集合与常用逻辑用语知识点梳理

集合与常用逻辑用语，推理与证明，算法，复数，坐标系与参数方程知识点梳理一.集合的概念与运算集合与元素集合中元素的三个特征：—元素与集合的关系是或集合中元素的三个特征：—元素与集合的关系是或、 、 .两种，用符号―或表示.集合的表示法：列举法、描述法.常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN/或N*）ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xEA，贝xEB)AWB（或B A）（^）或真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB（或B__A）集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集A=B3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号AUB={ }ACB={ }捎= }4.集合关系与运算的常用结论若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为个，非空子集个数为 个，真子集有个.AQB^AHB=A^AUB=B.方法与技巧］集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检-验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.

对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.失误与防范］解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.二.命题及其关系。充分条件与必要条件四种命题及相互关系原命题

(若p.则甲)香命题原命题

(若p.则甲)香命题逆命题

(若营,如也)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系充分条件与必要条件⑴如果p=q，则p是q的条件，同时q是p的条件；如果p=q，但q力p，则p是q 条件;如果p=q，且q=p，则p是q的条件；如果q=p，且p书q，则p是q的条件；如果p力q，且q力p，则p是q的既不充分又不必要条件.方法与技巧］写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.充要条件的几种判断方法定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.等价法：即利用AnB与-Bn-A；BnA与-A=-B；AS与BS的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.利用集合间的包含关系判断：设A={xp(x)}，B={x|q(x)}:若AJB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A真包含于B，则p是q的充分不必要条件，若A=B，则p是q的充要条件.失误与防范］当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.三简单的逻辑联结词.全称量词与存在量词全称量词与存在量词⑴常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等全称命题与特称命题含有全称量词的命题叫全称命题.含有存在量词的命题叫特称命题.命题的否定全称命题的否定是特称命题：特称命题的否定是全称命题p或q的否定：非p且非q：p且q的否定：非p或非q.简单的逻辑联结词命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.简单复合命题的真值表：pq-p-qp或qp且q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假方法与技巧］把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且"时，要结合语句的含义理解.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论".失误与防范］p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p且q为真命题，必须p、q同时为真.两种形式命题的否定p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.命题的否定与否命题“否命题''是对原命题“若〃，则0”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p'，只是否定命题p的结论.归纳与类比归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.归纳推理的基本模式：a、b、cWM且a、b、c具有某属性，结论：任意dWM,d也具有某属性.类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理.类比推理的基本模式：力：具有属性a，b，c，d； 初具有属性a'，b'，c'；结论：B具有属性d'.（a，b，c，d与a'，b'，c'，d'相似或相同）归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确.演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.方法与技巧］合情推理的过程概括为从具体问题出发—*观察、分析、比较、联想—*归纳、类比|一|提出猜想演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理方法，是由一般到特殊的推理.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.失误与防范］合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.综合法与分析法。反证法1.综合法（1） 定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.（2） 框图表示：回酊一I。=01一叵云3一…一叵ms（其中p表示已知条件、已有的

定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).2.分析法(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法(2)框图表示:(2)框图表示:—p罗乙一•••一I得到一个明显成立的条件3.反证法我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论.［方法与技巧］1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.［失误与防范］用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证欲证)……”“即证……”“只需证 ”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.六数学归纳法数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：验证：当n取第一个值n0(如n°=1或2等)时，命题成立；在假设当n=k(kEN平Qn0)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时，命题成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.方法与技巧］数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：⑴归纳假设就是已知条件；(2)在推证n=k+1时，必须用上归纳假设.利用归纳假设的技巧在推证n=k+1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握n=k与n=k+1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.失误与防范］数学归纳法证题时初始值勾不一定是1;推证n=k+1时一定要用上n=k时的假设，否则不是数学归纳法.七算法与算法框图算法的含义算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决.算法框图在算法设计中，算法框图(也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤，算法框图的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构.三种基本逻辑结构(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构.构.其结构形式为辨骤乙|步骤甲：循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况.反复执行的处理步骤称为循环体.其基本模式为基本算法语句任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句.赋值语句一般形式：变量=表达式作用：将表达式所代表的值赋给变量.条件语句(1)If—Then—Else语句的一般格式为：7.循环语句(1)For语句的一般格式:方法与技巧］在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构.失误与防范]注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.注意选择结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，选择结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个选择结构，用于确定何时终止循环体.循环语句有“For语句”与“DoLoop语句”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来编写程序.关于赋值语句，有以下几点需要注意：赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3=m是错误的.赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y=x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x=Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值.在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=".八.复数复数的有关概念定义：形如a+bi(a,b是实数，i是虚数单位)的数叫作复数，其中a叫作实部，b叫作虚部.分类：满足条件(a,b为实数)复数的分类a+bi为实数ob=0a+bi为虚数ob^0a+bi为纯虚数0°=0且b^0复数相等：a+bi=c+dioa=c且b=d(a,b,c,dER).共轭复数：a+bi与c+di共轭Oa=c,b=—d(a,b,c,dER).模：向量OZ的模叫作复数z=a+bi的模，记作|z|,即|z|=\,：a2+b2(a,bER).复数的几何意义复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ=(a,b)(a,bER)是一一对应关系.复数的运算(1)运算法则：设Z]=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dERa_/ITt ± ±"7^瞪）缨十麟奶（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即况=OZ]+宓，—Z]Z2=OZ厂OZ1.方法与技巧]].复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.复数z=a+bi（a,bER）是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z=a+bi（a,bER），既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.失误与防范]].判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.两个虚数不能比较大小.注意复数的虚部是指在a+bi（a，bER）中的实数b，即虚部是一个实数九.坐标系与参数方程].平面直角坐标系'xf=A-x（义>0）,设点P（x,力是平面直角坐标系中的任意一点，在变换眩：｛, /八、 的作用下，[yf=^-y3>0）点P（x，y）对应到点P'（x'，y），称（P为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系

（1）极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点。，叫作极点，从。点引一条射线Ox,叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向（通常取逆时针方向）.这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系.对于平面内任意一点M，用p表示线段OM的长，0表示以Ox为始边、。M为终边的角度，p叫作点M的极径，0叫作点M的极鱼，有序实数对（p，0）叫做点M的极坐标，记作M（p，0）.当点M在极点时，它的极径p=0，极角0可以取任意值.（2）极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的任意一点，它的直角坐标是（》，力，极坐标是（p，0）.由图可知下面关系式成立：x=pcos0， p2=x2+y2，{.八或i.y.y=psin0 tan0=（x/0）x这就是极坐标与直角坐标的互化公式.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为尸的圆p=r(0W0<2n)圆心为（尸,0），半径为r的圆…n七兀、p=2rcos_0(—2<0<2)a an …一圆心为（r，少半径为r的圆Q ip=2rsin_0(0W0<n)过极点，倾斜角为a的直线0=a(pER)或0=n+a(pER)过点0,0），与极轴垂直的直线b〔”）壬pcos0=[(一壹<0<5

n过点/，f），与极轴平行的