高数课件一正项级数及其审敛法

设un和vn均为正项级数 且un£vn(n12L),若vn收敛,则un 反之，若un发散，则vn

证明 设s=

Qun£vn且snu1u2+Lun£v1v2+Lvn£¥ \un收敛¥ =vk,s =uk= k=

un£vn

要证若un发散，则vn发散 设snfi¥(nfi¥ 且un£vn则sn¥

fi \vn发散 ’n 若vn发散且当nN时有unkvn(k0则un 1讨论P1+

+1+

L1L的收敛性.p2 3 4 设p£

npQ11 则P级数发散np设p>1,由图可知 =

y=1(py=1(p>xo1234n =1+1+1+L+2 3

n n-1x2 3

£1+

xp+2x

+L

n-1x =1+1+1+L+

£1

2

+3dx+L

=1+1-x=1+1-x1- x==1+p-1

x

2x

n-1x=1x=1xn1)<1+p- 则P-级数收敛.(p> ¥

£

np ‡ 则级数un收敛；若n

n，则级数unP

证明

> n1 ( ¥11n+n n+n

n+

=¥

发散 un

vn都是正项级数

nfi¥v

=l则(10l¥时二级数有相同的敛散性 当l=0时，若vn收敛则u n=

n=l

时若vn则un发散 证明(1)由lim =nnfi¥n

l0,$N当nN时2

l-<n<l

即vnun

vn (n>N

如果 unfi¥v

l¥¥

u¥l0¥

n=

nn

收敛l

时

vn

则

un发散由lim =

nfi¥

对于e> $N,当n>N时 ¥

即un<vn (n>N¥若vn收敛，则un 由lim =¥lim = 对于e>nfi¥ nfi¥$N当nN时

-e<

vn

(n>N若vn发散，则un

¥¥如果limnunl

(或lim

=¥),

lim =nfi¥¥

nfi

nfi¥n如果有p>1,使得limnpu存在 ¥则级数¥

nfi

nfi¥np3

sin

n

3n-n解

Qlimnsinnfi 1

=nfi

n1n

(2)Qlim3n-n=

=nfi ¥¥

nfi

1-Q

3nu是正项级数,如果 设

nfi¥

r(r数或¥则r1时级数收敛;r1时级数发散;r1证明当r为有限数时 对"e> $N,当n>N时有即

-r<

(n>N对"e> $N,当n>N时,r-e<un+1<r+ 取e<1- 使r=e+r<

(n>NuN

<

N

uN+3<ruN+2<

N LuN

<rm-

而级数¥¥

rm-

\uN+m=uu收敛 当r时,取er-1,使rre当nN时,un+1runun

limun nfi un设

+=r(r数或+¥

nfi¥则r1时级数收敛;r1时级数发散;r1¥

本质是与级数ln 比较n=11.当r1¥1¥¥1¥n=1

nfi

n+1=12n2

n=1

发散

¥2¥2¥n=1¥

lim(n+

级数1收敛,nfi

n=1

un设

+=r(r数或+¥

nfi¥则r1时级数收敛;r1时级数发散;r1

¥2+(-2例Qun 2

£

=vn

=n

收敛但

=an,lim

=1,lim =3n n

nfi

nfi

\lim nfi¥ nfi

不存在nn4判别下列级数的收敛性

¥ (2)¥

n

.n=1

n=11

n=1(2n-1)解(1)Q =(n+1)!=

fi <1(nfi¥¥ ¥

n+

收敛(2)Q

(n+1)!n

=n+

fi¥>1(nfi¥

10¥¥

例 (1

n=1n

¥n=¥

n!10

.n=1(2n-1) 2(3)Qlim =

(2n-1)

=nfi

(2nn

(2n-1)

Q

¥2n=1¥2

收敛

¥¥

2n(2n-

收敛¥n设n

=为数或¥)则r1 例如,

nnnn

1fi0nfi¥ n1n1 级数un ¥级数¥

例如判定级 un=n n

3+2(-535

u=1,u=5,u=1

u2

1 故limun+1

1 3

nfi¥1nn 1nn £un£

=1<nn

£bn£cnn1,2,3...),级数ancn ¥求证：级 bn也收敛¥ 作0£bnan£cn¥

而an都收敛， ¥故(cnan也收敛

ananan(bnan)也收敛 定义 (-1n-1u或(-1

> 莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)un‡un+1(n=1,2,3,L);(ⅱ)limun=0,nfi则级数收敛,且其和s£u1,其余项rn的绝对值 £un+1莱布尼茨定理条件：(ⅰ)unun+1(n1,2,3,L);(ⅱ)limun0,则级数收敛,且其和s£u1,其余项nfi的绝对值rn£Qun-1unQs2n=(u1-u2)+(u3-u4)+L+(u2n-1-u2n又s2n=u1-(u2-u3)-L-(u2n-2-u2n-1)- s2n是有界的\lims2n=s£u1.nfi定理条件：(ⅰ)unun+1(n1,2,3,L);(ⅱ)limun0,则级数收敛,且其和s£u1,其余项nfi的绝对值rn£Qlimu2n+1=nfi\lims2n+1=nfi nfi

+u2n+1)=s,且s£ =un+1-

+L \

¥5判别级数¥n=

nn-n

xxx-

x x(x-x

< (x‡

x-

n = = nnfi¥ nfi¥n- 定理若un收敛,则un 证明令 =1(u+u (n=1,2,L),2 2¥显然vn‡ 且vn£un

vn收敛,¥又Qun(2vnun

un 若ununun ）

） 例 判别级

nn2

¥

£

¥¥

1收敛n2\

收敛 例

sinsinn

n=1n

¥(-解

发散 n=1

但

收敛n

NNYYYYNNNYNN设正项级数u设正项级数u收敛,能否推得 2 由正项级数u收敛，可以推得u2 u2uQlim

=lim =nfi¥

nfi

¥u

¥ ¥ ¥n 例如：n

SnfiS,则级数收敛nfi¥unfi0,则级数发散 习题11-2(2061.(2)2.(3)3.(2)4.(5)5.

1、p-级数 ¥¥ 二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛¥¥

+L

2、

(a> 3

1

3

+L

n

nn

1、[ln(n