中考数学精创专题-压轴题突破-二次函数与菱形综合

试卷第=page11页，共=sectionpages99页试卷第=page88页，共=sectionpages99页中考数学压轴题突破——二次函数与菱形综合1．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．

(1)求抛物线的解析式；(2)当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．2．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线经过点和．

(1)则点的坐标分别为________、________、________；(2)点是抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，连接．①如图1，若动点在直线上方运动时，过点作于点，试求的周长的最大值．②如图2，当点在抛物线上运动时，将沿直线翻折，点的对应点为点，若以、、、为顶点的四边形能成为菱形，求点的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点．

(1)求这个二次函数的解析式；(2)已知点D是直线上方的抛物线上一动点．①当点D运动到什么位置时，四边形的面积最大？求此时D点的坐标和四边形的最大面积；②连接，并把沿CO翻折，得到四边形，那么是否存在点D，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为D，点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线交y轴于点C，过点P作交x轴于点F，轴，交直线于点E，交直线于点M．

(1)直接写出点A，B，D的坐标；(2)当时，求m的值；(3)试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点C在点O的右侧，抛物线的图像经过O，A，B三点，，，若点D以每秒2个单位的速度从点O出发沿边向点A运动，同时点E以每秒3个单位的速度从点O出发沿边向点C运动，点F在上，，设运动时间为t．(1)求抛物线解析式；(2)设和的面积和为是S，当t为何值时，S最小，并求出S的最小值；(3)若点P在抛物线上，当t＝l时，在平面内是否存在点Q，使得以为边，点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的负半轴上，点在第二象限，点在第一象限，对角线交轴于点，线段交轴于点，抛物线经过点，，，已知点的横坐标为，点是直线上的一点不与点，重合．(1)求点，，的坐标和直线的函数表达式；(2)当点在线段上时，连接，，若与面积相等，求点的坐标；(3)过点作轴的平行线，交抛物线于，两点点在点的左侧，如图，直线上是否存在这样的点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为．点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为，直线交轴于点，过点作交轴于点，轴，交直线于点，交直线于点．(1)直接写出点，，的坐标；(2)当时，求的值；(3)试探究点在运动过程中，是否存在，使四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．综合与探究如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点A，连接．(1)求抛物线的解析式以及点A的坐标；(2)若点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作交直线于点Q，求线段的最大值；(3)若点M在直线上运动，在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，连接，作直线．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，点是线段上的任意一点，过点E作垂直于x轴交抛物线于点G．连接，当时，求点G的坐标；(3)若点P是直线下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，点M在线段上，当以为顶点的四边形是菱形时，求菱形的边长．10．如图，抛物线经过坐标原点O及点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，点Q是直线上不与A、B重合的点，若，请求出点Q的坐标；(3)是否存在x轴上一动点H和平面内相应点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点H和相应点N的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线轴于点D．交于点E．过点P作的平行线，交y轴于点M．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；(2)在点P的运动过程中，求使四边形为菱形时，m的值；(3)点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且，若点D是直线（不与B，C重合）上一动点，过点D作x轴的垂线交抛物线于点E．(1)求抛物线的解析式．(2)连接，，当点D的横坐标为时，求证：．(3)如图（2），若点F是y轴上的动点，是否存在点F，使以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C，连接，D为抛物线的顶点．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线下方抛物线上的一动点，过P作于点E，过P作轴于点F，交直线于点G，求的最大值，以及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是直线下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)连接，并把沿所在直线翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形的面积．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线交轴于点，是直线上方且在对称轴右侧的一个动点，过作，垂足为，为点关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当的最大值时，求此时点的坐标和的最大值；(3)将抛物线关于直线作对称后得新抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点，是新抛物线对称轴上一点，是平面中任意一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点为D，且．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段上存在一点M，过点O作交的延长线于H，且，求点M的坐标；(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，抛物线与x轴相交于点A、B（点B在点A左侧），与y轴相交于点．已知点A坐标为，面积为6．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作直线的垂线，垂足为点E，过点P作轴交于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标：(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．综合与探究如图，抛物线经过点，两点，与y轴交于点C，且，点D是抛物线上第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为m．连接．(1)求抛物线的函数表达式；(2)过点D作与y轴的平行线的直线l，与交于点E，当是以为底边的等腰三角形时，求点D的坐标．(3)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page5353页，共=sectionpages5454页答案第=page5454页，共=sectionpages5454页参考答案：1．(1)(2)，周长(3)，，，，【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）因为为定值，所以当最小时，的周长最小，如图1，连接交对称轴于点P，由轴对称性质可知，此点P即为所求，再利用勾股定理求出、，即可得出答案；（3）设，则，，，分三种情况进行讨论①当以为对角线时，则，建立方程求解即可，②以为对角线时，则，建立方程求解即可，③当以为对角线时，则，建立方程求解即可．【解析】（1）∵抛物线交x轴于两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为；（2）在中，令，得，∴，∵的周长为：是定值，∴当最小时，的周长最小．如图1，点A、B关于对称轴l对称，连接交l于点P，则点P为所求的点．

∵，∴周长的最小值是，∵，∴．∴△PBC周长的最小值是：．抛物线对称轴为直线，设直线的解析式为，将代入，得：，解得：，∴直线的解析式为，∴当时，∴；（3）存在．设∵，则，，，，，∵四边形是菱形，∴分三种情况：以为对角线或以为对角线或以为对角线，①当以为对角线时，则，如图2，

∴，解得：，∴，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与的中点重合，当时，∴，解得：，∴，当时，∴，解得：，∴，②以为对角线时，则，如图3，

∴，解得：，∴，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与中点重合，∴，解得：，∴，③当以为对角线时，则，如图4，

∴，解得：，∴，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，即与的中点重合，∴，解得：，∴，，综上所述，符合条件的点Q的坐标为：，，，，．【点评】本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图像与性质、待定系数法、图形面积计算、轴对称-最短路线，菱形性质，点和线段的平移等知识点，熟练掌握二次函数图像和性质，轴对称性质等相关知识是解题关键．2．(1)，，(2)①；②或，【分析】（1）根据抛物线解析式，求出抛物线与轴和轴的交点坐标，即可得到答案；（2）①设，的周长为，则，，证明，得到，再利用勾股定理，求得，得到的周长为，进而得出，然后利用二次函数的性质，即可得到答案；②根据菱形的性质可知，，且，即点落在轴上．过点作轴于点，设，则、，得到，，再利用勾股定理得到，然后利用列等式求解的值，即可求出点的坐标．【解析】（1）解：抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，令，则，解得：，，令，则，、，，故答案为：、、；（2）解：①设，的周长为，则，，轴，，，，，，由题意可知，、，，的周长为，，，当时，，即的周长的最大值为；②将沿直线翻折后，以、、、为顶点的四边形能成为菱形，，且，点落在轴上，如图2，过点作轴于点，

设，则、，，，在中，，，或，解方程①得：或（不符合题意，舍去），解方程②得：或（不符合题意，舍去）．当时，，当时，．故以、、、为顶点的四边形能成为菱形的点的坐标为或．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握利用解析式表示出线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程式解题关键．3．(1)二次函数的解析式为；(2)①点D的坐标为时，四边形的最大面积值为；②点D的坐标为．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）①根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得D点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标．【解析】（1）解：将点，代入函数解析式，得，解得，∴二次函数的解析式为；（2）解：①如图，过点D作轴于点F，交于点Q，

D在抛物线上，设，设直线的解析式为，将点和点的坐标代入函数解析式，得，解得．直线的解析为，设点Q的坐标为，．当时，，解得，，，，当时，四边形的面积最大．当时，，即D点的坐标为．当点D的坐标为时，四边形的最大面积值为；②若四边形为菱形，则点D在线段的垂直平分线上，如图，连接，则，垂足为E，

∵，∴，∴点D的纵坐标为，当时，即，解得，（不合题意，舍），∴点D的坐标为．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）①的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质；（2）②的关键是利用菱形的性质得出D点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系．4．(1)，，(2)或(3)存在，点P的坐标为或(【分析】（1）根据抛物线的解析式即可求解；（2）分两种情况，过点D作轴于点N，交于点G，根据轴，利用平行线分线段成比例定理，当时，可求得的长，解方程即可得到结论；（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，利用，分别求解即可．【解析】（1）解：当时，，解得，，∵点A在点B的左侧，，，；（2）解：①当点P在x轴上方时，作轴，交x轴于点N，交于点G，如图所示，

，，轴，，，，，，，解得，，∵点P在抛物线对称轴的右侧；②当点P在x轴下方时，作轴，交x轴于点N，交于点G，如图所示，

，，轴，，，解得，，∵点P在抛物线对称轴的右侧，综上所述，m的值为或；（3）解：存在，理由如下：设直线的函数表达式为，∵直线过点，，解得：，当点P在轴上方时，设点，则点E的坐标为，把点E的坐标代入的表达式得：解得：，，由直线的表达式知：，，，∵四边形是菱形，则，，解得（舍去）或，∴点P的坐标为，当点P在轴下方时，同理可得，点P的坐标为，综上，点P的坐标为或．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，求一次函数解析式等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．5．(1)(2)，(3)存在，，【分析】（1）根据菱形的性质以及含角的直角三角形的性质求出点A，B，利用待定系数法即可求解；（2）过点D作于点M，于点N，证明，根据相似三角形的性质得出的面积，根据二次函数的性质即可得S的最小值；（3）根据矩形得到，，，,过点E作，过点D作，作于H，延长交于K，先证，得到，求出，解析式，根据平移即可得到答案；【解析】（1）解：过点A作轴于点G，∴，∵，，∴在中，，∴，∴，又菱形，∴，，∴，由抛物线过原点，设抛物线解析式为．由题意得解得，，∴抛物线的解析式为；（2）解：由题意得，，过点D作于点M，于点N，∵菱形，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，，解得，在中，，在中，，，∵，开口向上，，∴当，，；（3）当时，在平面内存在点Q，使得以为边，以点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，此时，，，，,如图，过点E作，过点D作，作于H，延长交于K，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得，∴，∴，∴．由题得解得或，∴点P的横坐标为或6，∴，，，∴将点P先向左平移2个单位，再向上平移个单位，得点Q，∴点Q的横坐标为-4或4．由题意得，解得或，∴点P的横坐标为或，将点P先向右平移2个单位，再向下平移个单位，得点Q，∴点Q的横坐标为或，综上，满足题意的矩形有，，，，点Q的横坐标分别为，4，，．；【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质，两直线平行问题，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．6．(1)，，，(2)(3)点的坐标为或【分析】（1）分别令，，求得的坐标，待定系数法求得的解析式，进而求得点的坐标；（2）根据菱形的性质，与面积相等，得出点到的距离与点到的距离相等为，进而将代入的解析式，得出的坐标，即可求解．（3）根据平行四边形的性质得出，设，则，将代入得，点的横坐标，进而根据，建立方程，即可求解．【解析】（1）解：令，则，解得，∴，将代入得，，，设直线的解析式为，将，代入得，，∴，∴直线的解析式为，当时，，∴；（2）∵四边形是菱形，∴，∵，∴点到的距离与点到的距离相等为∴，将代入得，，∴；（3）存在这样的点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：轴，，四边形是菱形，∴，∴，即，要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则，设，则，将代入得，，解得，∴点的横坐标为，∴，∵，∴，即，解得当时，，当时，，∴点P的坐标为或．【点评】本题考查了二次函数综合，面积问题，菱形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．(1)．，(2)或；(3)点P的坐标为或．【分析】（1）令，可得，再解方程可得A，B的坐标，再把抛物线化为顶点式可得D的坐标；（2）过点D作轴于点Q，交于点N．设，由轴，可得，根据，列出比例式，解方程求解，根据点P在抛物线对称轴的右侧，对的值进行取舍．（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，根据，表示出，根据点E的坐标为表示出，利用，分别求解即可．【解析】（1）解：，当时，，解得，．∵点A在点B的左侧，∴．，∵，即，∴，（2）如图，过点D作轴于点Q，交于点N．∵点P的横坐标为m，∴，∵，∴，，∵轴，∴，当时，，∴，即，当时，，∵点P在抛物线对称轴的右侧，∴；当时，，∵点P在抛物线对称轴的右侧，∴，综上所述，或；（3）存在，理由：设直线的函数表达式为，∵直线过点，，则，解得，∴，当点P在x轴上方时，设点，则点E的坐标为，把点E的坐标代入的表达式得：，解得，故点E的坐标为，则，，，，则，则，∵四边形是菱形，则，即，解得（舍去）或，故点P的坐标为；当点P在x轴下方时，，∴，解得（舍）或，代入得点坐标为，综上，点P的坐标为或．【点评】本题考查了二次函数的综合问题，求一次函数解析式，平行线分线段成比例，解直角三角形，菱形的性质与判定，综合运用以上知识，并分类讨论是解题的关键．8．(1)抛物线的解析式为，；(2)的最大值为；(3)点N的坐标为或或或．【分析】（1）先求得，再利用待定系数法即可求解；（2）过A作交y轴于点F，过点P作轴于点E，交于点D，证明，得到，当取得最大值时，也取得最大值；设，得到，利用二次函数的性质即可求解；（3）分四种情况讨论求解即可．【解析】（1）解：在中，令，则，令，则，解得，∴，把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为，令，则，解得或，∴；（2）解：过A作交y轴于点F，过点P作轴于点E，交于点D，∵，∴，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，令，则，∴，∴，∵，，∴，∵，

∴，∵，∴，∴，∴，

∴，当取得最大值时，也取得最大值；设，则，则，∵，∴当时，有最大值为2，∴的最大值为；（3）解：当点N在第二象限时，作轴于点G，∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；同理，当点N在第四象限时，；当点N在第一象限时，作轴于点Ｈ，同理可得，∴，，∴，当是对角线时，设，由菱形的性质知，则，解得，则，∴，

同理，，∴，综上，点N的坐标为或或或．【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，两直线平行时k值相等是解题的关键．9．(1)(2)，详见解析(3)或2，详见解析【分析】（1）先三点的坐标代入解析式即可得解；（2）过点D作轴，交于点H，先求得点D的坐标，则可得到的长，然后证明，可得到点H的坐标，再求得的解析式，最后求得与抛物线的交点坐标即可；（3）当点Q在点C的上方时，由菱形的对角线平分每一组对角可得到，则轴，可求得点P的坐标，故此可得到菱形的边长；当点Q在点C的下方时，过点P作轴，垂足为E．设菱形的边长为a，可求得点P的坐标为，将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．【解析】（1）将代入抛物线的解析式得：解得∴抛物线表达式为（2）如图1所示：过点D作轴，交于点H．∵轴，∴点D的纵坐标为．将代入抛物线的解析式得：解得：或，∴．∴．∵，∴，∴即，解得∴设的解析式为，将点H的坐标代入得：，解得，∴直线的解析式为将代入得：解得：或，将代入得：∴，（3）当点Q在点C的上方时∵，∴∵为菱形，∴∴轴．由(2)可知点P的坐标为．∴菱形的边长为2．如图3所示：当点Q在点C的下方时．过点P作轴，垂足为E．设菱形的边长为a，则∵，∴∴P的坐标为（．将点P的坐标代入抛物线的解析式得：解得：综上所述菱形的边长为2或．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、锐角三角函数的定义，菱形的性质．分类讨论是解答本题的关键．10．(1)；(2)或；(3)存在，，或，或，或，．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）先计算出，再求出解析式，设出点坐标，根据三角形面积公式即可求解；（3）分类讨论，分别当、、为对角线时，画出图形即可求解．【解析】（1）把，、代入，得：，解得，抛物线的解析式为；（2）、，，，设直线的表达式为，将点、代入得：，解得，的表达式为．设点的坐标为，，解得或，当时，，当时，．点的坐标为或；（3）存在一点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：①当为菱形的对角线时，如图所示，由（2）可知，，，，菱形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，②如图所示，当为菱形对角线时，、关于轴对称，点坐标为，点坐标为；③当为对角线时，如图所示，，，点的坐标为，点坐标为，或点的坐标为，点坐标为，．综上所示，点、H的坐标为：，或，或，或，．【点评】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数表达式，自变量取值范围内的函数值，三角形面积，菱形等知识，解题的关键是添加辅助线，构造出相应图形解决问题．11．(1)，，；(2)(3)，【分析】（1）分别令，，可求出点，，，再利用待定系数法解答，即可求解；（2）作于点，根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，可得到，再由点，可得，，，然后根据菱形的性质，可得到关于m的方程，即可求解；（3）由（2）得：点，，可得，再求出直线的解析式为，过点E作交直线于点Q，可得，此时点使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；过点E作于点Q，过点Q作轴于点S，可得，是等腰直角三角形，∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形，即可．【解析】（1）解：在中，令，可得，解得，．令，得：，∴，，．设直线的函数表达式为，把，代入得：，解得：，直线的函数表达式为；（2）解：如图，作于点，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵点，∴点，∴．∴，∴．∵四边形为菱形，∴．∴，解得或0（舍去）；（3）解：存在，由（2）得：点，，∴，根据题意可设直线的解析式为，把点代入，得：，解得：，∴直线的解析式为，当时，，解得：，如图，过点E作交直线于点Q，∴点，∴，∴，此时点使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；如图，过点E作于点Q，过点Q作轴于点S，由（2）得：，∵，∴，∴，是等腰直角三角形，∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；∴，∴点，对于，当时，，此时点，综上所述，存在点或，使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形．【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求一次函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．12．(1)(2)证明见解析(3)或或【分析】（1）先求出，再利用待定系数法求解即可；（2）求出直线的解析式为，进而求出，则，，即可得到，再证明，进而证明，即可得到；（3）设，则，则，，，再分当为边时，则，当为对角线时，则，两种情况建立对应的方程求解即可．【解析】（1）解：∵，∴，把代入抛物线解析式中得：，解得，∴抛物线解析式为；（2）证明：设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，在中，当时，，在中，时，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：设，则，∴，，，当为边时，则，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴点D的坐标为或；当为对角线时，则，∴∴，∴，解得或（舍去），∴点D的坐标为；综上所述，点D的坐标为或或．【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．13．(1)(2)的最大值为，此时点的坐标为(3)或或，见解析【分析】（1）根据抛物线与x轴交于点两点，即知抛物线的表达式为，即；（2）证明，根据相似三角形的性质得出，设出P点的坐标，利用二次函数的性质求最值即可；（3）先根据平移规律求出平移后的抛物线的解析式，以及点M，N的坐标，然后设出点Q的坐标，根据菱形的性质求出Q的坐标，即可得点R的坐标．【解析】（1）∵抛物线与x轴交于，，∴抛物线的解析式为，即；（2），令，则，设直线的解析式为：，把，代入，得：，解得，，∴直线的解析式为：；轴，轴，，，，，，设，则，，∴当时，的最大值为2，的最大值为，此时点的坐标为；（3）∵将抛物线沿射线方向平移，，，设抛物线向上平移个单位，向右平移个单位，∴新抛物线的解析式为，∵平移后的图象经过点，，解得，或（不符合题意，舍去）∴新抛物线的解析式为,∴点，点的坐标为，设，，，，①当时，，解得，或（舍去）此时，、为对角线，，；②当时，，解得，，此时，、为对角线，，，③当时，，解得，或（舍去）此时，、为对角线，，，综上所述，点的坐标为或或【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质三角形面积，平移的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键14．(1)(2)存在；(3)；【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）存在点P，使四边形为菱形．设点P的坐标为，连接交于点E，根据菱形的性质可得，即，代入二次函数解析式求解即可；（3）过点P作y轴的平行线交于点Q，交于点F，设，求出直线的解析式，设，则Q点的坐标为，根据列出阿含糊解析式求解即可．【解析】（1）解：将B、C两点的坐标代入得，解得，∴二次函数的表达式为．（2）存在点P，使四边形为菱形．如图，设点P的坐标为，连接交于点E，若四边形是菱形，则有，则于点E，∴，∴，∴，解得，（不合题意，舍去），∴P点的坐标为．（3）如图，过点P作y轴的平行线交于点Q，交于点F，解，得，，∴点，∵，∴设直线的解析式为，把代入，得，∴，∴直线的解析式为，设，则Q点的坐标为．则，当时，四边形的面积最大，此时P点坐标为，四边形的面积的最大值为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，折叠的性质，菱形的性质，以及函数与图形的面积，数形结合是解答本题的关键．15．(1)(2)的最大值为1，此时点的坐标为(3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，此时点的坐标为或或或或【分析】（1）利用待定系数法，将，代入，即可求得答案；（2）先求得的函数表达式，过点作轴交于点，设点，则，利用，求得，再根据、关于对称轴对称求得，进而求得，再将二次函数化为顶点式，即可求解；（3）先求得点的坐标及新抛物线的对称轴，设，以，，，为顶点的四边形是菱形，则需要为等腰三角形，分三种情况：，，，根据题意列出方程求解即可．【解析】（1）解：抛物线经过，，，解得：，该抛物线的函数表达式为：；（2）解：设直线的函数表达式为，将，代入，得，解得：，直线的函数表达式为，令，得，解得：，，抛物线的对称轴为直线，过点作轴交于点，设点，则，，，，，轴，轴，，，，，，，为点关于抛物线的对称轴的对应点，，，当时，的最大值为1，此时点的坐标为；（3）解：存在，原抛物线的对称轴为直线，将抛物线关于直线作对称后，对称轴向右平移了，新抛物线的对称轴为直线，当时，，，设，若以，，，为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形即可，分以下三种情况：①当时，，，，解得：或，或，以，，，为顶点的四边形是菱形，或；②，，，，解得：或，或，以，，，为顶点的四边形是菱形，或；③，，，，解得：，，以，，，为顶点的四边形是菱形，，综上，存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，此时点的坐标为或或或或．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，用待定系数法求函数关系式，勾股定理，菱形的判定与性质，解题的关键是准确的画出图形和所需的辅助线，此题综合性强，计算繁琐，难度较大，属于考试压轴题．16．(1)(2)(3)或或【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出解析式即可；（2）先根据点C的坐标求出直线的解析式，即可表示点M的坐标，作轴，作轴，证明，可得，然后表示出点H，最后将点H代入直线解析式，求出答案即可；（3）分为菱形的边和对角线，两种情况讨论求解即