2022年上海铭远双语高级中学高三数学理联考试卷含解析

2022年上海铭远双语高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知P、A、B、C是球面上四点，,则A、B两点间的球面距离是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列{}的前10项和=（）A． B． C． D．2参考答案：B【考点】等差数列的性质．【分析】利用直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，可得a1=2，d=2，利用等差数列的求和公式求出Sn，再用裂项法即可得到结论．【解答】解：∵直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，∴a1=2，2﹣d=0∴d=2∴Sn==n2+n∴=，∴数列{}的前10项和为1﹣+﹣+…+=故选：B．3.已知函数

（

）

A．b

B．－b

C．

D．－参考答案：A略4.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（

） A.

B.

C.

D.

参考答案：A略5.已知函数，则它的图象大致为（）参考答案：B6.已知数列{an}是公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，满足，且成等差数列，则（）A.5 B.6 C.7 D.9参考答案：C【分析】设等比数列的公比为，且不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案．【详解】数列是公比不为l等比数列，满足，即且成等差数列，得，即，解得，则．故选：C．【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，，则（

）A.{3} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{1,2,3,4,5}参考答案：C【分析】求解出后，根据并集定义求得结果.【详解】由题意得：，则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，属于基础题.8.若A为不等式组表示的平面区域，则当从变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为；

A．

B．1

C．

D．2参考答案：C【解析】当从变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域如图中的阴影部分，显然，这部分面积大于1而小于2，故选C。9.如图所示的程序框图的输出结果是（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的an，T的值，当T=时，满足条件T＞2，退出循环，输出n的值为10．【解答】解：模拟执行程序，可得T=1，n=3a3=，T=，n=4不满足条件T＞2，a4=，T=×，n=5不满足条件T＞2，a5=，T=××，n=6…不满足条件T＞2，a4=，T=××…×==，n=10此时，满足条件T=＞2，退出循环，输出n的值为10．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，属于基础题．10.已知是虚数单位，若，则A．

B．

C．

D．

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记集合A={(x,y)︱x2+y2≤16}，集合B={(x,y)︱x+y-4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2．若在区域Ω1内任取一点P(x,y)，则点落在区域Ω2中的概率为____．参考答案：如图，集合A表示的点集是圆内部（含边界），集合表示的点集是直线下方的弓形区域，，，因此所求概率为．12.已知实数满足若目标函数取得最小值时的最优解有无数个，则实数的值为_____．参考答案：

13.若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数a的取值范围为_________________.参考答案：略14.已知等差数列{an}中，，则cos（a1+a2+a6）=

． 参考答案：0【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列{an}的性质可得a1+a2+a6=3a1+6d=3a3，即可得出． 【解答】解：由等差数列{an}的性质可得a1+a2+a6=3a1+6d=3a3=， ∴cos（a1+a2+a6）=cos=0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则这个几何体的体积是

．参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是三棱锥，结合三视图判断知：三棱锥的高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答： 解：由三视图可知：几何体是三棱锥，∵正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，∴三棱锥的高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V=××1×1×1=．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键．16.若复数z满足，则z的值为±3i．参考答案：考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用行列式的计算方法．求出复数z的方程，然后求出复数z即可．解答：解：因为复数z满足，所以z2+9=0，即z2=﹣9，所以z=±3i．故答案为：±3i．点评：本题考查行列式的计算方法，复数方程的解法，考查计算能力．17.已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增.若实数满足,则的取值范围是__________.参考答案：[,2]略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知点F1、F2分别为椭圆C：=1（a>b>0）的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，∠F1PF2=，△F1PF2的面积为．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点M的坐标为（，0），过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A、B两点，对于任意的kR，·是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．参考答案：略19.已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：ρ2﹣4ρ?cosθ﹣21=0交于A，B两点，求线段AB的长，并说明C1，C2分别是什么曲线？参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】曲线C1：（t为参数），把t=x﹣1代入y=﹣3﹣t，可得普通方程．曲线C2：ρ2﹣4ρ?cosθ﹣21=0，利用互化公式可得：直角坐标方程．求出圆心曲线C2到直线的距离d，可得|AB|=2．【解答】解：曲线C1：（t为参数），把t=x﹣1代入y=﹣3﹣t，可得y=﹣3﹣（x﹣1），化为：3x+4y+9=0，因此曲线C1表示直线．曲线C2：ρ2﹣4ρ?cosθ﹣21=0，利用互化公式可得：x2+y2﹣4x﹣21=0，配方为（x﹣2）2+y2=25，曲线C2表示圆心为C2（2，0），半径为r=5．圆心曲线C2到直线的距离d==3，∴|AB|=2=2×=8．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解答： 解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．21.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，点E、F分别在AD、CD上，，EF交BD于点H.将沿EF折到△的位置，.（1）证明：平面ABCD；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】（1）根据折叠前后关系可证，再用勾股定理证，即可证得结论；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，找出平面的法向量，即可求出结果.【详解】（1）由已知得，，又由得，故.因此，从而由,，得.由得.所以，.于是，故.

又，而，所以平面.

（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，.

设是平面的法向量，则，即，所以可以取因菱形ABCD中有，又由（1）知所以是平面的法向量，

设二面角为，由于为锐角，于是.因此二面角的余弦值是.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查用空间向量法求空间角，考查推理、计算能力，是