2022-2023学年江苏省南通高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

I.已知集合汽={3,4,5},则N的真子集的个数为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】集合的元素是〃个，则其真子集个数是2"-1个.

【详解】N={3,4,5},则洋的真子集为:0,{3},{4},{5},{3,4},{3,5},{4,5}.

故选：C

2.下列图象中，表示函数关系y=的有（）

【答案】C

【分析】根据函数的概念逐一判断即可.

【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意x,都有唯一确定的y和它对应，由图象可看出，

对于A,当x=o时，y有两个值与其对应，不符合；

对于B,当x=o时，y有两个值与其对应，不符合；

对于c,符合定义域内任意x,都有唯一确定的，和它对应，可表示函数关系；

对于D,当x=i时，y有无数个值与其对应，不符合.

故选：c.

3.已知函数〃力=（加2-〃是幕函数，且xe（O,y）时，/（x）单调递减，则m的值为（）

A.-1B.IC.2或-1D.2

【答案】A

【分析】利用暴函数的定义及性质列式计算并判断.

【详解】•・・""=（浮一相-1）/,+止3是幕函数，

*'•/H2-7W-1=1,即（/%—2）（〃7+1）=0,解得加=2,或加=一1,

又当X«O,4W）时，/（力单调递减，・・・加+加一3<0，

当m=2时，m2+tn-3=3>0不合题意，舍去；

当机=-1,m2+相_3=_3<0,符合题意，

故加=一1.

故选：A.

4.镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来

更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，

折射率分别为狗，次，夜.则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）

A.甲同学和乙同学B.丙同学和乙同学

C.乙同学和甲同学D.丙同学和甲同学

【答案】C

【分析】判断出行，物，正的大小关系即可得出答案.

【详解】（为『=52=25,（J2）'0=25=32.V25<32....后〈啦.

又,；（百）=3*=9,（&）=21=8,\/3>>/2.

，有粥<0〈我.

又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄.

故选：C.

5.已知〃为实数，使“Vxe[3,4],x-a<0”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>4B.a>5C.a>3D.a>4

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的真假性求得〃的取值范围，然后确定其充分不必要条件.

【详解】解：依题意，全称量词命题：Vxe[3,4],x-a<0为真命题，

所以，a>x在区间[3,4]上恒成立，所以。>4,

所以使“以«3,4]空-4<0”为真命题的一个充分不必要条件是“4>5”.

故选：B

6.已知函数〃x)由下表给出，若〃〃%))=〃1)+/(3>/(4),贝拉。=

X1234

小)1312

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】结合表格数据可得/(1)+/(3卜/(4)的值，进而可求得了(%)的值，即可求得吃.

【详解】由题可得,〃/"()))=〃1)+/(3"(4)=1+以2=3,则〃％)=2,故为=4.

故选:D.

【点睛】本题考查了函数值的求法，利用表格中的数据是解决本题的关键,属于基础题.

7.己知函数“X)的定义域为[-2,2],则函数g(x)=〃3x)+J?的定义域为()

A.(0,1]B.0,yC.--JD.

【答案】D

【分析】根据题意列出不等式组，求解即可.

(-2^,x2卜2领Bx2

【详解】要使g(x)有意义，则l-xc,即x(xf”0,解得0<x，2，

所以函数g(x)的定义域为(0，1.

故选：D.

8.一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35

位数，请说出它的31次方根.这个35位数是……未等主持人报出第一位数字，速算专家己经写出了

这个数的31次方根：13.其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数.速算专家心中记住

了右表(表中常用对数为近似值).请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一

个整数，这个64次方根是()

真数常用对数真数常用对数

20.30111.04

30.48121.08

40.60131.11

50.70141.15

60.78151.18

70.85161.20

80.90171.23

90.95181.26

101.00191.28

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由题意可知103°4ag〈IO-",两边取对数，然后计算出。的取值范围，查表即可得出答案.

【详解】解：由题意得：

364:l

•.-10°<a<10',

.1030<10lg««<]031，

.•.3041ga64<31,即30<641ga<31,

3031

fellt—<lg«<—,即0.46875<lga<0.484375,

6464

又因为〃为整数，故根据上表可知：。=3,

故选：B

二、多选题

9.若不等式亚2+法+c>0的解集是卜;.2）,则下列对于系数”，匕，c的结论中，正确的是（）

A.a<0B.c>0C.a+h+c>0D.a-b+c>0

【答案】ABC

【分析】由一元二次不等式与一元二次方程根的关系及韦达定理可得仄c可用。的代数式表示，检

验各选项即可得结果.

a<0a<0

【详解】由题意知：一：+2=/=/,=-£

2a2

1ccc=-a

——x2=—i

2a

A项：a<(),即：A项正确；

B项：c=—4>0,即：B项正确；

33

C项：a+b+c=a—a-a=——a>0,即：C项正确；

22

33

D项：a-b+c=a+—a-a=—a<0,即：D项错误.

22

故选：ABC.

10.下列说法中，正确的是()

A.集合A={1,2}和8={(1,2)}表示同一个集合

B.函数/(x)=j3+2x-d的单调增区间为(-1』)

C.若log,3=a,log,7=b,则用。，力表示bg56=-^-

。+匕+1

2

D.已知“X)是定义在(T,0)U(0,T8)上的奇函数，当x>0时，/(x)=x+l-l,则当xvO时，

/(x)=-x2-^+l

【答案】BC

【分析】对于A,根据集合的定义即可判断；对于B,利用复合函数的单调性即可判断；对于C,

利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D,利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可

判断.

【详解】对于A,集合A={L2}中元素为数，集合8={(1,2)}为点，可知表示的不是同一个集合，所

以A选项错误；

对于B,根据3+2工-工220解得函数f(x)=j3+2x-d的定义域为[—1,3],

令f=3+2%--则y-y/t,

r=3+2x-炉为二次函数，开口向下，对称轴为x=l,所以函数，=3+2x-f在区间(—1,1)上单调递

增，在区间(1,3)上单调递减，

函数y=，为增函数，根据复合函数的单调性可知函数/(力=用左，的单调增区间为(T』)，

所以B选项正确;

对于C,因为log23=a,log?7=b,根据对数的换底公式可得

log?56=log?（7x8）=匾7+晦8=log?7+log[23=6+3

log4256=所以C选项正确;

log,42log,（7x6）log,7+log26log27+log23+log,2a+b+l

对于D,因为当x>0时，/(x)=x2+^-l,可令x<(),则-x>0,所以

〃T)=(T『+号-I—T

,又因为/(X)是定义在(-8,0)U(0,M)上的奇函数，所以

/口)=-/(-力=-/+：+1,与题干结果不符，所以D选项错误.

故选：BC.

11.已知4>0,b>0,且2a+妨=1,则()

A.2。-劝>-1B.&+2621C.ab<-^-D.a2+\6b2>-

648

【答案】ACD

【分析】对于A,利用换元结合不等式的性质即可求解；对于B、C、D三个选项可以利用基本不等

式证明求解.

【详解】对于A,因为2°+8匕=1,所以勿=1一幼，又因为〃>0,力>0,

所以加=l-8b>0,BPO<Z?<-,所以2a-汕=1一防一汕=1一1的,

8

又因为所以-1<方-助<1,可知A选项正确;

8

对于B,因为（右+2而（=4+46+4而=2"；8"+j2aq匕

当且仅当"加即退,。J时等号成立,

所以后+2〃小，可知B选项错误;

对于C,因为2〃+8〃=122,解得“。4不，当且仅当2a=助，即”=:，匕=7时等

64416

号成立，可知C选项正确；

对于D,因为2。+助=1,所以a+46=g,

grpi21-72a?+16A?+a~+16b~67"+16"4-2,tz,4Z?（a+4b）~1

以az+16/r=-------------------------->-------------------------=----------=一，

2228

当且仅当a=4b,即〃=!，6=L时等号成立，可知D选项正确.

416

故选：ACD.

12.定义在（Tl）上的函数F（x）满足〃x）+.f（y）="Wj,当—l<x<0时，/（x）<o,则以下

结论正确的是（）

A./（O）=OB."X）为奇函数

C.“X）为单调减函数D.〃x）为单调增函数

【答案】ABD

【分析】A.令x=y=O求解判断；B.令>=一％求解判断；CD.令彳=占，y=-x2,且公<、2，由

优）=〃斗）+〃-々）=/仁二五］判断其符号即可.

【详解】解：令x=y=o得〃（））+〃0）=/（（））,即得/（o）=o,A正确；

在定义域范围内令y=-x得〃X）+〃T）=〃O）=O,即得"X）是奇函数，B正确;

令X=X|,y=-x2,且王<x2,

所以/（占）一/（々）=/（由）+/（-々）=/｛：一%］，

又玉一马<0且.一1<X<1，-1<X2<1,

所以（1一玉七）一（々一芯）=（1+玉）（1一%）>0,即<0,

所以即，&）<♦（%）

所以f（x）在上是单调增函数，D正确，C错误.

故选：ABD.

三、填空题

/।、一脸3

13.计算：1.

【答案】3

【分析】根据指数幕运算法则、对数恒等式运算即可.

/［\-Jog,3

【详解】解：忖=2够3=3.

故答案为：3.

14.已知函数/(2x)=3f+l,则〃力=.

【答案】Jf+l

4

［分析］用换元法求解析式，令t=2x,得x=；，代入/(2x)=3/+1，即可得到/(x)的解析式

【详解】解：令f=2x,得x=；,代入/(2x)=3d+l得/⑺=3X(；］+1=12+I

即f(x)的解析式为八幻=枭2+1

4

故答案为：—x2+1

4

15.已知为正实数，则上+若」的最小值为________.

x2x+y

【答案】6

Z+_16_

【分析】将原式变形为x2+』，结合基本不等式即可求得最值.

X

V16X£+*-

【详解】由题得上+暑=x7+y,

x2x+y2+一

■x

设2=r(f>0),贝lj/(r)=r+旦=r+2+-^--2>2./(7+2)---2=8-2=6.

x2+t2+tV2+t

当且仅当f=2时取等.

所以j4三的最小值为&

故答案为：6

四、双空题

16.已知函数/(x)=«2!4y,其中m>o,

［x-2nvc^-5m,x>m

(1)若函数/(X)在(0,+8)单调，则实数m的范围是；

(2)若存在互不相等的三个实数演，々，W，使得/&)=/(9)=/«)，则函数y=VTT嬴-，"的

值域为.

【答案】(0,3］(e,-1)

【分析】（I）利用单调性的定义进行处理.

（2）利用函数图象以及换元法来处理.

【详解】（1）当上46时,/（x）=2|x|,在（0,峰）单调递增,当时,f（x）=x2-2mx+5m,其

对称轴为工=①，所以/（x）在（，",+oo）

上单调递增，若函数/（x）在（0,+8）单调，则〃/-2m2+5〃?22|，”|=2〃?，

解得0<加43.

（2）若/（x）存在互不相等的三个实数不，演，X,,使得/（与）=/（&）=/（玉），

则，（x）的图象如图所示：

则2|间=2"?>〃?2-2/"2+5〃?，即〃，-3〃?>0,解得，”>3或机<0（舍去）.

对于函数丫=（1+5-〃?,令f=J1+〃1，t>2,所以y=一（产T）=-/+f+l,

其对称轴为f=g,所以>=-"+11在（2,+8）上单调递减，所以y<-22+2+l=-l,则函数

y=y/\+m-m的值域为（—0,-1）.

故答案为：（0,3],（-,—1）.

五、解答题

17.（1）求8「_（百-0+的值；

!_1

（2）已知1X+XT=14,求三+“+4的值.

X2+X-2-200

84

【答案】（1）-;（2）--

【分析】（1）利用指数事的运算性质化简计算即可;

（2）把■平方，结合x+x-'=14即可求得1利用x2+x-2=（x+/）2-2可得f+x-2的

人I-人人I-人\/

值，代入所求的式子即可得答案.

【详解】⑴81；-心一@"+偿j=（34）L+（|『=3-l+|q；

/I1\2I

（2）+/x+/+2=16,—＞0,=4，

22

x+x-=（x+x-y-2=194,.丁+”+4-4+4=4.

•*+/_200194-2003

18.已知命题P：对任意实数x,不等式"£-2x+」＞0都成立，命题4：关于x的方程

2

4/+4（机-2）》+1=0无实数根.若命题。，4有且只有一个是真命题，求实数机的取值范围.

【答案】（1,2]up，y）

【分析】先求出夕真、4真时机的取值范围，根据题设条件可得。真＜7假或P假＜7真，从而可求出实

数，〃的取值范围.

【详解】若"真，对任意实数X,不等式,我2-2》+；＞0都成立.

当〃?=0时，显然对于任意实数x,不等式-2x+；＞0不都成立

当"zwO时，\,解得加＞2

[m＞0

P真时，m＞2；

若q真,则方程4/+4（m-2）x+l=0无实数根，

A16（«?-2）2-16＜0,

；.夕真时，l＜/n＜3.

•••命题。、4中有且仅有一个真命题，

...当P真夕假时，加＞2且”e（—8,l]U[3,T8）,故实数m的取值范围是：加23；

当P假4真时，〃?42且故实数，〃的取值范围是：1＜机42；

综上，实数m的取值范围为。,2]53,及）

19.已知函数〃x）=坐是定义域（-L1）上的奇函数.

（I）确定“X）的解析式:

(2)用定义证明：〃x)在区间(-1,1)上是减函数:

⑶解不等式f(i)+f(/)<o.

【答案】(1)〃力=告；(2)证明见解析；⑶

【解析】(1)利用奇函数的定义f(-x)=-/(x),经过化简计算可求得实数b,进而可得出函数

y=/(x)的解析式;

(2)任取毛、马«-1』)，且玉<与，作差〃与)-/(切，化简变形后判断〃%,)-/(七)的符号,

即可证得结论；

(3)利用奇函数的性质将所求不等式变形为再利用函数y=/(x)的定义域和单调

性可得出关于r的不等式组，即可解得实数r的取值范围.

【详解】(1)由于函数/.(力=坐是定义域(-U)上的奇函数，则/(一尤)=一/(外，

X—1

-x+bx+b

即(—)2+广一",化简得人=0,因此,

(2)任取4、Xje(-l,l),且王<X2，即

司(考-1)一々(片-1)_伍一幻(菁玉+1)

Aj—1—](jtf-1)(^2-1)(占T(X+1)-1)(%+1)

v-1<x,<x2<1,/.x2-Xj>0,x[x2+1>0,X,-1<0,Xj+1>0,x2-1<0,x2+1>0.

.,"(石)-〃々)>0，.,"(%)>/(%)，因此，函数y=f(x)在区间(T,1)上是减函数;

(3)由(2)可知，函数y=/(x)是定义域为(-1,1)的减函数，且为奇函数,

由/(f_l)+/(r)<0得f(r_l)<_/(0=/(T),所以解得:<,<1.

-1<Z<1一

因此，不等式/«-1)+/(。<0的解集为

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解,

考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.

20.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线A3是以点E为圆心的圆

的四分之一部分，其中E(0,r)(0<f425),轴，垂足为F；曲线3c是抛物线

y=-/+50（”>0）的一部分；CDLOD,垂足为。，且8恰好等于E的半径，假定拟建体育馆

的高。3=50（单位：米，下同）.

FO\Dx

⑴试将。户用。和，表示;

（2）若要求体育馆侧面的最大宽度。尸不超过75米，求。的取值范围.

【答案】⑴DF=5Q-f+口,（0<r<25）

【分析】（1）根据抛物线方程求得3（（）,50）,从而可得半径，即C£>=50-f,进而求解出C点坐标后,

可知。F=50T+

（2）根据题意，。尸=507+JL475恒成立，即”之了匚叠恒成立，再根据基本不等式求最值

Y（IT十十DU

即可得答案.

【详解】（1）解：由抛物线方程得：8（0,50）..BE=50-1,

,:BE,CQ均为圆的半径，

.♦.CD=50T,圆£的半径为：507,

C（2,50T）,入抛物线方程可得50T=-ox；+50,解得x0=A，

:曲线AB是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E（0"）,AFLx轴，垂足为F,

OF=AE=50-t,

：.DF=OF+OD=50-t+-,（0<r<25）.

（2）解：：要求体育馆侧面的最大宽度。尸不超过75米,

%5,整理可得：^^77625+50

DF=50-t+

・."£((),25],

625

tH-2---2-痘-^=50(当且仅当f=25时取等号),

—!—<_L

625-100

Z++50,

Cl2----.

100

的取值范围为：击，+8)

21.已知集合4=卜卜=J2X-X?},集合8={小2-刀+“-/<()}.

(1)若ADB=A,求”的取值范围;

⑵在AcB中有且仅有两个整数，求。的取值范围.

【答案】⑴[0J；

⑵(l,2]UE,0).

【分析】(1)根据二次根式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合并集的性质分类讨论进行求

解即可；

(2)根据集合交集的定义，结合题意进行求解即可.

【详解】(1)由2、一/20=04工42,所以4=[0,2].

由X"—X+Q—Q~<0(x—〃)[x—(1—〃)]<0,

因为Au3=A,所以

当a=l-a时，即”=!时，不等式为(x-：)2<0,显然该不等式解集为空集，

22

即3=0,显然BgA成立；

当a>l-a时，即时，B=(l-a,a),

2

10K1—a11

要想B=只需"=a41,所以彳<“41；

[a<222

当a<l-a时，即时，B=(a,l-a),

2

上工(OMa11

要想8=A,只需<^>a>0,而4<彳，所以04。<二，

[1—a0222

综上所述：a的取值范围为[0,1];

(2)由(1)可知：当a=；时，8=0,此时Ac8=0不符合题意；

由(1)可知：当时，B=(l-a,a),

2

l-a<0-0<l-a<l

要想AcB中有且仅有两个整数，只需或a>2

\<a<2

fl-a<01

由]<。<2印<找2,显然a〉，,所以152,

0<1-41<1

由

a>2

所以1<“42；

由(1)可知：时，B=(a,l-a),

2

a<0

要想4cB中有且仅有两个整数，只需K,/、，或

a<01

由^=>-l<a<0而〃<一，即一1<”0,

l<l-a<292

0<a<l

由

l-a>2

所以一1«”0,

综上所述：〃的取值范围为(1,2]U[-1,。).

【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根的大小确定一元二次不等式的解集，分类讨论是解题的

关键.

22.对于定义域为。的函数y=/(x),如果存在区间同时满足：①"X)在口?,〃]内是单

调函数；②当定义域是[/”,〃]时，“X)的值域也是[见〃],则称[，〃,”]是该函数的“优美区间

⑴写出函数/(月=3/的一个优美区间，，；

(2)求证：函数g(x)=4+B不存在“优美区间”；

(3)已知函数y=〃(x)="少-％eR,a*0)有“优美区间”[〃[,«],当。变化时，求出〃-机的最大

a2x

值.

【答案】(1)。2]

⑵答案见解析

⑶亚

3

【分析】(1)结合“优美区间”的定义，即可写出函数〃x)=g/的一个“优美区间”；

I=n

(2)若函数存在“优美区间”，可得函数g(x)在［孙网上单调递减，从而