7.2期望（第2课时） 课件（共15张PPT）

高一数学（沪教版2020选修第二册）

第7章

概率初（续）7.２期望（第2课时）

２期望

随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值，称为随机变量的期望（ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ）：定义如果随机变量X的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均：

例４

（１）掷一颗骰子，求掷得点数的期望；（２）掷两颗骰子，求掷得点数和的期望解（１）掷一颗骰子，掷得点数X的期望是（２）掷两颗骰子，掷得点数和X的分布为其期望为

其中，括号里的每一个表示每一枚硬币抛掷的结果：正面朝（H）或者反面朝上（T）．所以，抛掷n枚硬币的随机试验的样本空间中有

个元素．事件X＝k表示“出现k个正面朝上”，即其中有k个H、（n－k）个T的基本事件全体．用选择性必修课程第６章介绍的排列组合方法，X＝K这个事件含有的基本事件数为在n个位置上取k个位置放置H的组合数

X的取值范围是K＝０，１，２，…，n，有

例５

抛掷n枚硬币，用X表示正面朝上的硬币数．求它的分布及期望．

解抛掷n枚硬币是一个古典概率模型，其基本事件是有了X的分布，就可以得到X的期望，为

当K≥１时，有

由选择性必修课程６．５节中所介绍的二项式定理，得所求的期望为

掷一颗骰子，掷得点数的期望是３．５，甚至不是一个整数，那么，期望到底有什么意义呢？实际上，期望的意义在多次重复试验中可以明显地体现出来．例如，重复掷一颗骰子n次，所得到的点数分别记为X１，X２，…，Xn，那么，当n很大时，平均点数必定逼近于期望，即成立

这个结果类似于在必修课程１２．３节中所述的伯努利大数定律随机变量的期望是一个确定的数，它满足下面两个性质．

期望的线性性质

１．如果X是一个随机变量，

是一个实数，那么

E［aX］＝aE［X］．２．如果X、Y是两个随机变量，那么

E［X＋Y］＝E［X］＋E［Y］．

性质１的证明是容易的，性质２的证明超出所学的知识范围．这两个性质的证明这里均略去，只列出它们的结论．为了方便，我们把一个确定的常数也看作一个随机变量，称为常数随机变量．常数随机变量是确定的，没有随机性，它的期望等于它本身

例４（２）中求得点数之和的期望是７，这是通过分布来计算的．更方便的方法是利用期望的性质来计算．用X１、X２分别表示掷第一颗及第二颗骰子得到的点数，那么X１＋X２就是两颗骰子的点数之和．这样，根据期望的线性性质，并利用例４（１）的结果，就得到课本练习练习７．２（２）

１．抛掷４枚硬币，用X表示正面朝上的枚数．求X的期望．

２．从一个放有大小与质地相同的５个白球、４个黑球的罐子中不放回地摸３个球，用X表示摸到的白球数．求X的期望随堂检测1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的期望是多少?由题意得，X的分布列为解：即该运动员罚球1次的得分X的期望是0.8.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的期望.由题意得，X的分布列为解：即点数X的期望是3.5.课堂练习3．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球.（1）从中任意取出两个球，求这两个球的编号之和为偶数的概率；（2）从中任意取出三个球，记X为编号为偶数的球的个数，求X的