2021-2022学年湖南省邵阳市月溪中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省邵阳市月溪中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是A. B.

C.

D.参考答案：A2.在极坐标系中，圆心在(),且过极点的圆的方程为 ()．A． B．C．

D．参考答案：A略3.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A4.“”是“直线与直线平行”的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：C略5.若复数，则=、

、

、

、参考答案：由已知，则=.故选.6.已知复数z，满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（）A． B． C．2+i D．参考答案：D【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：（z﹣1）i=i﹣1，∴﹣i?（z﹣1）i=﹣i?（i﹣1），∴z﹣1=1+i，∴z=2+i．则|z|==．故选：D．7.有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，三次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有几粒 （

）

A．21

B．24

C．27

D．30参考答案：C8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点D是边BC的中点，且，则△ABC的面积为（

）A. B. C.或 D.或参考答案：D【详解】由题可知，，则，或.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为.故答案为：D.【点睛】这个题考查了三角函数两角和差公式的逆用，以及向量的模长的应用，三角函数的面积公式的应用，题型比较综合.9.若函数在处取最小值，则（

）Ａ．

B．

C．

D．

参考答案：C10.（5分）数列{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定参考答案：B【考点】：数列的函数特性．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由于{bn}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{an}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．解：∵{bn}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{an}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．故选：B．【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种．参考答案：12.函数的最大值是

．参考答案：10略13.设曲线在点处的切线与直线平行，则

参考答案：114.展开式中的系数为10，则实数的值为

.参考答案：1．根据公式得，含有的项为，所以.15.某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是_________.参考答案：80略16.参考答案：m＜0或m≥5略17.若向量，满足，，且，的夹角为，则

，

．参考答案：，，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知在△ABC中，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求sinA·sinB的最大值．参考答案：（Ⅰ）由余弦定理及题设，得．由正弦定理，，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．因为，所以当，取得最大值19.（本小题满分14分）在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为,构成一个三棱锥．（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）证明平面；（3）求二面角的余弦值．参考答案：解：（1）平行平面……………………1分证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）所以平行…………………2分因为，所以平行平面………………4分（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变因为在折叠前，由于折叠后，点，所以……5分因为，所以平面……………………8分（3）解：所以是二面角的平面角.……………10分因为⊥，所以.在中，，由于，所以，于是…………………13分所以，二面角的余弦值为…………………14分

略20.已知与共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.参考答案：解：（1）因为m//n,所以.所以，即，

即

.

…4分因为

,所以.

故，.……………7分（2）由余弦定理，得.

又，

…9分

而，（当且仅当时等号成立）…………11分所以.

………12分当△ABC的面积取最大值时，.又，故此时△ABC为等边三角形.…14分21.已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x＞0且x≠1，f（x）﹣．（i）求实数t的最大值；（ii）证明不等式：lnn＜（n∈N*且n≥2）．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）（i）分类讨论，利用函数的单调性，即可求实数t的最大值；（ii）当x＞1时整理得，令，则，即可证明不等式．【解答】解：（1）由题意x∈（0，+∞）且，∴，又，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即x﹣2y﹣1=0．（2）（i）由题意知，设，则=，设，则，当t≥0时，∵x＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＜0，又，∴g（x）＜0不符合题意．当t＜0时，设?（x）=tx2+2x+t，①若△=4﹣4t2≤0即t≤1时，?（x）≤0恒成立，即h'（x）≤0在（0，+∞）恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，又h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＞0，，g（x）＞0，x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，，g（x）＞0，符合题意．②若△=4﹣4t2＞0即﹣1＜t＜0时，?（x）的对称轴，∴?（x）在上单调递增，∴时，?（x）＞?（1）=2+2t＞0，∴h'（x）＞0，∴h（x）在上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0，而，∴g（x）＜0，不符合题