2022-2023学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷（含答案）

2022-2023学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）（2021春•烟台期末）空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角

（）

A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定

2.（5分）（2021春•烟台期末）抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字

1,2,3,4,5,6,观察朝上一面的点数，设事件A=“点数为奇数"，B="点数为4”，

则A与5的关系为（）

A.互斥B.相等C.互为对立D.相互独立

3.（5分）（2021春•烟台期末）已知一个水平放置的三角形的斜二测直观图的面积为1,那

么原三角形的面积为（）

A.V2B.2C.2夜D.4

4.（5分）（2021春•烟台期末）某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参

加安全知识竞赛.若得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且全校

高一、高三学生数之比为2:3,则样本容量为（）

A.120B.160C.180D.460

5.（5分）（2021春•烟台期末）某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门.如果他每次都随

机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

2368

6.（5分）（2021春•烟台期末）已知机，〃表示两条不同的直线，a,6表示两个不同的

平面，贝M）

A.若mila,m±n,贝！B.若加〃a,/31a,则

C.若〃_Lc,则D.若mlI/3>则a//£

7.（5分）（2021春•烟台期末）给定数据：10,12,17,25,50,75,则其第30百分位数、

第50百分位数分别为（）

A.11,17B.11,21C.12,17D.12,21

8.（5分）（2021春•烟台期末）在如图所示的三棱锥容器S—ABC中，D,E,尸分别为

三条侧棱上的小洞，SD:DA=CF:FS=2A,BE=SE,若用该容器盛水，则最多可盛水

的体积是原三棱锥容器体积的（）

7C25

9-3-D.9-

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.（5分）（2021春•烟台期末）下列说法正确的有（）

A.两条相交直线确定一个平面

B.平行于同一平面的两条直线平行

C.标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度

D.若某种奖券的中奖率为0.1,则抽奖10次必有一次中奖

10.（5分）（2021春•烟台期末）已知圆锥的底面半径为1,高为2声，S为顶点，A,B为

底面圆周上两个动点，则（）

A.圆锥的体积为2夜乃

B.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为27

3

C.圆锥截面的面积的最大值为2夜

D.从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为3小

11.（5分）（2021春•烟台期末）在正方体AB8-A4GR中，点。为线段AQ上一动点,

则（)

A.对任意的点。，都有8QLCQ

B.三棱锥8-8CQ的体积为定值

C.当Q为4口中点时，异面直线B©与3C所成的角最小

D.当。为4Q中点时，直线片。与平面BCG4所成的角最大

12.（5分）（2021春•烟台期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如

图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位.......上面一

粒珠子（简称上珠）代表5,下面一粒珠子（简称下珠）代表1,五粒下珠的大小等于同组

一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现

将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A="表示的四

位数能被3整除"，B="表示的四位数能被5整除"，贝4（）

31IIq

A.P（A）=-B.P（B）=-C.=—D.P（AB）=—

83J1616

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）（2021春•烟台期末）甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8,乙的命中率为

0.7,若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为一.

14.（5分）（2021春•烟台期末）已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2,3,4,

则其体对角线长度为—,

15.（5分）（2021春•烟台期末）类比是研究数学问题的重要方法之一.数学家波利亚曾说:

“求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题在平面几何里，研究三角形三边

长度间的关系，有勾股定理：“设AABC的两边ABJLAC,则48?+AC?=BC?."拓展至空

间，类比研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥

A-3CD的三个侧面ABC,ACD,4M两两互相垂直，则.

16.（5分）（2021春•烟台期末）在三棱锥P-ABC中，面RAfiJ.面ABC,

PA=PR=AB=AC^1,ABAC=-,则该三棱锥外接球的表面积为

2----

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）（2021春•烟台期末）如图，在空间四边形中，E,F,G,H分别为

棱Afi,AD,CD,3c的中点.

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）当对角线AC与3D满足什么条件时，四边形"6〃为正方形？（给出一个满足题意

的条件即可，不必证明）.

18.（12分）（2021春•烟台期末）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考

核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、

其他延迟情况，分别评定为A,B,C,3四个等级，各等级依次奖励3元、奖励。元、

罚款3元、罚款6元.假定评定为等级A,B,C的概率分别是之，.

4832

（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；

（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的

概率.

19.（12分）（2021春•烟台期末）为调查高一、高二学生心理健康达标情况，某学校采用分

层随机抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试（满分:

10分）.经初步统计，参加测试的高-学生成绩=2,3,…，50）的平均分元=7.4,

方差5；=2.6,高二学生的成绩%（i=l,2,3,…，40）的统计表如下：

成绩y456789

频数3711964

（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分歹和方差s：:

（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分7和方差S；.

20.（12分）（2021春•烟台期末）如图，在直三棱柱A8C=4线G中，440=90。，

A4,=AC=1.

（1）求证：；

（2）若AC与平面8CCg所成角的正弦值为华，求三棱锥A-48C的体积.

21.（12分）（2021春•烟台期末）《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行.某

社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100

分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中，"的值；

（2）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；

（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间［80,90）和［90,100］的居民中，采用分层随

机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件人="两

人的测试成绩分别位于［80,90）和［90,100］”，求P（A）.

22.（12分）（2021春•烟台期末）如图，在梯形中，AE=ED=BE=2BC=2,ADIIBC,

ADX.BE,将AAfiE沿8E折起，形成四棱锥A-3a区.

（1）若点M为4）的中点，求证：C0//平面45E;

（2）在四棱锥A-3CAE中，4）=2,求面ABE与面ACE＞所成二面角（锐角）的余弦值.

2022-2023学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）（2021春•烟台期末）空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角

（）

A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定

【解答】解：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角

相等；

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且一组边方向相同、一组边方向相反，那

么这两个角互补；

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等.

，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

故选：C.

2.（5分）（2021春•烟台期末）抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字

1,2,3,4,5,6,观察朝上一面的点数，设事件A=“点数为奇数”，B="点数为4”，

则A与8的关系为（）

A.互斥B.相等C.互为对立D.相互独立

【解答】解：抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1,2,3,4,5,

6,

观察朝上一面的点数，设事件A=“点数为奇数”，B="点数为4”，

则事件A与B不能同时发生，但能同时不发生，

故A与5是互斥事件.

故选：A.

3.（5分）（2021春•烟台期末）已知一个水平放置的三角形的斜二测直观图的面积为1,那

么原三角形的面积为（）

A.V2B.2C.20D.4

【解答】解：因为9皿=2",

s直观图

所以S原囹=2"xl=2".

故选：C.

4.（5分）（2021春•烟台期末）某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参

加安全知识竞赛.若得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且全校

高一、高三学生数之比为2:3,则样本容量为（）

A.120B.160C.180D.460

【解答】解：设样本中高一学生数为2x,则高三学生数为3x,

•.♦得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，

.\2x+40=3x—20,

解得x=60,

高一学生数为2x=120,

高二学生数为2x+40=160,

高三学生数为3x=180.

样本容量为：120+160+180=460.

故选：D.

5.（5分）（2021春•烟台期末）某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门.如果他每次都随

机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为（）

A1R1r1D1

2368

【解答】解：第二次才能打开门是指第一次没有打开门，第二次打开门，

所以第二次才能打开门的概率为P=2x!=■!■.

323

故选：B.

6.（5分）（2021春•烟台期末）已知〃表示两条不同的直线，a,夕表示两个不同的

平面，贝心）

A.若mI/a,则〃_LaB.若m//a,。工a,则

C.若m//a,,则机_L〃D.若m」/a,mlIP>则a///

【解答】解：若mI/a,机_L〃，则或〃//a或〃与。相交，故A错误；

若mlla,/3La,则mu/?或〃?///或相与尸相交，故3错误；

若〃，a,则〃垂直所有与a平行的直线，又mlla,所以〃故C正确;

若/〃//c,，*//£,则a//£或a与尸相交，故£）错误.

故选：C.

7.（5分）（2021春•烟台期末）给定数据：10,12,17,25,50,75,则其第30百分位数、

第50百分位数分别为（）

A.II,17B.11,21C.12,17D.12,21

【解答】解：•.•6x3O%=L8,••.第30百分位数是第二个数12；

•.•6x5O%=3,.•.第50百分位数是第三个数17与第四个数25的平均数21.

故选：D.

8.（5分）（2021春•烟台期末）在如图所示的三棱锥容器S-ABC中，D,E,F分别为

三条侧棱上的小洞，SD:DA=CF:FS=2A,BE=SE,若用该容器盛水，则最多可盛水

的体积是原三棱锥容器体积的（）

8725

A.9-B.-93-D.9-

7

【解答】解：因为SD:D4=2:1,所以SD=±SA,

3

又因为3E=SE,所以SE=LS8,

2

所以ASDE的面积为：

SQD.=gSD-SE-sinZASB=gx：SAx[SBxsinZASB=gSMAB.

又CF:ES=2:1,所以SF:SC=1:3,

设点P,C到平面SAB的距离分别为九，%,

所以九：4=1:3,

所以^F-SDE：匕-皿=g'U

所以这个容器最多可盛原三棱锥容器的1-』二§.

99

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.（5分）（2021春•烟台期末）下列说法正确的有（）

A.两条相交直线确定一个平面

B.平行于同一平面的两条直线平行

C.标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度

D.若某种奖券的中奖率为0.1,则抽奖10次必有一次中奖

【解答】解：对于A:

如图任取直线。上与O不重合的另一点尸，直线6上与。不重合的另一点。，

则点O,P,Q三点不共线，公里2：不在同一条直线上的三点可以确定一个平面，

所以过点O,P,。有且只有一个平面

由Owe,Peer.结合公里一可得：aua,同时，ua,

所以过两条相交直线a,6有且只有一个平面a,即两条相交直线确定一个平面，故A正确；

对于8：平行于同一平面的两条直线平行，相交，异面，故8错误；

对于C：标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度，故C正确；

对于。：若某种奖券的中奖率为0」，只能表示抽一次中奖的可能性为0.1,不能表示抽奖

10次必有一次中奖，故。错误；

故选：AC.

10.（5分）（2021春•烟台期末）已知圆锥的底面半径为1,高为2人，S为顶点，A,B为

底面圆周上两个动点，则（）

A.圆锥的体积为2VLr

B.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为士开

3

C.圆锥截面SA8的面积的最大值为2及

D.从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为36

【解答】解:因为圆锥的底面半径为1,高为2啦，所以圆锥的母线长SM=Jl+（2扬2=3,

则：

对于A,圆锥的体积V=xFx2>/5=述不，故A错；

33

O-rr

对于8,设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为a,则2%xl=ax3,a=——，故8正确；

3

对于C,当圆锥截面SAB为圆锥的轴截面时，其面积最大值，最大值为Lx2x2a=2夜，

2

故正确；

对于D,从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为圆锥展开图中线

段仪的长度，AAi=2ASsin60°=3y/3.故£>正确.

故选：BCD.

11.（5分）（2021春♦烟台期末）在正方体ABCO-AgCQ中，点。为线段上一动点,

A.对任意的点。，都有BQJ_CQ

B.三棱锥B-8C。的体积为定值

C.当。为A"中点时，异面直线片。与3C所成的角最小

D.当。为AR中点时，直线用0与平面BCC4所成的角最大

【解答】解：连接BQ,AC,CR,

在正方体A38-A8CR中，底面正方形中，ACrBD,

又8耳_L平面ABC£>,ACu平面/WCD,

则AC_LB瓦，又q=B,

所以ACL平面B8Q,又BQu平面BBQ,

则AC_L4。，同理可证AQ且=A,

则耳。JL平面ACR,又点。在4R上，则CQu平面ACQ,

故与OJ.C4,故选项A正确；

设点。到平面33c的距离为〃，

由等体积法匕.=%一叫0=乱

BBQ,力9

因为A"//平面8BCG，

所以〃=至，

V

则Q-BBlc为定值，即三棱锥B-BCQ的体积为定值，

故选项8正确；

在BC、上取点Q1,使得BQ、=AQ,因为ADtUBC、,且AR=BQ,

所以AQ//BQ,且AQ=8Q1,则四边形A8QQ为平行四边形，

又A9J•平面4GC8,又BQu平面BCCB,

则AB±BCt,故四边形ABQ.Q为矩形，

过。作OO|//g8交Bg,BC分别于点01,O,

又B©上平面QQQ|,QOtu平面QQQ,

则BQ1QO],

又NQBR为B、Q与B£所成的角，

又因为BC//BC,BtC,=BC,

则NQ8Q为耳。与BC所成的角，设为。，

设正方体的棱长为1,BR=x,则BO=OQ=x(噫收1),

则O,e2=O.Q2+QQ;=(1-x)2+1=/-2x+2,

当x*0时，tana=能=J1二2"2_如)+]=卜(工-9+1,

B,0,Vx2Vxx\x22

因为0<%,1,所以L.1,

X

故当』=1,即x=l时，tana取最小值，则a取最小值45。，这时。与2重合,

X

当x=0时，。与A重合，此时a=90。，

综上所述，当Q与A重合时，异面直线用。与8c所成的角最小，

故选项C错误；

当Q为4A的中点时，为BG的中点，Qi为00的中点，

又因为B、Q与平面8CG与所成的角为NQB©,设NQBQ=fl,

则tan£=2=」一,

BQBQ

又B，Q：=x2+(l-x)2=2X2-2X+1,

故当x时，耳Q；取得最小值，贝han尸取得最大值，故/?最大，

所以当。为AR中点时，直线8©与平面8CC4所成的角最大，

故选项。正确.

故选：ABD.

12.(5分)(2021春♦烟台期末)算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如

图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位......上面一

粒珠子(简称上珠)代表5,下面一粒珠子(简称下珠)代表1,五粒下珠的大小等于同组

一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现

将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件4="表示的四

位数能被3整除"，B="表示的四位数能被5整除"，贝心)

梁7卜一上珠

档一

框、下珠

311I3

A.P(A)=-B.P(B)=-C.P(A|j8)=lD.P(AB)=—

83J1616

【解答】解：现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，

基本事件总数“=24=16,

设事件A=”表示的四位数能被3整除”，

事件A包含的四位数有：1155,1515,1551,5511,5115,5151,共6个，

P(A)=—=—,故A正确；

168

B="表示的四位数能被5整除”，

事件8包含的基本事件有:1115,1155,1515,1555,5555,5115,5155,5515,共8个,

：.P(B)=包=2，故8错误；

162

事件A|J8包含的基本事件有：

1155,1515,1551,5511,5115,5151,1115,1555,5555,5155,5515,共11个,

•••见或七,故C正确；

AB包含的基本事件有：1155,1515,1551,5115,共3个,

3

:.P（AB）=—,故。正确.

16

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）（2021春•烟台期末）甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8,乙的命中率为

0.7,若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为0.94.

【解答】解：甲、乙两人打靶，甲的命中率为0.8,乙的命中率为0.7,

甲、乙分别向同一靶子射击一次，

则该靶子被击中的对立事件为甲乙两人都没有击中，

・•.该靶子被击中的概率为：

P=l-（1-0.8）（1-0.7）=0.94.

故答案为：0.94.

14.（5分）（2021春•烟台期末）已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2,3,4,

则其体对角线长度为也.

一6-

【解答】解：设此长方体的棱长分别为。,b,c,则必=2,bc=3,ac=4,可得出?。=2遍，

解得〃=炖，b=旦,C=娓,

32

这个长方体的对角线长1=J（半）2+（乎）2+（后=等.

故答案为：叵.

6

15.（5分）（2021春•烟台期末）类比是研究数学问题的重要方法之一.数学家波利亚曾说:

“求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题在平面几何里，研究三角形三边

长度间的关系，有勾股定理：“设A4BC的两边AB_LAC,则A8?+AC?=8C?.”拓展到空

间，类比研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥

A-3C。的三个侧面MC,ACD,4）8两两互相垂直，则_S^BC+5^cp+

【解答】解：线的关系类比到面的关系，猜测：5%8=应比+5黑0+5配加.

证明如下：

如图作AE_LC。连BE,则BELCD.

SBCDBE1=；CD2(AB-+AE2)

=-(AC2+AD2)(AB2+AE2)

4

=^(AC2AB2+AD2AB2+AC2AE2+AD2AE2)

=^(AC2AB2+AD2AB2+CD2AE2)

故答案为：SAQ=S^c+S%,+S〃.

16.(5分)(2021春•烟台期末)在三棱锥P-ABC中，面PAB±面ABC，

PA=PB=AB=AC=2,ZBAC=-,则该三棱锥外接球的表面积为—

2—3

【解答】解：如图，

ABAC=-,.'BC的中点E为AABC的外心，

2

•；PA=PB=AB,则A/?由为等边三角形，设其外心为尸，

分别过E、F作平面84c与平面丛3的垂线，两垂线相交于O,

则O为三棱锥P-ABC外接球的球心，则OE=-V22-12=—,

33

又EC=LBC=6,

2

OC2=(—)2+(V2)2=-,

33

该三棱锥外接球的表面积为4万*?=也.

33

故答案为：—.

3

p

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）（2021春•烟台期末）如图，在空间四边形至8中，E,F,G,H分别为

棱他，AD,CD,的中点.

（1）求证：四边形E尸G”为平行四边形；

（2）当对角线AC与比>满足什么条件时，四边形EFG”为正方形？（给出一个满足题意

的条件即可，不必证明）.

【解答】解：（1）证明：连接因为E,尸分别为棱AB,的中点,

所以EF//BD,EF=-BD,同理“G//8D,HG=-BD,

22

所以肝//G”且所=G〃，

所以四边形EFGH是平行四边形.

（2）当AC_L%）且AC=Q时，四边形EFG//为正方形.

证明：连接AC,因为E,H分别为AB,8C的中点，

贝U&7//AC,EH=-AC,

2

由（1）可知，EF//BD,EF=>BD,又ACJ_8£）且AC=8£）,

2

所以EF工EH且EF=EH,

所以四边形为正方形.

R

18.（12分）（2021春•烟台期末）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考

核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、

其他延迟情况，分别评定为A,B,C,。四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、

罚款3元、罚款6元.假定评定为等级A,B,C的概率分别是°,.

4832

（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；

（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的

概率.

【解答】解：（1）设事件A,B,C,。分别表示''被评为等级A,B,C,D”.

由题意，事件A,B,C,D两两互斥,

483232

又C|JO="延迟送达且被罚款”，

所以P（CU。）=P（C）+P（D）=-.

8

因此“延迟送达且被罚款”的概率为

8

（2）设事件儿，B,,C,,。表示“第i单被评为等级A,B,C,D",i=\,2.

则“两单共获得的奖励为0元”即事件（44）u（Aa）U（A2G），

且事件与与，AQ-A2G互斥，

又24为）=:*!=],

oo04

339

又缺@=2（£）干方=*，

所以尸=PK“2）U（AG）U（4G）]

1995

=P^B）+P（AC）+P^C）=—+.

2i2t6412812832

19.（12分）（2021春•烟台期末）为调查高一、高二学生心理健康达标情况，某学校采用分

层随机抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试（满分:

10分）.经初步统计，参加测试的高-学生成绩=2,3,…，50）的平均分元=7.4,

方差=2.6,高二学生的成绩=2,3,…，40）的统计表如下:

成绩y456789

频数3711964

（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分了和方差5：；

（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分0和方差S3

4x3+5x7+6xl1+7x94-8x6+9x4一

【解答】解：（1）由题意可得，y=-----------------；----------------=6.5，

40

222

s；=京[3X(4-6.5)2+7X(5-65)2+llx(6_6.5)+9x(7-6.5)+6x(8—6.5)+4x(9—6.5『]=1.95

(2)由(1)可得,z=—(50x+40j)=—(50x7.4+40x6.5)=7,

s；-—[2.6+(7.4-7)2]+—x[1.95+(6.5-7)2]=—.

20.（12分）（2021春•烟台期末）如图，在直三棱柱A8C=A8C中，Zfi4C=90°,

4A=AC=1.

（1）求证：

（2）若AC与平面8CG与所成角的正弦值为半，求三棱锥A-ABC的体积.

【解答】(1)证明：•••A8，A4t,ABLAC,ACQ/L4,=A,

平面ACGA，

又ACu平面ACC/，ABVA.C,

又•.•直三棱柱ABC-A与G中，AA,=AC,

，四边形ACGA为正方形，则AC；_LAC.

■.■AC^AB=A,AC_L平面ABC；,而BC；u平面ABC；,

:.\CIBC,；

（2）解：过4作A£）_LBC，垂足为。，连C。，则AO_L平面BCGA，幺8为A0与

平面8CC蜴所成的角.

1.•AA,=AC=1,AC=>/2,

.-.sinZ^CD=^=^=—,得40」.

4c1242

AD1

在必△AG。中，•・•sinNAG£>=-^—=-，.•.4GD=300・

AG2

在必△A8c中，有4q=AGtan3(r=日.

”,z11,1x/373

Kt-ABC=V»-AAC=Tx-xlx,x-r=77-

□Z□1o

21.（12分）（2021春•烟台期末）《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行.某

社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100

分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中，"的值；

（2）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；

（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间［80,90）和［90,100］的居民中，采用分层随

机抽样，确定了5