高中数学-简单的三角恒等变换教学设计学情分析教材分析课后反思

3.2简单的三角恒等变换一、【教学目标】重点:引导学生以三角函数的和（差）公式与倍角公式为依据，推导半角的正弦、余弦、正切公式难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．知识点：半角的正弦、余弦、正切公式．能力点：能运用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，能利用公式进行三角函数的求值、化简、证明．体会换元、化归、方程等思想，提高学生的观察能力、推理能力和运算能力．教育点：让学生亲身经历公式的推导过程，了解半角公式与倍角公式之间的内在联系，培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神．自主探究点：通过二倍角公式的变形，探究半角的正弦、余弦、正切公式．易错易混点：三角函数值符号的判断和三角变换的灵活应用．拓展点：通过三角变换改变函数式结构求函数最值问题．二、【引入新课】前几节课我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式，请同学们回顾一下这些公式.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，学习了和（差）角公式、倍角公式我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高我们的推理、运算能力提供了新的平台.本节课我们将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.【师生活动】教师提出问题，学生思考默写公式、并请学生板演公式，教师巡视学生的默写情况并对写的不好的同学做个别指导,最后教师提出本节课的学习内容.【设计意图】首先使学生对本节课所必备的基础知识准确掌握，再次让学生明确本节课所要研究的内容，让学生带着问题去学习，引发学生探究新知识的欲望，并使得教学过程自然流畅.问题1：与有什么样的关系？由此可以联想到我们学习过的哪个公式？问题2：从之间的关系出发思考有怎样的关系呢？如何建立这两个三角式之间的关系？对于这两个问题学生经过思考讨论不难得出是的二倍，由此可联想到二倍角的余弦公式（，）作为联系的纽带.解：是的二倍角．在倍角公式中，以，，即得所以；在倍角公式中，以，，即得，所以．所以．问题3：已知，如何求由例1学生不难得出结果：；；师生共同进行总结，公式中的“”号由所在象限决定．【师生活动】教师提出问题；学生思考、小组探究，然后展示讨论结果；教师重在引导学生分析角的倍、半间的关系；由学生将解题过程半数在黑板上.【设计意图】引导学生理解角的倍、半的相对关系，引导学生仔细体会对“所包含的角，以及这些角的三角函数种类的差异”对三角变换的影响进行认识，从而使学生更好地把握三角恒等变换的特点．并为解决本节课的重难点问题作铺垫，便于知识水到渠成的向前发展．三、【运用新知】例1试以表示．问题1：与有什么样的关系？由此可以联想到我们学习过的哪个公式？问题2：从之间的关系出发思考有怎样的关系呢？如何建立这两个三角式之间的关系？对于这两个问题学生经过思考讨论不难得出是的二倍，由此可联想到二倍角的余弦公式（，）作为联系的纽带.解：是的二倍角．在倍角公式中，以，，即得所以；在倍角公式中，以，，即得，所以．所以．问题3：已知，如何求由例1学生不难得出结果：；；师生共同进行总结，公式中的“”号由所在象限决定．【师生活动】教师提出问题；学生思考、小组探究，然后展示讨论结果；教师重在引导学生分析角的倍、半间的关系；由学生将解题过程半数在黑板上.【设计意图】引导学生理解角的倍、半的相对关系，引导学生仔细体会对“所包含的角，以及这些角的三角函数种类的差异”对三角变换的影响进行认识，从而使学生更好地把握三角恒等变换的特点．并为解决本节课的重难点问题作铺垫，便于知识水到渠成的向前发展．例2求函数的周期、最大值和最小值分析：不是正弦函数的标准式，那么第一步我们应先把其化为标准式,才能利用正弦函数的相关性质去求解.如何进行恒等变形这是关键.通过配凑系数我们可以利用两角和与差的正余弦公式去化简.即:或所以,所求函数的周期是,最大值是,最小值是.【设计意图】本题是三角变换的重要问题，先对三角函数式进行三角恒等变换，化简成的形式.主要培养学生灵活运用公式，熟练进行三角恒等变换的能力.师生共同探究对于怎么进行三角恒等变换呢，是否有一般性的方法呢?分析:结合所学我们要想解决好此类问题,关键要充分利用同角三角函数的基本关系进行解决,这里要引入一个辅助角,这个辅助角在内是唯一确定的,必须写出辅助角的正弦值和余弦值.即:其中.注：上述变形方法是解决合角问题的一般性方法.这里辅助角的引入既是重点又是难点,教师在具体的教学过程中要根据学生的情况进行引入、解释.【设计意图】总结解决合角问题的一般性方法,便于学生更好的解决问题.例3.如图3.2-1,已知是半径为1,圆心角为的扇形,是扇形弧上的动点,是扇形的内接矩形.记,求角取何值时,矩形的面积最大?并求这个最大面积.分析：要求当角取何值时，矩形的面积最大，可以这样去解决：第一:首先根据已知条件找出与的函数关系;第二:有函数关系及角取值范围,求的最大值.解：在中,,.在中,,所以,,所以,.设矩形的面积为,则.由,得.所以当,即时,因此,当时,矩形的面积最大,最大面积为.注：（1）在求解最大值时，要特别注意“”这一隐含条件;（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题.四、【课堂小结】教师提问：通过本节课的学习，你有哪些收获？留给你印象最深的是什么？（引导学生从知识点、思想方法两方面进行总结）学生总结：1．知识点：半角公式、三角恒等变换，由特殊到一般方式把关系式化成的形式2．思想：转化、换元、函数与方程等思想方法．【设计意图】让学生通过小结，反思学习过程，提升对所学知识及数学思想方法的理解和应用意识；提高学生的概括、归纳能力.同时学生在回顾、总结、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构更趋合理．五、【布置作业】必做题：课本143页习题3.2六、【教后反思】1.本节课的亮点是在本节课的教学中以问题串的形式将本节课的内容贯穿起来，力求使学生通过自主探究，独立思考，推导公式，总结规律，探究三角变换的常用方法，重点突出换元的思想、化归的思想、方程的思想等．通过引导学生比较所证明的公式，找出异同点，加深记忆，通过总结证明公式的过程，不断提高学生利用三角变换进行三角函数式的求值、化简、证明的能力．2.本节课的不足之处是由于本节课的内容较多，留给学生独立思考的时间不是很充分，所以学生的一些思想方法没有重分得以展示.；并发现学生在拆、合角方面学生还是很困难,这充分体现学生对相关三角公式不熟练,在下节课这方面应多加强训练一下七、【板书设计】3.2简单的三角变换复习回顾例一半角公式例二 例三变式训练学情分析：这节课是学生在学习了三角函数两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切的公式基础之上，进行三角恒等变换的练习。学生已经熟练掌握了两角和差公式及二倍角公式以及逆向使用公式的数学方法，但如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元等数学思想方法的认识还不足。因此本节课通过例题来展示，通过立体的解答，使学生加深变换思想，提高学生的推理能力。本节课的教学中以问题串的形式将本节课的内容贯穿起来，力求使学生通过自主探究，独立思考，推导公式，总结规律，探究三角变换的常用方法，重点突出换元的思想、化归的思想、方程的思想等．通过引导学生比较所证明的公式，找出异同点，加深记忆，通过总结证明公式的过程，不断提高学生利用三角变换进行三角函数式的求值、化简、证明的能力．本节课的内容是高中人教A版必修四《三章三角恒等变换》的第二节《简单的三角恒等变换》，这是学生在学习了三角函数两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切的公式基础之上，引导学生以这十一个公式为依据，以推导半角公式、作为训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。求证：解：，．2、，求函数的最大值和最小值？由,得.又由正弦函数的图像与性质可得:,所以,,,最大值为,最小值为3、求函数的周期、最大值和最小值.解:由题意可得所以,所求函数的周期为,最大值为，最小值为.4、已知函数.(1)求的最小正周期；(2)当时,求的最小值以及取得最小值时的取值集合.(1)所以的最小正周期为；(2)由得,所以当时,即,的最小值为-1,取最小值时的取值集合为.通过这节课，我发现本节课的内容较多，留给学生独立思考的时间不是很充分，所以学生的一些思想方法没有充分得以展示.；并发现学生在拆、合角方面学生还不是很好,这充分体现学生对相关三角公式不熟练,下节课这方面应多加强训练一下根据学生教材内容和学生实际确定下列教学目标：能运用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，并能利用和与差的正弦、余弦公式推导半角公式，能利用公式进行三角函数的求值、化简、证明．体会换元、化归、方程等