2022-2023学年上海市闵行区高二年级上册学期期末数学试题含答案

2022-2023学年上海市闵行区高二上学期期末数学试题

一、填空题

I.直线4x+3y-5=0的一个法向量为.

【答案】（4,3）（答案不唯一）

【分析】根据直线的法向量的求法写出一个即可.

【详解】解：由题知直线4x+3y-5=0的一个方向向量为（3,T）,

故该直线的一个法向量可为（4,3）.

故答案为：（4,3）（答案不唯一）

2.若。是4+加，4—，〃的等差中项，则。=.

【答案】4

【分析】根据等差中项的性质得到方程，解得即可.

【详解】解：因为。是4+机，4-优的等差中项，

所以勿=4+〃？+4-加,所以a=4.

故答案为：4

3.以点（3,4）为圆心，且经过原点的圆的方程为.

【答案】（x-3）2+（y-4）2=25

【分析】设圆的方程为（》-3）2+（），-4）2=/，再把原点坐标代入求出产可得答案.

【详解】由题设圆的标准方程为（x-3）2+（y-4）2=/（r>0）,

因为原点在圆上，所以产=（3-0）2+（4-0）2=25,

所以圆的标准方程为（x-3y+（y-4）2=25.

故答案为：（x-3『+（y-4）2=25.

22

4.双曲线v匕-土=1的离心率为.

416

【答案】V5

【分析】根据双曲线方程求出〃、。，即可得解.

【详解】解：双曲线目一二=1,则〃=4,〃=16,

416

所以。=2,c=y)a2+b2=2A/5,

所以离心率e=£=石.

a

故答案为：石

5.过点（0,4）作直线与抛物线），2=x有且仅有一个交点，这样的直线可以作出_____条.

【答案】3

【分析】讨论三种情况：当直线的斜率不存在时符合题意；当直线的斜率k存在，当％=0时符合题

意；当％/0时，过点（0,4）的直线/与抛物线丫,—相切符合题意.

【详解】解：（1）当过点（0,4）的直线斜率不存在时，显然x=0与抛物线丁=》有且只有一个交点,

（2）①当过点（0,4）且直线与抛物线丁=”的对称轴平行，即斜率为0时，显然），=4与抛物线丁=》有

且只有一个交点，

②当直线过点（0,4）且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，

设直线方程为丫=履+4,代入到抛物线方程y'x,消y得：22/+（弘-1b+16=0,

O11

由已知有&H0,则A=（8后一I）-64公=。，解得上=%，即直线方程为、二二彳+工

1616

综上可得：过点（0,4）的直线/与抛物线尸有且只有一个交点的直线/共有3条

故答案为：3

6.直线4：x-3y+3=O与直线4：x+y=0的夹角记为6,贝ljcos6=.

【答案】乎

【分析】根据直线方程可确定两直线倾斜角的正切值，由tane=Mn（a-q）|,结合两角和差正切公

式可求得tan。，进而由同角三角函数关系求得cos。.

【详解】设直线44的倾斜角分别为32,则tan，=g,tan2=-l,

4

tan9-tan0_3_

tan0=「an-％)卜X2

1+tanqtan022

3

又°，S，.\cos0=—.

L2」5

故答案为：臣.

7.已知集合知=｛伍）兆2+〉244｝与"=｛（兑州（》-1）2+&-1）24，/>0卜曲足〃门"=",则『的

取值范围是

【答案】（0,2-应］

【分析】分别求出两圆的圆心坐标与半径，由McN=N,可得NqM,即两圆内切或内含，通过

半径关系即可求得答案.

【详解】解：方程V+y2=4表示以0（0,0）为圆心，4=2的圆，

（x—炉+6―1）2=/表示以A（U）为圆心，4的圆，

则集合时=｛（用冷卜2+产44｝表示以。（0,0）为圆心，12的圆形区域内点的集合（包含边界），

集合"=｛（苍》）|（1-1）2“/>0｝表示以4（1,1）为圆心，4=，的圆形区域内点的集合（包

含边界），

因为McN=N,所以圆A与圆。内切或内含，

所以网=042-r且r>0,解得0vrV2-忘,即，€（0,2-夜］.

故答案为：（0,2-夜］

8.若点P,。在双曲线炉-9=2023的渐近线上，且△OP。的面积为1（O为坐标原点），则|尸口长度

的最小值为.

【答案】2

【分析】先求出渐近线方程，发现两渐近线垂直，设出P,Q两点坐标，根据△OPQ面积为1,得出坐标之

间关系，用坐标表示|尸口,再用基本不等式即可.

【详解】解:由题知双曲线方程为炉-港=2023,

所以双曲线渐近线为丫=±£

故两条渐近线斜率之积为-1,

即两渐近线垂直，

故△OP。为直角三角形，

记尸（方,与）,。（刍,一%）,

2

所以|。4=Jx：+x：=>/21x,|,|（?2］=+x2=\/2|X2|,

因为三角形OPQ的面积为1,

所以寸0斗|。(2|=1,

即夜国.夜归1=2,

解得|再|•同=1,

因为IPQ|二J(X|-々)，(占+々)

=yj2x；+2x；

242回公：

=判占勾

=2,

当且仅当㈤=同=1时取等,

故|PQ|长度的最小值为2.

故答案为：2

9.若直线y-l=Ar(x-2)与椭圆鸟+片=1恒有两个不同的公共点，则机的取值范围是.

16m

【答案】件16)(16,-KO)

【分析】首先求出直线过定点及方程表示椭圆时参数机的取值范围，依题意定点(2,1)在椭圆内部,

即可得到不等式，解得即可.

22

【详解】解：因为土+工=1表示椭圆，.••加>0且机工16,

16m

.、fx-2=0[x=2/、

对于直线y—l=Mx—2),令[y_]=0,解得=即直线恒过定点(2,1),

因为直线y-l=&(x-2)与椭圆工+f=1恒有两个不同的公共点，

16m

22

所以点(2,1、)在椭圆内部，所以9土+I工<1,解得相>彳4或〃?<0,

16m3

综上可得初(16,+00).

故答案为：($16)(16,+8)

10.若点P(x,y)在曲线1+(y_3『=l上，且不等式x+2y-f<0恒成立，则r的取值范围是.

【答案】r>2夜+6

【分析】不等式x+2yT<0恒成立，即/>(x+2y)1rax恒成立，取x=2cosa,y=3+sinc,aw[0,2TC)可

知（x,y）在曲线上，代入x+2y,利用辅助角公式即可求得最大值，求出范围.

【详解】解:由题知不等式x+2），T<0恒成立，

即r>x+2y恒成立，

只需，>（x+2y）a即可，

因为P（x,y）在曲线9+（y-3『=l上，

取x=2cosa,y=3+sina,a£[0,2兀），

即「（2cosa,3+sina）,

所以x+2y=2cosa+2sina+6

=2V2sin（a+0）+6

<272+6,

jr

当a+W=]时等式成立，

故（x+2y）a=2&+6,

即r>2a+6.

故答案为：，>20+6

11.设直线/：仪+6y+c=o,其中a,2b,C成等差数列.过原点。作直线/的垂线，垂足为尸，则产

到直线4x-3y+7=0距离的最大值为.

……23

【答案】y##4.6

【分析】根据等差中项的性质得到。+。=助，即可得到直线/恒过定点A（l,-4）,求出点A到直线

4x-3y+7=0的距离，即可得解.

【详解】解：因为。，2b,c成等差数列，所以a+c=4b,

直线/：ax+by+c^0,则直线恒过点A（l,-4）,

|4xl-3x（-4）+7|23

则点A（1,T）至U直线4x—3y+7=0的距离"="23?=弓'

23

过原点。作直线/的垂线，垂足为P,所以P到直线叙-3），+7=0距离的最大值一.

23

故答案为：y

12.如图，设曲线C是由G：y2=T6x+80（Y«y44）和C2：y2=4M-4744）组亦对于点B伍,0）,

若在曲线C上恰好存在6个不同的点2,p,2,叫，使得6和鸟，2和0,

2Q2,M2,M^UM2

都关于点B对称，则b的取值范围是.

【分析】首先判断这三对点中必有两组对称点，每一组对称点有一点在曲线9=4x（-4<y<4）上，

而另一点在曲线y2=-16x+80（Y<y<4）上，设（西,匕），（巧，％）关于B9,0）对称，即可得到方程

组，从而得此式到3y：=326-80,再根据此式有两个不同解，求出匕的取值范围，即可得解.

【详解】解：若R（Xo，%）是曲线y2=4x（Y4y<4）上一点，即y：=4x。，

如果它关于89,0）的对称点A'@,乂）也在此段曲线上，即谓=4次，

而:（%+乂）=0,即％=-乂，所以X=q=号=/，所以RR'垂直于x轴，

同理，若曲线y2=-16x+80（Y"44）上一点，如果它关于89,0）的对称点也在此段曲线上，则它

们的连线垂直于x轴，

结合抛物线的对称性，可知，对于任意的（0,5）之间的仇有且只有一对不同的点关于点8伍,0）对称.

为了在曲线上有三对不同的点关于8e,0）对称，则必须有两组对称点，

每一组对称点中必须有一点在曲线/=4x（-4<y<4）上，而另一点在曲线9=-16x+80（T<y<4）

上，

4=4%

y；=80-16X2

设（公,匕）,（如了2）关于8e,0）对称,则，^（x}+x2）=b>（Y<X，%<4）,

+必）=。

从而4y；—才=16（内+々）—80,即3y：=326-80,此式要在（-4,4）之间有两个不同解,

BP0<32^-80<48,解得Ep/?e^|,4J.

故答案为：（I，4）

二、单选题

22

13.“-3<〃z<5”是“方程」一+二一=1表示椭圆”的（）

5-m77?+3

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

22

【分析】先根据椭圆知识求出方程」一+工=1表示椭圆的充要条件，再根据必要不充分条件的

5-inm+3

概念可得结果.

225-m>0

【详解】因为方程一L=l表示椭圆的充要条件是〃?+3>0,即-3〈加<5且相H1,故

5-tn/n+3_

5一mwm+3o

V2v2

“-3<5”是“方程_匚+-2_=1表示椭圆”的必要而不充分条件.

5-m772+3

故选：B.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了必要不充分条件，属于基础题.

14.A是定直线外的一定点，则过点A且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线

【答案】D

【分析】设动圆的圆心为C,因为圆C是过定点A与定直线/相切的，所以卜d,由抛物线的定

义，即可判断轨迹.

【详解】解：设动圆的圆心为C,定直线为/,

因为圆C是过定点A与定直线/相切的，

所以|C4|=d,

即圆心C到定点A和定直线/的距离相等.且A在/外，

由抛物线的定义可知，

C的轨迹是以A为焦点，/为准线的抛物线.

故选：D.

15.已知三角形中三边长为“，b,c,若Iga,\gb,Ige成等差数列，则直线奴+切=a与直线

法+cy=6的位置关系为()

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合

【答案】D

【分析】根据等差中项的性质及对数的运算可得ac=〃，再根据两直线的位置关系判断即可.

【详解】解：因为1g。，怆6,坨。成等差数列，所以lga+lgc=21gb,即四=从，

对于直线依+勿=。与直线力x+cy=6,满足g=2=色，

bcb

所以直线⑪+勿=。与直线匕x+£7=6重合.

故选：D

2

16.设双曲线/-左=1仅>0)的左右焦点分别为月，F2,双曲线上的点尸满足且

|明=3陶,则匕=().

A.夜B.73C.—D.正

22

【答案】A

【分析】根据双曲线方程求出。，再根据双曲线的定义及归周=3归国，求出|尸用、归闾，再分别

在二P。鸟、△尸。片中利用余弦定理，即可得到,2+从=5,从而求出从，即可得解.

2

【详解】解：双曲线丁-/=1e>0),则a=l,因为陷|=3|明且阀卜归闻=2a=2,

所以|四|=3,|P司=1,设NPOK=a,则NPOK=7r-a,

在△PO1中|P耳「=|。£「+|。叶-2|O耳|.|OP|cos（兀一a）,^9=c2+b2+2bccosa®,

所以①+②得10=2k2+。2),则,2+从=5,

又。2=1+〃，解得从=2,所以匕=&.

故选：A

三、解答题

17.已知圆C：(x-2)2+y2=l.

(1)判断直线y=x与圆的位置关系并说明理由;

(2)过点(3,2)向圆作切线，求切线的方程.

【答案】⑴相离

(2)x=3和3x-4y-l=0

【分析】(1)根据圆心到直线的距离即可判断直线y=x与圆的位置关系.

(2)分别讨论切线的斜率存在和不存在的情况，根据圆心到切线的距离等于半径求解即可.

【详解】(1)圆C：(x-2y+y2=i,圆心C(2,0),半径-1,

圆心C(2,O)到直线y=X的距离d=专=应>I,

所以直线与圆的位置关系为相离.

(2)当切线的斜率不存在时，设切线为x=3,

则圆心C(2,0)到直线x=3的距离〃=|2-3|=1=/，符合条件.

当切线的斜率存在时，设切线为：y-2=k(x-3),即米-y+2-3Z=0,

/、|24+2-3月

圆心C(2,0)到直线H-y+2-3左=0的距离d』十］

3

解得攵==,即切线为：3x-4y-l=0.

4

综上切线为：x=3和3x-4y-l=0

18.在等差数列｛%｝中，已知4=5.

⑴若电=1,求数列｛%｝的通项公式;

(2)若数列的前5项和Ss>10,求公差的取值范围.

【答案】⑴/=2〃-3

(2)J<3

【分析】(1)首先根据":与1察求出公差，即可求出通项公式；

4-2

(2)设数列｛%｝的公差为d,依题意可得q=5-3d,再根据等差数列求和公式得到Ss=25-5d,

从而得到不等式，解得即可.

【详解】(1)解：因为%=5,%=1，所以公差1=与乎=2,所以4=%+(〃-2”=2〃-3.

(2)解：设数列｛叫的公差为d,因为4=5,所以q+3d=5,则q=5-3d,

5x45x4

所以55=54+;—4=5(5-31)+:d=25-5d,因为S5>10,

所以25-5">10,解得d<3.

19.如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形2。尺5、内部的抛物线以及水平的杠杆48组成，其中

PS和QR分别与抛物线相切于A,B,A,8分别是PS和QR的中点.梯形的高和CQ的长度都是4米.

(1)求杠杆AB的长度；

(2)求等腰梯形的周长.

【答案】(1)20米

(2)10夜米

【分析】(1)以p。所在的直线为了轴，。为原点，PQ的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

设AB、8分别与y轴的交点为M、N点,根据已知条件求出

C,。坐标，设抛物线的解析式为、=办2(。<0),代入。求出抛物线方程，令产-2解得X可得答

案；

(2)由⑴PQ+SR=2AB=4夜米，设P(-p,0)(〃>0),直线”的解析式为>=丘+。(女/0),

把A、P代入解得左力，利用直线的的解析式与抛物线方程联立，再由A=0解得R=p2=孝，可

得AP,A,B分别是PS和QR的中点得QR=PS=2AP,从而得出答案.

【详解】(1)以PQ所在的直线为x轴，。为原点，PQ的垂直平分线为)'轴建立平面直角坐标系,

设AB、8分别与y轴的交点为M、N点，则》轴为图象的对称轴，

iiAM=MB=-AB,CN=ND=-CD,MN=0M=2米,PQ+SR=2AB,

22、

所以C(—2,-4),。(2,-4),设抛物线的解析式为丫=以2.<0),

代入£>(2,-4)得3=混("0)解得.=一1,所以尸4(_2<X<2),

当产-2时-2=4,解得'=±&,所以A£-2),8(血,一2),

所以A8=后卜夜)=20(米)，

所以杠杆AB的长度为2及米；

(2)由(1)PQ+SR=2AB=4血米，4卜&，-2),设尸(-p,O)(p>0),且p片垃,

直线AP的解析式为y=丘+6化H0),

2

把A、P代入得卜忌”：一2,解得.亚-p

2P'

叵-p

所以直线叱的解析式为y=——x+7衿，与抛物线方程联立得V+4一

72-p72-p-p-p

因为PS和QR分别与抛物线相切于A,B,

所以4--4P=0,解得p=立，

\l2-p2

经检验，/,=正是分式方程的根，符合题意，

2

所以6-孝,0),由勾股定理得AP=J近一曰］+22=¥米,

因为A,B分别是PS和。R的中点，所以。/?=p$=242=3&米,

所以。/?+/>5+/>。+5R=3忘+3夜+4夜=10夜米,

即等腰梯形的周长为10夜米.

22

20.已知双曲线C：.-亲■=［（〃>0,6>0）的左、右焦点分别为"、尸"直线/过右焦点心且与双

曲线C交于A、B两点.

（1）若双曲线C的离心率为6,虚轴长为2&，求双曲线C的焦点坐标；

⑵设a=l,b=B若/的斜率存在，且（KA+G8）-AB=0,求/的斜率；

（3）设/的斜率为J|,且|。4+。@=|。4-。石,求双曲线C的离心率.

【答案】（1）（-6,0）,（后0）

⑵土半

⑶2

【分析】（1）由离心率公式和的关系，即可得到结果；

（2）求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求出

直线的斜率.

（3）设直线/的方程为〉=网》-。），与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理，结合由题意得出的

0408=0，即可得到“、。的关系，从而求出离心率.

【详解】（1）解：由题意得力=2&,e=£=6,c2=/+〃，

a

解得。=\,b=V2,c=5/3,

故双曲线。的焦点坐标为（-后0）,（后（））.

（2）解：双曲线f一£=1,可得名（2,0）,

3

设4（不凹）,8（孙％）,直线/的斜率为：&=三?，

X2X\

设直线/的方程为y=Mx-2）,

y=kx-2k

联立直线与双曲线的方程।2V2，

------=1

3

1肖去y得（3-42）*2+4々2*-442-3=0,

由直线与双曲线有两个交点，则3—公工0且A=36（l+X）＞0,即

4上2、（、12k

可得％+X,=V—7，则乂+当=%（玉+々-4）=&-y--4=-y—）

7K-3-JJK—J

又6A=(X1+2,yJ,68=(刍+2,%)

+AB=0,可得(为+w+4,y+%>(々_%，%一凹)=0，

即(％+%+4)(%-。)+(%+丫2)(%-X)=。

将2=三&代入上式，可得用+赴+4+(*+%袂=0,

X2一工1

,曰4k2,12%,八,23

得—r-----F4"!■—z-------k=0t可得&=—>

k2-3k2-35

解得&=±巫，即/的斜率为士姮.

55

(3)解:右焦点为玛(c,0点设直线/的方程为y=%(x-c),A(x”y),8(孙力)，

y=k(x-c)

联立直线与双曲线的方程fV,

忆一铲=1

消去了得：(6-a2k2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0,

伊一八

A=4c2a4k4+42)(a242c2+a2^2)>0,

_-2ca2k2_-a2k2c2-a2b2

X'+X2=b2-a2k2，X'X2=b2-a2k2'

则212+々)]=a，

y,y2=^U|-c)(.x2-c)=k[x,x2+c-c(xtk?-t22

ClKu

由|OA+OB\=\OA-(?B|,得(OA+=(OA-OB^,

整理得OA-OB=0，贝iJx々+x%=0，

即a2b2+a2k2c2+k2{crb1-Z>2c2)=O,

贝!]a2b2+a2kz^a2+b2^+k2^crb2-b2(^a2+b2^-0,

a2b2

整理得

b4-a4-a2b2

因为/的斜率％=\E，所以或，.有③

整理得方=3/,

V55b-a-crb^

则c2-a2=3a2,c2=4a2，c=2a,

所以离心率e=£=2.

a

21.已知椭圆方程为:+乎=1,左右焦点分别为耳，F2,A(2,0)是长轴的右端点.点C在椭圆上,

C关于原点的对称点为8过C作直线/垂直于x轴，与x轴相交于M.

(1)当C为椭圆的上顶点时，求三角形KEC的周长(直接写出结果)；

(2)若C在第一象限，且直线与直线AC的斜率乘积为求tanNBAC；

(3)在(2)的条件下，设P。是椭圆上位于第四象限的两点(。在尸的右边)，直线/与线段PQ相交

于N,且满足|PNHQC=|PC|MM.判断四边形4QPB的形状，并说明理由.

【答案】⑴4+勺区；

3

(2)2；

(3)四边形AQPB是梯形，理由见解析.

【分析】(1)由椭圆方程求出“，"c,结合椭圆性质即可得；

(2)设C(%,%),由已知斜率之积为-g和点C在椭圆上，求得C点坐标后，判断出AC13C,在

直角三角形中计算；

(3)由|PNHQC|=|PCHQM得周=牖，由三角形面积公式得出NPCN=NQCN,贝心叱=一纭，

设QC的斜率为3直线QC的方程为k1=小-1),则直线PC的方程为=直线方程

与椭圆方程联立后求得Q,尸坐标，计算出“后即可得.

【详解】(1)a=2,b=更

3

C为椭圆的上顶点时，|c6|=|c闾=。=2,|耳段=2c=半,