标为根据圆周角定理即可知道∴点和点符合要求∴综上所述点的坐标为、、或.【点评】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数、动点问题等，利用数形结合思想是关键.3．（1）y=x2﹣x-2；（2）M（2，-3）；（3）存在；点E坐标为(,)、(,)、（,)或(,).【分析】（1）根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）作MN∥y轴交BC于点N，可知的面积==2MN=，故当MN最大时，的面积也最大，此时M到线段BC的距离d也最大，据此可解；（3）假设存在，设点E的坐标为（n，-n）．以点A，点B，点P，点E为顶点的平行四边形分两种情况：①以AB为边，根据A、B、E点的坐标表示出P点的坐标，将其代入抛物线线解析式中即可求出n值，从而得出点E的坐标；②以AB为对角线，根据A、B、E点的坐标表示出P点的坐标，将其代入抛物线线解析式中即可求出n值，从而得出点E的坐标．综上即可得出结论．【解析】（1）解：由题意得c=-2，0=a×42-×4-2，解得a=

，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x-2.（2）解：作MN∥y轴交BC于点N，∵的面积==2MN=，∴当MN最大时，的面积也最大，此时M到线段BC的距离d也最大，设直线BC的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴y=x-2，∴MN=x-2-(x2-x-2)=-x2+2x=-(x-2)2+2，∴当x=2时，MN有最大值2，∴M（2，-3）.∴当d取最大值时，M点的坐标是（2，-3）；（3）解：存在，理由如下：设点E的坐标为(n,−n),

以点A,点B,点P,点E为顶点的平行四边形分两种情况，如图，①以线段AB为边，点E在点P的左边时，∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(5+n,−n)，∵点P(5+n,−n)在抛物线y=x2-x-2上，∴−n=(5+n)2−(5+n)−2,解得：n1=,n2=

，此时点E的坐标为(,)或(,)；以线段AB为边，点E在点P的右边时，∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(n−5,−n)，∵点P(n−5,−n)在抛物线y=x2−x−2上，∴−n=(n−5)2−(n−5)−2,即n2−11n+36=0，此时△=(−11)2−4×36=−23<0，∴方程无解；②以线段AB为对角线时，∵A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，∴P(3−n,n)，∵点P(3−n,n)在抛物线y=x2−x−2上，∴n=(3−n)2−(3−n)−2,解得：n3=,n4=

，此时点E的坐标为（,)或(,).综上可知：存在点P、E,使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形,点E坐标为(,)、(,)、（,)或(,).【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定和性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）用面积关系；（3）分AB为边和AB为对角线两种情况考虑．本题属于中档题，（3）有点难度，解决该小问时，分AB为边和AB为对角线两种情况考虑，再根据平行四边形的性质结合三个顶点坐标找出另一顶点坐标是关键．4．（1）；（2）①，；②存在；或【分析】（1）根据B点坐标求出C点坐标，再根据正切定义确定A点坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）①因为P在抛物线上，E在直线AB上，先求出直线AB的表达式，因为PE∥y轴，所以将P和E均用P点横坐标表示，利用两点之间的距离公式表示PE长，用二次函数的最值性质求解；②根据圆周角定理，实际就是满足，设M点坐标，利用两点之间距离公式，求出AM,BM,AB的长，利用勾股定理列方程求解.【解析】（1）解：（1），，，中，，，，，把和代入得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2）①如图，设直线AB的表达式为y=mx+n,，，∴,解得，∴的解析式为：，设，则，当时，，此时②在直线上，且，设，点在以为直径的圆上此时，，

解得，或.【点评】本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，三角函数，两点之间的距离，圆周角定理，勾股定理等，数形结合是解答此的关键.5．（1）y＝﹣x2﹣x+6，y＝2x+6；（2）点P（﹣，）或P（﹣，﹣3）；（3）①a＝﹣3或a＝，②﹣3＜a＜【分析】（1）先根据直线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式，进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标．（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC＝1：3，即3AP＝PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：①当P在线段AC上时，AP+PC＝AC，3AP＝PC，据此可求出AP的长，然后根据∠CAB的三角函数值或通过构建相似三角形可求出P点的坐标．②当P在CA的延长线上时，CP﹣AP＝AC，3AP＝PC，据此可求出AP的长，后面同①．（3）①设直线y＝x+a与抛物线y＝﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧），由Rt△MM′O∽Rt△ON′N，推出，即MM′•NN′＝ON′•OM′，推出﹣xM•xN＝yM•yN，由方程组消去y整理，得：x2+x+a﹣6＝0，再利用根与系数关系，列出方程即可解决问题．②利用①的结果即可判断．【解析】解：（1）当x＝0时，y＝6，∴C（0，6），当y＝0时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，∴，解得：．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6，当y＝0时，整理得x2+x﹣6＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3，∴点B（2，0）．（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵S△ABP：S△BPC＝1：3，∴＝，∴AP：PC＝1：3由勾股定理，得AC＝＝3，当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足，∵PH∥OC，∴＝，∴PH＝，∴＝2x+6，∴x＝﹣，∴点P（﹣，）当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足∵AP：PC＝1：3∴AP：AC＝1：2，∴＝，∴PG＝3，∴﹣3＝2x+6x＝﹣，∴点P（﹣，﹣3）．（3）①存在a的值，使得∠MON＝90°，设直线y＝x+a与抛物线y＝﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧）则为方程组的解分别过点M、N作MM’⊥x轴，NN′⊥x轴，点M、N为垂足．∴M′（xM，0），N′（xN，0），∴OM′＝﹣xMON′＝xN∵∠MON＝90°，∴∠MOM′+∠NON′＝90°，∵∠M′MO+∠MOM′＝90°，∴∠M’MO＝∠NON’∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N，∴，∴MM′•NN′＝ON′•OM′，∴﹣xM•xN＝yM•yN，由方程组消去y整理，得：x2+x+a﹣6＝0．∴xM、xN是方程x2+x+a﹣6＝0的两个根，由根与系数关系得，xM+xN＝﹣，xM•xN＝a﹣6又∵yM•yN＝（xM+a）（xN+a）＝xM•xN+（xM+xN）+a2＝（a﹣6）﹣a+a2∴﹣（a﹣6）＝（a﹣6）﹣a+a2，整理，得2a2+a﹣15＝0解得a1＝﹣3，a2＝，∴存在a值，使得∠MON＝90°，其值为a＝﹣3或a＝．②由①可知，当∠MON＞90°时，a的取值范围为﹣3＜a＜．【点评】本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，函数与方程的关系，勾股定理，钝角三角形三边的关系等知识，综合性较强，难度较大．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．6．（1）（3，2）；（2）（4，2）；（3）当m≥n时，MN有最大值为14；当m＜n时，线段MN的最大值为2．【分析】（1）根据关联点的定义，即可得到答案；（2）根据关联点的定义，可得到Q点坐标，根据点重合，得到方程，解方程即可得到答案；（3）根据关联点的定义，分成两种情况，当m≥n时，与当m＜n时，在每种情况下，求出N的坐标，根据平行于y的直线上的两点的距离，可得到二次函数，然后根据二次函数性质求函数的最大值即可．【解析】（1）∵3＜5，根据关联点定义∴y’=5-3=2故点（3，5）的“关联点”的坐标为（3，2）．（2）P在函数y=x-2的图像上设P点坐标为（x，x-2）∵x＞x-2，根据关联点定义得到Q点（x，2）又因为P、Q重合，所以有2=x-2，得到x=4∴P点坐标为（4，2）．（3）点的“关联点”是，共分两种情况考虑．①当m≥n时，点N的坐标为（m，m-n）∵N在二次函数上∴m-n=2m2，得到n=-2m2+m，∴yM=-2m2+m，yN=2m2∴MN=|yM-yN|=|-4m2+m|当0≤m≤，-4m2+m≥0，MN=-4m2+m=-4（m-）2+∴当m=时，线段MN的最大值为．当＜m≤2时，-4m2+m＜0，∴MN=4m2-m=4（m-）2-，当m=2时，MN有最大值为14∴当m≥n时，MN有最大值为14；②当m＜n时，点N的坐标为（m，n-m）∵N在二次函数上∴n-m=2m2，即n=2m2+m∴yM=2m2+m，yN=2m2∴MN=|yM-yN|=|m|∵∴MN=m当m=2时，线段MN的最大值为2．即当m＜n时，线段MN的最大值为2．∴综上，当m≥n时，MN有最大值为14；当m＜n时，线段MN的最大值为2．【点评】本题属于二次函数综合题型，第一二问相对简单，利用题中定义可直接解出，第三问有一定难度，第三问解题关键在于要对m、n的大小进行分情况讨论．7．（1）；（2），当时，的最大值为8；（3）存在.或或，【分析】（1）抛物线y=ax2+3x+c经过A（-1，0），B（4，0），把A、B两点坐标代入上式，解得：a=-1，c=4，即可求解；（2）如图所示，过点作的垂线，把代入抛物线的解析式，先求出C点坐标，把B，C代入抛物线方程，求出直线的解析式，再根据P点的横坐标为，得到，，PQ，根据三角形面积公式即可求出S；（3）存在．分EC=BE、BC=CE、BC=BE分别求解即可．【解析】解：（1）∵抛物线经过，，把、两点坐标代入上式，解得：，，故：抛物线；（2）∵将代入抛物线的解析式得：，∴，把将，代入抛物线方程，解得：直线的解析式为：.过点作的垂线，如图所示：∵点的横坐标为，∴，.∴.∴.∴当时，的最大值为8；（3）存在.如图所示：当时，在原点，此时点，当时，在点关于轴对称点，此时点，当时，，此时，，即：或或，.【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．(1)-1,5;(2)y＝﹣x2+3x﹣2；(3)2＜p＜10.【分析】（1）1-2=-1，故“坐标差”为-1，y-x=-x2+3x+4-x=-（x-1）2+5，故“特征值”为5；（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“指标差”相等，故点B（-c，0），把点B的坐标代入y=-x2+（1-c）x+c得：0=-（-c）2+b（-c）+c，解得：b=1-c，故：y=-x2+（1-c）x+c，故抛物线的“特征值”为-1，y-x=-x2+（1-c）x+c-x=-x2-cx+c，故=-1，即可求解；（3）“坐标差”为2的一次函数为：y=x+2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：-=1，解得：p=2，对于图2，把点E（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2并解得：m=5或10（舍去10），即可求解．【解析】解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；（2）由题意得：点C（0，c），且点B、C的“坐标差”相等，故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，解得：b＝1﹣c，故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，故抛物线的“特征值”为﹣1，∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，故＝﹣1．∴c＝﹣2，b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：﹣＝1，解得：p＝2，对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：m＝5或10（舍去10），故﹣＝5，解得：p＝10，故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法、二次函数的性质、一次函数、矩形性质等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解．9．(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点Q（﹣1，）；(3)S△PAB有最大值,点P（﹣，）【分析】（1）抛物线经过两点，对称轴为直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为：，即可求解；（2）设点是点关于对称轴的对称点，则，连接交对称轴于点，则点为所求，即可求解；（3）过点作轴的平行线交于点，由，即可求解．【解析】解：（1）抛物线经过两点，对称轴为直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为：，则抛物线的表达式为：，即，解得：，个抛物线的表达式为：；（2）设点是点关于对称轴的对称点，则，连接交对称轴于点，则点为所求，则点的表达式为：，当时，，故点；（3）过点作轴的平行线交于点，直线的表达式为：，设点，则点，则，，有最大值，此时，点，．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，其中（2）用点的对称性求解线段的最值，其中（3）在坐标系中利用三角形面积等于水平宽×铅直高的一半表示是常用方法．10．（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）①DM＝﹣，DM的最大值为；②M的坐标为（）或（，﹣）．【分析】（1）由直线y＝x﹣2得B（4，0）、C（0，﹣2），将B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，列方程组求出b、c即可；（2）①过点DH∥AB，交直线y＝x﹣2于点H．则∠H＝∠OBC，OC＝2，OB＝4，BC＝2，由sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，即＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，所以DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，当m＝2时，DM的最大值为；②分两种情况：当CM⊥DM时，过点M作ME⊥y轴于点E，点D作DF∥y轴，交EM的延长线于点F；当CD⊥DM时，过点D作DE⊥y轴于点E，点M作MF∥y轴，交ED的延长线于点F，分别求出t的值即可．【解析】解（1）由直线y＝x﹣2得B（4，0）、C（0，﹣2），将B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，，解得b＝，c＝﹣2，∴二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2；（2）①过点DH∥AB，交直线y＝x﹣2于点H．∴∠H＝∠OBC，∵B（4，0）、C（0，﹣2），∴OC＝2，OB＝4，BC＝2∴sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，即＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），∴DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，∴DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，当m＝2时，DM的最大值为；②Ⅰ．当CM⊥DM时，过点M作ME⊥y轴于点E，点D作DF∥y轴，交EM的延长线于点F，∵△CDM为等腰直角三角形，易证△EMC≌△FDM，∴EM＝DF，EC＝MF，设M（t，t﹣2），则EM＝t，OE＝﹣t+2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（﹣t+2）＝t，MF＝t，DF＝t，EF＝EM+MF＝t+t＝，OE+DF＝﹣t+2+t＝t+2，∴D（t，﹣t﹣2）将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，，解得t＝0（舍去）或t＝，∴M1（）；Ⅱ．当CD⊥DM时，过点D作DE⊥y轴于点E，点M作MF∥y轴，交ED的延长线于点F，∵△CDM为等腰直角三角形，易证△CED≌△DFM，∴DE＝MF，EC＝DF，设M（t，t﹣2），则EF＝t，CE＝，DE＝t，MF＝t，OC＝t+2∴D（t，﹣t﹣2），将D（t，﹣t﹣2）代入二次函数的解析式y＝x2﹣x﹣2，，解得t＝0（舍去）或t＝，∴M2（，﹣）综上，△CDM为等腰直角三角形，点M的坐标为（）或（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟运用待定系数法求函数解析式、熟练运运用二次函数的性质以及一线三直角构建全等三角形是解题的关键．11．（1）△PQE周长最大值为，的最小值为；（2）能，15°或27.5°或60°或127.5°.【分析】（1）构建二次函数，求出点P坐标，如图2中，作P′M⊥BC于M，E′H⊥AB于H，MH′⊥AB于H′，连接ME′、CP′．四边形MCE′P′是矩形，推出CP′=ME′，因为E′H=AE′，推出CP′+P′E′+AE′=ME′+E′H+P′E′，推出当M，E′，H共线时，CP′+P′E′+AE′的值最小，最小值=MH+P′E′；（2）分四种情形分别画出图形分别求解即可解决问题；【解析】（1），，,P(3,)

PE=,E(,)

△PQE周长最大值为，如图，CP’平移后为C1E’,再关于AC对称后为C2E,则，CP′+P′E′+AE′=CP′+P′E′+E’H1=C1E’+P′E′+E’H1=C2E’+P′E′+E’H1=C2H2+P’E’=（2）15°或27.5°或60°或127.5°如图3中，当MN=MG′时，设OA交G′N于L，∵∠MG′N=75°，∴∠MNG′=∠MG′N=75°，∴∠NLA=75°-30°=45°，∵∠OLG=∠NLA=45°，∠OG′L=45°+75°=120°，∴∠AOG′=180°-120°-45°=15°，∴旋转角为15°．如图4中，当G′M=G′N时，设OA交C′G′于L．∵∠MG′N=75°，∴∠G′MN=（180°-75°）=52.5°，∴∠OLG′=∠ALM=180°-30°-52.5°=97.5°，∴∠AOG′=180°-97.5°-45°=37.5°，∴旋转角为37.5°．如图5中，当NG′=NM时，设OA交G′C′于L．∵∠NG′M=∠NMG′=75°，∴∠MNG′=∠CAO=30°，∴AL∥NG′，∴∠ALM=∠NG′M=75°，∴∠OLG′=∠ALN=75°，∴∠AOG′=180°-75°-45°=60°，∴旋转角为60°．如图6中，当G′M=G′N时，∵∠MG′N=180°-75°=105°，∴∠NMG′=（180°-105°）=37.5°，∴∠AOC′=360°-150°-135°-37.5°=37.5°，∴∠AOG′=90°+37.5°=127.5°∴旋转角为127.5°．综上所述，满足条件的旋转角为15°或27.5°或60°或127.5°．【点评】属于二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数关系式，二次函数的图象与性质等，难度比较大，注意分类讨论思想在数学中的应用.12．（1）y＝x2﹣x﹣12；（2）m的值为﹣或0．（3）点D坐标为（，﹣11）时，线段EF长度的最大值为．【分析】（1）已知抛物线过点A、B，用待定系数法即可求其解析式．（2）把二次函数配方求得顶点为（1，﹣），当x＝1时，二次函数有最小值y＝﹣．而在m≤x≤m+5范围，函数值y对应的最小值也为﹣，故x＝1在m≤x≤m+5的范围内，即m≤1≤m+5，解得﹣4≤m≤1．因为不确定x＝m还是x＝m+5时取得相应的最大值，故需分类讨论．若x＝m离对称轴较远，则x＝m时取得最大值﹣m，代入计算即求得m的值；若x＝m+5离对称轴距离较远，则x＝m+5时取得最大值，代入计算即求得m的值．（3）由DE∥y轴可得∠DEF＝∠BCO，点D与点E横坐标相同．设点D横坐标为d，用d表示点D纵坐标．求出直线BC解析式后，即能用d表示点E坐标，进而能用d表示DE的长度．由于DF⊥BC于E，所以cos∠DEF＝．在Rt△BOC中易求cos∠BCO的值，由∠DEF＝∠BCO得cos∠DEF＝cos∠BCO，能用含d的二次式表示EF，配方即求得EF的最大值．【解析】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣12的图象过点A（﹣3，0），B（5，0）∴

解得：,∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣12（2）∵y＝x2﹣x﹣12＝（x﹣1）2﹣∴当x＝1时，二次函数有最小值y＝﹣∵当m≤x≤m+5时，对应的函数值y满足﹣≤y≤m∴对称轴：x＝1在m≤x≤m+5的范围内，即m≤1≤m+5解得：﹣4≤m≤1取点（m，0）与点（m+5，0）的中点M（m+）①当m+≤1时，即﹣4≤m≤﹣，点M在对称轴左侧∴x＝m到对称轴的距离比x＝m+5到对称轴的距离远∴x＝m时，y取得最大值∴m2﹣m﹣12＝﹣m解得：m1＝（舍去），m2＝﹣②当m+＞1时，即﹣＜m≤1，点M在对称轴右侧∴x＝m+5到对称轴的距离比x＝m到对称轴的距离远∴x＝m+5时，y取得最大值∴（m+5）2﹣（m+5）﹣12＝﹣m解得：m1＝﹣10（舍去），m2＝0综上所述，m的值为﹣或0．（3）∵当x＝0时，y＝x2﹣x﹣12＝﹣12∴C（0，﹣12）∵B（5，0），∠BOC＝90°∴直线BC：y＝x﹣12，BC＝∴Rt△BOC中，cos∠BCO＝∵DE∥y轴∴∠DEF＝∠BCO，xE＝xD设D（d，d2﹣d﹣12）（0＜d＜5），则E（d，d﹣12）∴DE＝d﹣12﹣（d2﹣d﹣12）＝﹣d2+4d＝﹣（d﹣）2+5∵DF⊥BC∴∠DFE＝90°∴cos∠DEF＝＝cos∠BCO＝∴EF＝DE＝﹣（d﹣）2+∴当d＝时，EF最大值为此时，yD＝×（）2﹣×﹣12＝﹣11∴点D坐标为（，﹣11）时，线段EF长度的最大值为．【点评】考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最大值，解一元二次方程，三角函数的应用．第（2）题在指定范围内求函数最值，一般以对称轴为分界、结合想取值范围的两个端点与对称轴的距离作分类讨论．13．(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)或或或．【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【解析】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：…①；(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，，∵，故有最大值，当时，其最大值为；(3)∵，∴，∵，故与相似时，分为两种情况：①当时，，，，过点A作AH⊥BC与点H，，解得：，∴CH＝则，则直线OQ的表达式为：…②，联立①②并解得：，故点或；②时，，则直线OQ的表达式为：…③，联立①③并解得：，故点或；综上，点或或或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．14．（1）抛物线的表达式为：y=x2-4x+3；D（2，-1）；（2）点E的坐标为（2+，2）或（2-，2）或（2+，4）或（2-，4）；（3）MN的最大值为．【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；（2）分当CD为平行四边形的对角线、平行四边形的一条边，两种情况求解即可；（3）则新抛物线的表达式为：y=-（x-2）2+5=-x2+4x+1．设点E的坐标为（x，-x2+4x+1），则点F（x，-x-1），所以EF=-x2+4x+1-（-x-1）=-x2+x+2．设直线y=-x-1与x轴交于点Q．通过锐角三角函数定义得到MN=EF•cos∠QFG=（-x2+x+2），利用配方法求得该函数值的最大值．【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），∴．解得．抛物线的表达式为：y=x2-4x+3；（2）如图1，当CD为平行四边形的对角线时，设点E的坐标为（x，x2-4x+3），则CD中点的坐标为（1，1），该点也为EF的中点．即：x2-4x+3=2×1，解得：x=2±，E的坐标为（2+，2）或（2-，2）；如图2，当CD为平行四边形的一条边时，设点F坐标为（m，0），点D向左平移2个单位、向上平移4个单位，得到点C，同样点F向左平移2个单位、向上平移4个单位，得到点E（m-2，4），将点E坐标代入二次函数表达式并解得：m=4±，则点E（2+，4）或（2-，4）；故点E的坐标为（2+，2）或（2-，2）或（2+，4）或（2-，4）；（3）抛物线沿着过点（0，2）且垂直与y轴的直线翻折后，顶点坐标为（2，5），则新抛物线的表达式为：y=-（x-2）2+5=-x2+4x+1．设点E的坐标为（x，-x2+4x+1），则点F（x，-x-1），EF=-x2+4x+1-（-x-1）=-x2+x+2．设直线y=-x-1与x轴交于点Q．MN=EF•cos∠QFG=（-x2+x+2）=-（x-）2+．由二次函数性质可知，MN的最大值为．【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，二次函数图象与几何变换，点的坐标与图形性质等知识点，其中（3）题，利用配方法求得函数的最值．15．(1)y=-x-3；(2)①PD=；②M(0，2)；(3)满足条件的点O'的坐标为(，)或(，)或(3，-9)或(-，)或(，).【分析】(1)分别求出抛物线y=-x2-x-3与x轴、y轴的交点坐标，然后分别把A(-6，0)，C(0，-3)代入直线AC的解析式为y=kx+b中，解二元一次方程组即可.(2)①由于AC=3为定值，根据三角形的面积公式，可知当△PAC的面积最大时，PD最大时，利用三角形的面积公式求出的关系式，利用二次函数的性质求出△PAC的面积最大值为，利用S△PAC=AC×PD，即可求出PD的长.②利用勾股定理可求出CN=，利用sin∠OCN=，可求出MK=，从而可得点Q在整个运动过程中的时间等于PK的长，过点P作PE⊥y轴于点E，根据垂线段最短可知与y轴交点即为M，sin∠OCN=sin∠EPM=，从而求出OM=2，即得M的坐标.(3)①如图③、图④利用菱形的四条边相等，可得AC=AO'=3，根据点O'在直线y=-3x上，设O'(m，-3m)，利用勾股定理建立等式，解出m即可.②如图⑤、图⑥，同①可得.③如图⑦，同①可得.【解析】(1)解：对于抛物线y=-x2-x-3，令x=0，得到y=-3，∴C(0，-3)，令y=0，得到x2+7x+6=0，解得x=-6或x=-1，∴A(-6，0)，B(-1，0)，设直线AC的解析式为y=kx+b，则有，∴直线AC的解析式为y=-x-3.(2)解：①如图①，设P(m，-m2-m-3)，连接PA、PC，作PK∥y轴交AC于点K，则K(m，-m-3)，∵PD⊥AC，AC=3为定值，∴PD最大时，△PAC的面积最大，∵S△PAC=×(-m2-3m)×6=-(m+3)2+，∴m=-3时，△PAC的面积最大，最大值为，此时P(-3，3)，×AC×PD=，∴PD=.②如图②，在x轴上取一点N(1，0)，作直线CN，过点P作PK⊥CN于点K，交y轴于点M.∵OC=3，ON=1，∴CN=，∴sin∠OCN=，∴MK=，∴.点Q在整个运动过程中的时间==PM+MK=PK，根据垂线段最短可知，点M即为所求的点，过点P作PE⊥y轴于点E，，∴EM=1，∴OM=2，∴M(0，2)(3)解：①如图③、图④，

当四边形ACSO'是菱形时，设AS交CO'于点K，AC=AO'=3，∵点O'在直线y=-3x上，A(-6，0)，设O'(m，-3m)，∴(m+6)2+(-3m)2=(3)2，解得m=，∴O'(，)或(，)；②如图⑤、图⑥，当四边形ACO'S是菱形时，设CS交AO'于点K，AC=CO'=3，∵点O'在直线y=-3x上，C(0，-3)，设O'(m，-3m)，∴m2+(-3m+3)2=(3)2，解得m=3或m=-，∴O'(3，-9)或(-，).③如图⑦，当四边形ASCO'是菱形时，设AC交SO'于点K，AC=3.∵点O'在直线y=-3x上，C(0，-3)，设O'(m，-3m)，∴m2+(-3m+3)2=()2+(m+3)2+(-3m+)，解得m=，∴O'(，)．综上所述，满足条件的点O'的坐标为(，)或(，)或(3，-9)或(-，)或(，).【点评】此题考查二次函数的实际应用-动态几何问题，解题关键在于把已知点代入解析式16．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）①S四边形AMBN最大值为；②P的坐标：P1，P2（﹣15，0）．【分析】（1）先求出B的坐标，再将A、B、C坐标代入y＝ax2+bx+c列方程组，然后求解，即可求出抛物线的解析式；（2）①根据S四边形AMBN＝AB•MN＝＝﹣2（x+）2+，所以当x＝﹣时，S四边形AMBN最大值为；②先联立方程组．求出D点的坐标，两种情况讨论：Ⅰ．当点P在点A的右边，∠PCA＝∠ADB时，△PAC∽△ABD；Ⅱ．当点P在点A的左边，∠PCA＝∠ADB时，记此时的点P为P2，则有∠P2CA＝∠P1CA．【解析】（1）∵y＝﹣x+1，∴B（1，0），将A（﹣3，0）、C（0，﹣3），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c，，∴∴抛物线L的解析式：y＝x2+2x﹣3；（2）设P（x，0）．