第8讲加乘综合题

第八讲加乘综合题1．甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，现每组各选1人一起参加会议，一共有种选法；如果三组共同推选一名代表，有种选法。答案：120；15；解：各选1人，甲组有6种选法，乙组有5种选法，丙组有4种选法，一共有6×5×4=120（种）选法。三组共同推选1人，有6+5+4=15（种）选法。2．10颗相同的玻璃球分给3个人，每人至少1颗，有种分配方法。答案：36；解：当A分得8颗时，有10=8+1+1，有1种方法；当A分得7颗时，有10=7+2+1=7+1+2，有2种方法；当A分得6颗时，有10=6+3+1=6+2+2=6+1+3，有3种方法；……当A分得1颗时，有8种方法；综上所述，一共有1+2+3+…+8=36（种）分配方法。3．在1000到1999这些自然数中，个位数字大于百位数字的有个。答案：450；解：设1000到1999中的数字为，当a=0时，c可取1~9的任一数字，b可取0~9中的任一数字，于是共有9×10=90（个）；当a=1时，c可取2~9的任一数字，b可取0~9中的任一数字，于是共有8×10=80（个）；当a=2时，c可取3~9的任一数字，b可取0~9中的任一数字，于是共有7×10=70（个）；…………当a=8时，c可取9，b可取0~9中的任一数字，于是共有10（个）；所以符合条件的数由90+80+70+…+10=450（个）。4．在下图所示的线段中，至少包括“☆”和“△”中一个的线段有条。答案：21；解：所有的线段一共有1+2+3+…+7=28条，其中不含“☆”和“△”中至少一个的线段有5+2=6条（即5条1段的和2条由两段组成的），所以符合要求的线段一共有28–7=21（段）。5．在1、2、3、…、10000中，共有个数，其各位数字中恰好有两个连续的9。答案：261；解：在两位数中，只有99这样1个数，在三位数中，有199、299、399、…、899和990、991、992、993、…998，一共17个数，在四位数中，先选两个连续的位置，有三种选法，即99××、×99×、××99三种。对于99××，十位有9种选法，个位有10种取法，有90种方法；对于×99×，千位不能取0，9，个位不能取9，有8×9=72种方法；对于××99，千位不能取0，百位不能取9，有9×9=81种方法；所以有90+72+81=243（种）。综上所述，一共有1+17+243=261（个）数满足条件。6．不重复的使用数码0、1、2、3、4、5，请问共可组成个不同的三位偶数。答案：52；解：当个位不为0时，个位有2、4两种可能，个位确定之后，百位有4种可能，此时十位有4种可能，一共有2×4×4=32（个）数字。当个位为0时，百位有5种可能，十位有4种可能，有20个这样的三位偶数。所以一共有32+20=52（个）满足条件的三位偶数。7．用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是.答案：510234；解：十万位数字为1的六位数有5！=120（个），同样十万位数字为2、3、4的六位数都有5！=120（个），120×4=480，下面开始数十万位是5的六位数，其中万位为0的数有4！=24个，480+24=504，所以第505个数是万位为1的数中最小的数，即510234.8．2011这个数的各位数字之和为2+0+1+1=4，如果我们把各位数字之和等于4的自然数称为“学而思数”，那么2011是第个“学而思数”。答案：27；解：在一位数中，只有4这1个数；在两位数中有22、13、31、40这4个数，在三位数中有112、121、211、130、103、202、220、301、310、400，共10个数；在四位数中，比2011小的有1003、1030、1300、1210、1201、1102、1120、1012、1021、1111、2002，共11个，下面就该数2011了，所以2011是第1+4+10+12=27（个）数。9．过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件，其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件，那么妈妈送出这5件礼物共有种方法。答案：180；解：让小强先挑，那么小强可能选智力拼图或遥控汽车，当小强选智力拼图时，则小玉有2种选法，其余3人从其余的礼品中选，有5×4×3=60（种）选法，此时共有120种选法，若小强选遥控汽车时，小玉只能选学习机，其余3人从其余的礼品中选，有5×4×3=60（种）选法，此时共有60种选法，综上所述，一共有120+60=180种方法。10．若三位数（其中a，b，c都是非零数字）满足，则称该三位数为“龙腾数”，那么共有个“龙腾数”。答案：120；解：因为，所以a≥b≥c≠0，且a、b、c不全相等，（1）若a=b，则b>c，此时，当a=b=9时，c可以取8、7、6、…、1有8种取法，当a=b=8时，c可以取7、6、5、…、1有7种取法，…，当a=b=2时，c可以取1有1种取法，此时共有1+2+3+…+8=36个龙腾数；（2）b=c，则a>b，不满足，没有龙腾数；（3）当a>b>c时，应该有（个）龙腾数，综上所述，一共有36+84=120（个）龙腾数。11．有白、红、蓝、黄颜色的卡片各2张，共8张，相同颜色的卡片上写着相同的整数，不同颜色的卡片写着不同的整数，并且满足下列条件：（1）2张白卡片和1张红卡片上的整数之和是15；（2）8张卡片上整数之和是80；（3）1张红卡片上的整数的3倍与1张黄卡片上的整数相等；（4）某张白或蓝的卡片上写的是1；问题1：如果有若干张卡片上的整数和是35，那么，各种颜色的卡片的张数（0张就写0）：白张；红张，蓝张，黄张；问题2：如果从8张卡片中取出3张卡片，这3张卡片上整数之和有种可能。答案：（1）2；0；2；1；（2）16；解：由（4）假设白卡片上写的是1，由（1）知红卡片是13，由（3）知黄卡片则是39，这样卡片上的数和总和超过80，与（2）矛盾，所以白卡片不会是1，只能蓝卡片上的数字是1，以白卡片为基准，红卡片=15–2×白，黄=3×红=45–6×白，蓝+白+红+黄=40，即1+白+(15–2白)+(45–6×白)=40，得7×白=21，所以白卡片上的数字是3，问题1：红卡片上的数字是9，黄卡片上的数字是27，要使若干张卡片上的数字和为35，应取1张黄色的卡片，35–27=8，而红色卡片为9，所以红色卡片不能取，白色卡片为3，蓝色卡片为1，所以取2张蓝色、2张白色和1张黄色即可。问题2：若3张卡片的颜色都不同，则在4种颜色中选3种即可，有4种选法。若恰好有两张卡片颜色相同，则先选1种颜色，有4种选法，把它作为取2张卡片。再在其它3种颜色中确定取1张的卡片颜色，有3种方法，这样有3×4=12种方法。综上所述，一共有4+12=16（种）不同的选法。12．美国职业篮球联赛（NBA）总决赛在洛杉矶湖人队和波士顿凯尔特人队之间进行，比赛采用7场4胜制，即先获得4场胜利的球队将得到总冠军。比赛分主场和客场，由于洛杉矶湖人队常规赛成绩较好，所以第1，第2，第6，第7场均在洛杉矶进行，第3、4、5场在波士顿进行。最后湖人队在自己的主场获得总冠军，那么比赛过程中胜负结果共有种可能。答案：30；解：由于湖人队在自己的主场获得总冠军，所以只能是第6场或第7场取胜时完成。（1）如果是第6场获得第4场胜利，就是说在前5场比赛中是3胜2负，也就是在5个位置中选3个场次取胜，其余两场为负，，这样有10种胜负结果，再加上第6场取胜，完成4胜。（2）如果是第7场获得第4场胜利，需要前6场中取得三胜三负的结果，，有20种胜负结果，最后第7场胜利取得冠军。两种结果和在一起，一共有10+20=30（种）不同的比赛结果。13．任意给出一个数字不全相等的三位数（首位不为0），把这个数中的各位数字按递减的顺序和递增的顺序重新排列，并将所得的两数相减，即可得到一个新的三位数（首位可以为零）。这样的变化称为一次操作，继续对所得的结果进行操作，如此反复，总会得到一个结果为495，且结果不再变化，那么有个三位数只进行一次操作就得到495.答案：139；解：设这个三位数由a、b、c组成，且a≤b≤c，则，可知c–a=5，满足条件的数组有①c=5，a=0；②c=6，a=1；③c=7，a=2；④c=8，a=3；⑤c=9，a=4；（1）当c=5，a=0时，b=0时，有1个三位数（500），b=1、2、3、4时，各有4个三位数（如b=1，则有105，150，501，510），当b=5时，有2个三位数（505、550），这样一共有1+4×4+2=19（个）三位数；（2）当c=6，a=1时，b=1时，有3个三位数（611、116、161），b=2、3、4、5时，各有6个三位数（如b=2，则有126，162，621，612，216，261），当b=6时，有3个三位数（505、550），这样一共有3+4×6+3=30（个）三位数；同样当c=7，a=2或c=8，a=3或c=9，a=4时，也都有30个满足条件的三位数，综上所述，满足要求的三位数一共有4×30+19=139（个）。14．如图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走过1，从A出发，走4步恰好回到A的路有条。（途中不再回A）答案：54；解：恰好走4步回到A，分两种情况：①走两条边，即向前走两步，再往回走两步，回到A