2023年山东省滨州市阳信县中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省滨州市阳信县中考数学二模试卷一、选择题：共10个小题，每小题涂对得3分，满分30分.1．﹣7的倒数是（）A．7 B． C．﹣7 D．﹣2．如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45° B．50° C．57.5° D．65°3．如图所示的几何体的主视图是（）​A． B． C． D．4．下列运算正确的是（）A．+＝ B．a3•a4＝a12 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b65．甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（）A．﹣＝12 B．﹣＝0.2 C．﹣＝12 D．﹣＝0.26．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．4月23日是世界读书日，某学校开展“好书伴我成长”演讲比赛，对所有选手的得分情况进行统计，统计数据如下表：成绩/分数789100选手人数/人4653依据统计数据可知，思考下列结论：①比赛成绩的众数为8分；②比赛成绩的平均数是9分；③比赛成绩的中位数是8分；④共有18名学生参加了比赛．其中正确的判断共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°9．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）A．△ABC≌△DEC B．AE＝AB+CD C． D．AB⊥AE10．已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数y＝ax2+bx+2中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1013…y＝ax2+bx+2…﹣10﹣3255…下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于5；③点B的坐标是（2，2）；④当0＜x1＜1，4＜x2＜5时，y1＞y2．其中正确的是（）A．①④ B．②③④ C．②④ D．①②④二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，只要求填写最后结果.11．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地势对气温的影响，大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃，有一座海拔1150米的山，在这座山上海拔为150米的地方测得气温是3℃，则此时山顶的气温约为℃．12．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．13．因式分解：ab2﹣2ab+a＝．14．已知m，n（m≠n）是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值为．15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AC于点D，连结BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点E，连结DE，则下列结论①BE＝DE；②DE垂直平分线段AC；③BD2＝BC•BE；④．其中不正确的结论是．（只填序号）​16．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为．17．反比例函数y＝与一次函数y＝x+的图形有一个交点B（，m），则k的值为．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为．三、解答题：本大题共6个小题，满分66分，解答时请写出必要的演推过程.19．（1）先化简，再求值：÷，其中；（2）解方程组：．20．某校为满足学生课外活动的需求，准备开设四类球类运动项目，分别为A．“足球”；B．“篮球”；C．“乒乓球”；D．“排球”．为了解学生的报名情况，先随机抽取七年级部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：​（1）此次调查共抽取了多少名学生？（2）补全折线统计图；（3）D所对应扇形圆心角的大小为；（4）小明和小丽从A、B、C、D四个项目中任选一项参加活动，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同项目的概率．21．某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．23．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．24．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△AOC∽△ACB；（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．

参考答案一、选择题：本大题共10个小题，在每个小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题涂对得3分，满分30分.1．﹣7的倒数是（）A．7 B． C．﹣7 D．﹣【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．解：﹣7的倒数是﹣，故选：D．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．45° B．50° C．57.5° D．65°【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．3．如图所示的几何体的主视图是（）​A． B． C． D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．解：从正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4．下列运算正确的是（）A．+＝ B．a3•a4＝a12 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．解：A、，故A不符合题意；B、a3•a4＝a7，故B不符合题意；C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；D、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（）A．﹣＝12 B．﹣＝0.2 C．﹣＝12 D．﹣＝0.2【分析】设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解．解：12分钟＝h＝0.2h，设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2xkm/h，根据题意，得：﹣＝0.2，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式2x+1≥x，得：x≥﹣1，解不等式﹣，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：D．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．4月23日是世界读书日，某学校开展“好书伴我成长”演讲比赛，对所有选手的得分情况进行统计，统计数据如下表：成绩/分数789100选手人数/人4653依据统计数据可知，思考下列结论：①比赛成绩的众数为8分；②比赛成绩的平均数是9分；③比赛成绩的中位数是8分；④共有18名学生参加了比赛．其中正确的判断共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据众数、平均数、中位数的概念分别进行求解，即可得出答案．解：①比赛成绩的众数为8分，故本选项正确，符合题意；②比赛成绩的平均数是＝分，故本选项错误，不符合题意；③比赛成绩的中位数是＝8分，故本选项正确，符合题意；④共有4+6+5+3＝18名学生参加了比赛，故本选项正确，符合题意；其中正确的有3个．故选：C．【点评】本题考查了众数、中位数、平均数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．8．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°．故选：C．【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E．当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）A．△ABC≌△DEC B．AE＝AB+CD C． D．AB⊥AE【分析】根据图形旋转的性质，以及全等图形的基本性质进行逐项分析即可．解：由旋转的性质可知，△ABC≌△DEC，故A选项不符合题意；则∠EDC＝∠BAC＝135°，且A、D、E三点在同一直线上，∴∠ADC＝45°，由旋转的性质知CA＝CD，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，则∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝135°﹣45°＝90°，∴AB⊥AE，故D选项不符合题意；∴△ADC中，∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴，故C选项不符合题意；∵△ABC≌△DEC，∴AB＝DE，∴，故B选项符合题意；故选：B．【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握基本图形的性质是解题的关键．10．已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数y＝ax2+bx+2中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1013…y＝ax2+bx+2…﹣10﹣3255…下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②这个函数的最大值大于5；③点B的坐标是（2，2）；④当0＜x1＜1，4＜x2＜5时，y1＞y2．其中正确的是（）A．①④ B．②③④ C．②④ D．①②④【分析】通过待定系数法求出函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数函数的性质求解．解：将（﹣1，﹣3），（1，5）代入y＝ax2+bx+2得，解得，∴y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，6），∴①错误，②正确．∵点A坐标为（0，2），∴点B坐标为（4，2），③错误．∵0＜x1＜1，4＜x2＜5，∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，∴y1＞y2．④正确．故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，只要求填写最后结果.11．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地势对气温的影响，大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃，有一座海拔1150米的山，在这座山上海拔为150米的地方测得气温是3℃，则此时山顶的气温约为﹣3℃．【分析】表示出山顶的气温的代数式后计算．解：根据题意，山顶比海拔150米高（1150﹣150）米，山顶的气温为：3﹣×0.6＝﹣3（℃），答：此时山顶的气温约为﹣3℃．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．12．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≤2．【分析】二次根式的被开方数是非负数．解：依题意，得2﹣x≥0，解得，x≤2．故答案是：x≤2．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．13．因式分解：ab2﹣2ab+a＝a（b﹣1）2．【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；故答案为：a（b﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．已知m，n（m≠n）是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值为2022．【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝2023，则m2+2m+n＝2023+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的实数根，∴m2+m﹣2023＝0，∴m2+m＝2023，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2023+m+n，∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，∴m2+2m+n＝2023﹣1＝2022．故答案为：2022．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解．15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交AC于点D，连结BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点E，连结DE，则下列结论①BE＝DE；②DE垂直平分线段AC；③BD2＝BC•BE；④．其中不正确的结论是④．（只填序号）​【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质，①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误；利用相似三角形的判定与性质可以判断③的正确．解：由题意得：AB＝AD，AP为∠BAC的平分线，∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AP为BD的垂直平分线，∴BE＝DE，∴①的结论正确；∵△ABD为等边三角形，∴∠ABD＝60°，∠ADB＝60°∴∠DBE＝30°，∵BE＝DE，∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴∠ADE＝∠ADB+∠EDB＝90°，∴DE⊥AC．∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴AC＝2AB，∵AB＝AD，∴AD＝CD，∴DE垂直平分线段AC；∴②的结论正确；∵∠EDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴．∵AD＝AB，∴＝tan∠DAE＝tan30°＝，∴，∴④的结论不正确；∵∠BDE＝∠C，∠DBE＝∠CBD，∴△BDE∽△BCD，∴，∴BD2＝BC•BE，∴③的结论正确，综上，结论不正确的有：④，故答案为：④．【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，角平分线的做法，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为2．【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，然后根据勾股定理即可解决问题．解：如图，连接AP，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E是BC的中点，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2+CP2，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，解得x＝2．则DP的长度为2．故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．17．反比例函数y＝与一次函数y＝x+的图形有一个交点B（，m），则k的值为．【分析】将点B坐标代入一次函数解析式可求点B坐标，再代入反比例函数解析式，可求解．解：∵一次函数y＝x+的图象过点B（，m），∴m＝×+＝，∴点B（，），∵反比例函数y＝过点B，∴k＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连接AE，则阴影部分的面积为6﹣．【分析】根据矩形的性质得出∠B＝∠DAB＝90°，AD＝BC＝AE＝4，求出BE，再分别求出扇形EAD和矩形ABCD、△ABE的面积，即可得出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝BC＝4，∴∠B＝∠DAB＝90°，AD＝AE＝4，∵AB＝2，∴cos∠BAE＝，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝60°，∴BE＝AE＝2，∴阴影部分的面积S＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD＝2×4﹣×2×2﹣＝6﹣．故答案为：6﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出BE长和∠EAD的度数是解此题的关键．三、解答题：本大题共6个小题，满分66分，解答时请写出必要的演推过程.19．（1）先化简，再求值：÷，其中；（2）解方程组：．【分析】（1）先通分算括号内的，把除化为乘，化简后求出a的值，代入计算即可；（2）先消元，把二元化为一元求出y的值，再代入可得方程组的解．解：（1）原式＝÷﹣＝•﹣＝﹣＝，∵＝2×+2＝+2，∴原式＝＝+1；（2）．②×2﹣①得：4y+3y＝20﹣6，解得：y＝2，把y＝2代入②得：x+4＝10，∴x＝6，∴方程组的解为．【点评】本题考查分式化简求值和解二元一次方程组，解题的关键是掌握分式的基本性质和“消元”的方法．20．某校为满足学生课外活动的需求，准备开设四类球类运动项目，分别为A．“足球”；B．“篮球”；C．“乒乓球”；D．“排球”．为了解学生的报名情况，先随机抽取七年级部分学生进行调查，并根据调查结果，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：​（1）此次调查共抽取了多少名学生？（2）补全折线统计图；（3）D所对应扇形圆心角的大小为108°；（4）小明和小丽从A、B、C、D四个项目中任选一项参加活动，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同项目的概率．【分析】（1）用B项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出D项目的人数，然后补全折线统计图；（3）用360°乘以D项目人数所占的百分比得到项目D所对应的扇形圆心角的大小；（4）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出相同项目的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）此次调查共抽取的学生人数为：20÷40%＝50（名）；（2）D的人数为：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），补全折线统计图如下：（3）D所对应扇形圆心角的大小为：360°×＝108°，故答案为：108°；（4）画树状图如下：∴共有16种等可能的结果，小明和小丽选择相同项目的结果有4种，∴小明和小丽选择相同项目的概率为：＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21．某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？【分析】过点C作CD⊥BA的延长线于点D，由题意可证明△ABC为等腰三角形，所以AC＝AB＝200海里．再求出CD的距离，最后根据BC＝2CD求BC的长．解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．即∠BCA＝∠CBD，∴AC＝AB＝200（海里）．在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于把实际问题转化为直角三角形来求解．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．【解答】（1）证明：连接OD．∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD＝60°．∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝tan30°＝2．∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝30°．∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．∴的长＝．【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．23．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可；（2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DFE＝∠CBE，∵E为CD边的中点，∴DE＝CE，在△BCE和△FDE中，，∴△BCE≌△FDE（AAS）；（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC，由（1）得：△BCE≌△FDE，∴BC＝FD，BE＝FE，∴FD＝AD，∵GD＝DE，∴四边形AEFG是平行四边形，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABF，∴∠AFB＝∠ABF，