７.４正切函数的图像与性质 课件（共20张PPT）

高一数学（沪教版2020必修第二册）第7章三角函数７.４正切函数的图像与性质７．４正切函数的图像与性质由正切的定义可知，对于任意一个给定的实数

，只要

，都有唯一确定的正切值

与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做正切函数，表示为

．正切函数的定义域是

．下面我们探讨正切函数的图像和性质

1正切函数的图像我们知道，正切值

可以用角a的终边所在直线与直线

的交点的纵坐标表示（图７-４-１）．类似于作正弦函数图像的方法，利用单位圆并结合描点法我们可以作出

的大致图像（图７-４-２）．因为

，所以函数

当

时的图像与…的图像形状一样，只需将后者图像的位置向右平移就可得到；同理，函数时的图像与

的图像形状也一样，只需将后者图像的位置向左平移π、２π、…就可得到．这样，就可以得到函数

的整个图像（图７-４-３）．因为

的定义域是其图像由无穷多支曲线所组成，它们被直线所隔开．正切函数的性质（１）周期性由诱导公式

可知，正切函数是周期函数，

均是它的周期，π是它的最小正周期．（２）值域

由正切函数

的定义可以得到，正切函数

的值域是实数集R，它既没有最大值，也没有最小值．（３）奇偶性

由诱导公式

可知，正切函数

是奇函数．因此，其图像关于坐标原点对称（４）单调性

由于正切函数是以π为最小正周期的函数，可以先在区间上研究正切函数的单调性．对于区间

中的任意给定的满足

的实数

有由

易知

于是

且由上式就有

，即

从而正切函数

在区间

上是严格增函数．又因为正切函数是以π为最小正周期的周期函数，所以正切函数

在区间

上

是严格增函数．例１

求函数

的定义域和单调区间由正切的定义，该函数的自变量

满足解所以，该函数的定义域为由正切函数的单调性可知，当

时，即

时，函数是严格增函数因此，函数

的单调增区间是例２

求函数

的最小正周期解

记

有可知函数

的一个正周期此外，

也是函数

的最小正周期．事实上，令

原来的函数可改写为

，其以t为自变量的最小正周期为π．返回到

变量，因

故原来函数的最小正周期为课本练习练习７．４１．写出满足

的所有α的集合．２．比较下列各组数的大小，并说明理由：３．求函数

的定义域，并写出其单调区间随堂检测1、求函数f(x)＝tan|x|的定义域与值域，并作其图像。当x≥0时，函数y＝tan|x|在y轴右侧的图像即为y＝tanx的图像不变；x<0时，y＝tan|x|在y轴左侧的图像为y＝tanx在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示（实线部分）；2、根据正切函数的图像，写出tanx≥－1的解集．【解析】作出y＝tanx及y＝－1的图像，如下图．所以，满足此不等式的x的集合为：3、画出函数y＝|tanx|的图像，并根据图像判断其单调区间和奇偶性．【解析】由函数y＝|tanx|得根据正切函数图像的特点作出函数的图像，如图所示．由图像可知，函数y＝|tanx|是偶函数．（2）判断f(x)＝sinx＋tanx的奇偶性；又因为，f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以，它是奇函数；5、已知f(x)＝－atanx(a≠0).（2）求f(x)的最小正周期；（3）求f(x)的单调区间；所以，f(－x)＝－atan(－x)＝atanx＝－f(x)