2022年山东省临沂市湖头镇中心中学高二数学理期末试卷含解析

2022年山东省临沂市湖头镇中心中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）?g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：C【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用导数分别求出函数f（x）、g（x）的零点所在的区间，然后再求F（x）=f（x+3）?g（x﹣4）的零点所在区间，即求f（x+3）的零点和g（x﹣4）的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果．【解答】解：∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+﹣…+＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；∵g（1）=1﹣1+﹣+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣＜0．当x∈（1，2）时，g′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2013﹣x2014=＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）?g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，因此F（x）=f（x+3）?g（x﹣3）的零点均在区间[﹣4，6]内，∴b﹣a的最小值为10．故选：C．2.“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出，即可判断出关系．【解答】解：由|x﹣1|＜2解得：﹣2+1＜x＜2+1，即﹣1＜x＜3．由x（x﹣3）＜0，解得0＜x＜3．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”必要不充分条件．故选：B．3.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(－∞，0)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”的函数是（

）A.f(x)＝－x＋1

Bf(x)＝2x

C.f(x)＝x2－1

D.f(x)＝ln(－x)参考答案：B略4.的展开式中的系数是（

）A20

B160

C240

D60参考答案：B略5.已知函数满足对任意的，，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且，则{an}的前40项的和为（

）A．80 B．60 C．40 D．20参考答案：B6.右图是某算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构为

(

)

（A）顺序结构

（B）判断结构

（C）条件结构

（D）循环结构

参考答案：D略7.椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，P为椭圆C上的一点，且位于第一象限，直线PO，PF分别交椭圆C于M，N两点．若△POF为正三角形，则直线MN的斜率等于（）A．﹣1 B．﹣ C．2﹣ D．2﹣参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】由于|OF|为半焦距c，利用等边三角形性质，即可得点P的一个坐标，PF方程为：y=﹣（x﹣c）代入椭圆标准方程即可得N坐标，再用斜率公式，求解【解答】解：∵椭圆上存在点P使△AOF为正三角形，设F为左焦点，|OF|=c，P在第一象限，∴点P的坐标为（）代入椭圆方程得，．又因为a2=b2+c2，得到．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的方程可设为：2x2+（4+2）y2=（2+3）c2…①．PF方程为：y=﹣（x﹣c）…②由①②得N（（）c，），M，P两点关于原点对称，∴M（﹣c）直线MN的斜率等于．故选：D【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系，计算量较大，属于中档题．8.若正四棱柱的底面边长为1，与底面成角，则直线到底面的距离为(

)A.

B.1

C.

D．参考答案：A略9.盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（）A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的C．恰有2只是好的 D．至多有2只是坏的参考答案：C【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】盒中有10只螺丝钉，从盒中随机地抽取4只的总数为：C104，其中有3只是坏的，则恰有1只坏的，恰有2只好的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：C31×C73，C32C72，C74，C74+C31×C73+C32×C72，在根据古典概型的计算公式即可求解可得答案．【解答】解：∵盒中有10只螺丝钉∴盒中随机地抽取4只的总数为：C104=210，∵其中有3只是坏的，∴所可能出现的事件有：恰有1只坏的，恰有2只坏的，恰有3只坏的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：C31×C73=105，C32C72=63，C74=35，C74+C31×C73+C32×C72=203，∴恰有1只坏的概率分别为：=，恰有2只好的概率为=，4只全是好的概率为，至多2只坏的概率为=；故选C10.已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C解析：令则,连∥

异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知若，则的最小值是

▲

参考答案：

12.已知二面角α－AB－β为120°，CDα，CD⊥AB，EFβ，EF与AB成30°角，则异面直线CD与EF所成角的余弦值为

参考答案：13.函数在时取得极值，则实数_______.参考答案：a=-2

略14.已知，则的值为_________．参考答案：15.复数满足（其中为虚数单位)，则=

.参考答案：16.已知点A（3，﹣1），F是抛物线y2=4x的焦点，M是抛物线上任意一点，则|MF|+|MA|的最小值为．参考答案：4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义可知：|MF|=|MN丨，则当A，M，N共线时，|MF|+|MA|的最小值，则|MF|+|MA|的最小值为4．【解答】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点（1，0），准线方程x=﹣1，点A（3，﹣1）在抛物线内，由抛物线的定义可知：|MF|=|MN丨，则当A，M，N共线时，|MF|+|MA|的最小值，则|MF|+|MA|的最小值为4，故答案为：4．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题．17.已知f（x）=若对任意的x∈R，af2（x）≥4f（x）﹣1成立，则实数a的最小值为

．参考答案：3 【考点】函数恒成立问题．【分析】设u=f（x）≥1，对任意的x∈R，af2（x）≥4f（x）﹣1成立，可得a≥﹣=﹣（﹣2）2+4，即可求出实数a的最小值．【解答】解：f（x）=的图象如图所示，设u=f（x）≥1，对任意的x∈R，af2（x）≥4f（x）﹣1成立，∴a≥﹣=﹣（﹣2）2+4，∵0＜≤1，∴﹣（﹣2）2+4≤3∴a≥3，当u=1，x=2时取等号，∴a的最小值是3．故答案为3．【点评】本题考查恒成立问题，考查参数分离方法的运用，考查函数的最值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，下列列联表：

主食蔬菜主食肉类总计50岁以下481250岁以上16218总计201030

有________的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．附：,

参考答案：99%【分析】由独立性检验公式计算可得：，结合表格中的数据得解【详解】由题可得：所以，所以有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．【点睛】本题主要考查了独立性检验公式，考查计算能力，属于基础题。19.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求抛物线的方程.

参考答案：解：依题意可设抛物线方程为：（a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB；则可设A（x1,y1）、B（x2,y2）联立

得即

得：a=12或-4（6分）所以抛物线方程为或

20.已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.

(1)求角C的大小；

(2)若成等差数列，且，求c边的长.参考答案：略21.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AB中点，连接OC，OA1，得出OC⊥AB，OA1⊥AB，运用AB⊥平面OCA1，即可证明．（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向建立坐标系，可向量的坐标，求出平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点，连接OC，OA1，∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°∴OC⊥AB，OA1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OCA1，∵CA1?平面OCA1，∴AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），==（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞=﹣，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．22.已知函数g（x）=xe（2﹣a）x（a∈R），e为自然对数的底数．（1）讨论g（x）的单调性；（2）若函数f（x）=lng（x）﹣ax2的图象与直线y=m（m∈R）交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．（f'（x）为函数f（x）的导函数）．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，构造函数，利用导数进行转化即可证明不等式．【解答】解：（1）由题可知，g'（x）=e（2﹣a）x+xe（2﹣a）x（2﹣a）=e（2﹣a）x[（2﹣a）x+1]．①当a＜2时，令g'（x）≥0，则（2﹣a）x+1≥0，∴，令g'（x）＜0，则（2﹣a）x+1＜0，∴．②当a=2时，g'（x）＞0．③当a＞2时，令g'（x）≥0，则（2﹣a）x+1≥0，∴，令g'（x）＜0，则（2﹣a）x+1＜0，∴，综上，①当a＜2时，y=g（x）在上单调递减，在上单调递增；②当a=2时，y=g（x）在R上单调递增；③当a＞2时，y=