7.2方差（第3课时） 课件（共15张PPT）

高一数学（沪教版2020选修第二册）

第7章

概率初步（续）

7.2方差（第3课时）

7.3方差

期望大体上表示一个随机变量的“中间”态．随机变量的取值虽不确定，但总是分布在期望的两侧，可能远也可能近．通俗地说，如果一个随机变量分布在期望两侧比较远的地方，就说这个随机变量比较分散．反过来，如果一个随机变量分布在期望两侧比较近的地方，就说这个随机变量比较集中．

数学上用什么指标来衡量随机变量的分散度呢？按照上面的分析，对随机变量X而言，我们用X与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量X的分散度，称为X的方差（ｖａｒｉａｎｃｅ），记为D［X］

定义随机变量X

的方差D［X］定义为D［X］＝考虑一个极端的情况．如果X是一个常数随机变量，那么就有D［X］＝０．这说明一个确定的量的分散度为零．反之，如果D［X］＝０，那么X就是一个常数随机变量．这说明分散度为零的量必是一个确定的量

下面推导一个更方便使用的方差公式．事实上，根据期望的线性性质，并注意到E［X］是一个常数，就有这样，就得到方差的如下计算公式：

解由本节例４可知X的期望E［X］＝３.５，现在需要计算E［X２］，为此先计算X２的分布．显然，X２的取值是

于是例６掷一颗骰子，用X

表示掷得的点数．求X的方差．因此方差有以下两个性质：

性质１．如果X是一个随机变量，a是一个实数，那么２．如果X、Y分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，那么

性质１的证明是容易的，但性质２的证明超出所学的知识范围．这两个性质的证明这里均略去，只列出它们的结论．

例７掷两颗骰子，掷得的点数分别为X、Y．求点数和X＋Y与点数差X－Y的期望与方差．由期望的线性性质，可得

因为掷两颗骰子是两个独立的随机试验，而X、Y分别是这两个独立试验所对应的随机变量，所以由方差的性质可得

综上所述，一个随机变量是以其样本空间为定义域的函数，期望描述它的中心位置，而方差描述此随机变量对其期望的偏离度，即其随机程度．期望与方差是随机变量最重要的两个特征．它们是通过数字来描述的，也称为数字特征．课本练习练习７．２（３）

１．设X是一个随机变量，

是常数．求证：X＋c的方差与X的方差相等．

２．已知随机变量X的分布为求X的方差．随堂检测1.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位:cm)的分布列如下:解：甲班的目测误差分布列X－2－1012P0.10.20.40.20.1先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断.乙班的目测误差分布列Y－2－1012P0.050.150.60.150.05直观的观察可判断X的离散程度较大，下面用方差验证.∵D(X)>D(Y)，∴

X的分布离散程度较大.2.抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.解法1：随机变量X的分布列为2.抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.解法2：随机变量X的分布列为3.投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.解：股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3(1)投资哪种股票的期望收益大?(2)