【浙教版】九年级数学下册期末高效复习专题6：直线与圆的位置关系(含解析)

专题6直线与圆的位置关系题型一直线与圆的位置关系■例1[2017•余杭区一模]在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°,cos300）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（A）A.相交 B.相切C.相离 D.以上三者都有可能【解析】如答图，设直线经过的点为A,例1答图•・•点A的坐标为（sin45°cOS30°），AOA='J惇;+用2=*「••圆的半径为•・•点A的坐标为（sin45°OA<2,・•.点A在圆内，.•.直线和圆一定相交.变式跟进.[2017•市北区二模]。。的半径r=5cm,直线l到圆心0的距离d=4,则l与。。的位置关系是（C）A.相离 B.相切C.相交D.重合【解析】：。。的半径为5。山，圆心0到直线l的距离为4cm,5>4,即d<r,・,.直线l与。。的位置关系是相交..[2017•阳谷一模]已知等腰三角形的腰长为6cm,底边长4cm,以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是（A）A.相离 B.相切C.相交 D.不能确定【解析】如答图，在等腰三角形ABC中，作ADLBC于D,则BD=CD=1BC=2,.•.AD=\/AB=BD22=46=0=42>5,即d>r,・,.该圆与底边的位置关系是相离.J)第2题答图题型二切线的性质■例2[2016•天津]在。。中，AB为直径，C为。。上一点.⑴如图1①，过点C作。。的切线，与AB的延长线相交于点P,若NCAB=27°,求NP的大小；⑵如图②，D为弧AC上一点，且0D经过AC的中点E,连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P,若NCAB=10°,求NP的大小.图1解：（1）如答图，连结0C,・.・。0与PC相切于点C,例2答图.••OCLPC,即NOCP=90°,：NCAB=27°,.\ZCOB=2ZCAB=54°,在Rt^COP中，NP+NCOP=90°,AZP=90°-ZCOP=36°；(2)・「E为AC的中点，・•・OD，AC,即NAEO=90°,在Rt^AOE中，由NEAO=10得NAOE=90°—NEAO=80°

.,.ZACD=|zA0D=40°,乙•••NACD是AACP的一个外角,.,.ZP=ZACD-ZA=40°-10°=30°【点悟】已知切线，常常连结切点和圆心作半径.图 变式跟进连结AB,3.已知BC是。。的直径，AD是。。的切线，切点为A,AD交CB的延长线于点连结AB,⑴如图2①，求证：Z0AC=ZDAB；⑵如图②，AD=AC,若E是。。上一点，求NE的大小.图2图2解：（1）证明：・・飞0是。。的切线，切点为A,.-.DA±A0,.-.ZDA0=90°,,,.ZDAB+ZBA0=90°,•「BC是。。的直径，・•.NBAC=90°,.,.ZBA0+Z0AC=90°,AZ0AC=ZDAB；(2)V0A=0C,.\Z0AC=ZC,VAD=AC,.\ZD=ZC,.*.Z0AC=ZD,VZ0AC=ZDAB,,*.ZDAB=ZD,VZABC=ZD+ZDAB,,*.ZABC=2ZD,VZD=ZC,,,,ZABC=2ZC,VZBAC=90°,AZABC+ZC=90°,A2ZC+ZC=90°,AZC=30°,AZE=ZC=30°.题型三切线的判定■例3如图3,AB是。。的直径，BC^AB于点B,连结OC交。O于点E,弦AD〃OC,弦DFLAB于点G.

⑴求证：点E是弧BD的中点;⑵求证：CD是。。的切线.图3例3图3例3答图证明：(1)如答图，连结OD,・・・AD〃OC,.*.Z1=ZA,Z2=Z0DA,VOA=OD,.*.ZA=ZODA,.*.Z1=Z2,.*.BE=DE,即点E是面的中点；fOD=OB,(2)^A0CD^A0CB^,1Z2=Z1,.OC=OC,AAOCD^AOCB,.,,Z0DC=Z0BC=90°,.,.OD±CD,.・・CD是。。的切线.【点悟】证某直线为圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直”；如果不能确定某直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明它到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”.在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角.量 变式跟进4.如图4,AB是。。的直径，C,D为半圆。上的两点，CD〃AB,过点C作CE^AD,交AD的延长线于点E,ZA=60°.⑴求证：CE是。。的切线；⑵猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想.图4第4图4第4题答图解：（1）证明：连结OD,如答图所示.VZA=60°,OA=OD,•.△OAD是等边三角形，.\ZADO=ZAOD=60°.,CD〃AB,・,.NODC=60°,••OC=OD,・・・^COD是等边三角形，・•・NCOD=60°=NADO,・・・OC〃AE,:CE，AE,・・.CE，OC,・・・CE是。。的切线；⑵四边形AOCD是菱形.证明：由⑴得4OAD和4COD是等边三角形，.•.OA=AD=CD=OC,・•.四边形AOCD是菱形.题型四切线长定理及三角形的内切圆■例4[2017•邹平模拟]Rt^ABC中，NC=90°,AB=5,内切圆半径为1,则三角形的周长为（B）A.15B.12C.13D.14【解析】如答图，连结OA,OB,OC,OD,OE,OF,：。。是4ABC的内切圆，切点分别是D,E,F,AOD±AC,OE±AB,OF±BC,AD=AE,BE=BF,AZODC=ZOFC=ZACB=90°,VOD=OF,・•.四边形ODCF是正方形，.•.CD=OD=OF=CF=1,：AD=AE,BF=BE,且AE+BE=AB=5,•AD+BF=5,二△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=5+1+1+5=12.例4例4答图【点悟】（1）求证三角形内切圆的问题时，常用到面积法：S.ABC=1（a+b+c）r,其中r为△ABC的内切圆半径，a,b,c为4ABC的三条边的长度；（2）已知直角三角形的三边长a,b,;（3）解三角形与圆相切的问题时，常利用切线a+b;（3）解三角形与圆相切的问题时，常利用切线c（其中c为斜边），则内切圆半径-=-"一乙长定理及勾股定理等列方程（组）来求半径长.@ 变式跟进

.在^ABC中，ZABC=60°,ZACB=50°,如图5所示，I是4ABC的内心，延长AI交4ABC的外接圆于点D,则NICD的度数是（C）A.50°B.55°C.60°图A.50°B.55°C.60°图5【解析】•「△ABC中，ZBAC=180°-ZACB-ZABC=180°—50°—60°=70°,又：1是△ABC的内4,・・・NBCD=NBAD=1NBAC=35°,NBCI=1NACB=25°,・・.NBCD+NBCI乙 乙=35°+25°=60°,即NICD=60°..如图6,PA,PB是。。的切线，A,B为切点，AC是。。的直径，NP=60°.⑴求NBAC的度数；⑵当OA=2时，求AB的长.图6 图6 第6题答图解：(1);PA,PB是。。的切线，.\AP=BP,VZP=60°,・•.NPAB=60°,「PA是。。的切线，.\ZPAC=90°,AZBAC=90°—60°=30°；(2)如答图，连结OP,则在Rt^AOP中，OA=2,NAPO=30°,・・.OP=4,由勾股定理得AP=2\；'3•••AP=BP,NAPB=60°,・・・4APB是等边三角形，.\AB=AP=2-,.'3.过关训练入且础达标1.同学们玩过滚铁环吗？铁环的半径是30cm,手柄长40cm.当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（C）A.相离 B.相交C.相切 D.不能确定【解析】根据题意画出图形，如答图所示.第1题答图由已知得BC=30cm,AC=40cm,AB=50cm,VBC2+AC2=302+402=900+1600=2500,AB2=502=2500,.•・BC2+AC2=AB2,・・.NACB=90°,即AC^BC,・••AC为圆B的切线，即此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切.2.[2017•临沂模拟]如图1,4MBC中，NB=90°,NC=60°,MB=2、/3,点A在MB上，以AB为直径作。。与MC相切于点D,则CD的长为（C）图1A.\'2B.C.2 D.3【解析】在Rt△BCM中，tan60°=\；5=||,得至UBC=2^=2,：AB为。。的直径，且ABLBC,・BC为。。的切线，又・・・CD也为。。的切线，・・.CD=BC=2..[2017•西湖区校级二模]如图2,用一把带有刻度的角尺：（1）可以画出两条平行的直线a与b,如图①；（2）可以画出NAOB的平分线OP,如图②所示；（3）可以检验工件的凹面是否为半圆，如图③所示；（4）可以量出一个圆的半径，如图④所示.这四种说法中正确的个数有（D）① ② ③ 4.图2A.1B.2C.3 D.4【解析】（1）根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，可知正确；（2）可以画出NAOB的平分线OP,可知正确；（3）根据90°的圆周角所对的弦是直径，可知正确；（4）此作法正确.所以正确的有4个.a+b-c.[2017•金乡三模]已知AC，BC于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列选项中。。半径为"乙的是（A）【解析】 B.设AB切。。于F,圆的半径是y,连结OF,则△BCAs^OFA,得出北=10，代入求出丫=普；C.设AC，BC分别切。。于E,D,连结OE,OD,得到NOECbcab a+c=NODC=NC=90°,证出四边形OECD是正方形，设。。的半径是r,证△ODBs^AEO,得出*=需，代入即可求出「=鲁；D.设。°的半径是x,圆切AC于E,切BC于D,切AB于BDod a+bb+c—aF,同样得到正方形OECD根据a+x=c+b—x,求出*=二^一.乙.[2017•溧水区一模]如图3,在Rt^ABC中，NC=90°,NB=60°,内切圆。与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,则NDEF的度数为—五图3【解析】如答图，连结DO,FO,

第5题答图•・,在Rt^ABC中，NC=90°,NB=60°,...NA=30°,\•内切圆O与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,...NODA=NOFA=90°,，NDOF=150°,，NDEF的度数为75°.R♦打盘H6.如图4,在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。。与AB边交于点D,过点D作。O的切线，交BC于E.⑴求证：点E是边BC的中点；⑵当NB=45°时，四边形ODEC是正方形.图4第6图4第6题答图解：（I）证明：如答图，连结do,VZACB=90°,AC为直径，.EC为。。的切线.又・"0也为。。的切线，・・.ec=ed,XVZEDO=90°,.ZBDE+ZADO=90°.•.NBDE+NA=90°,又•.•/B+NA=90°.\zbde=zb,aeb=ed,・・.EB=EC,即点E是边BC的中点;⑵当NB=45°时，四边形ODEC是正方形VZACB=90°,.ZA=45°,•••OA=OD,・・.NADO=45°,.ZAOD=90°,.ZDOC=90°,・・・NODE=90°,・•.四边形ODEC是矩形，:od=oc,・•.矩形ODEC是正方形..如图5,。。的直径AB=6,NABC=30°,BC=6\.'3,D是线段BC的中点.⑴试判断点D与。O的位置关系，并说明理由；⑵过点D作DELAC,垂足为点E,求证：直线DE是。。的切线.解：(1)点D与。O的位置关系是D在。O上，理由：设BC交。。于F,如答图，连结AF,••AB为。。的直径，・・.NAFB=90°,AB=6,ZABC=30O,AAF=|AB=3,由勾股定理得bf=3\：3••BC=6\；3D为BC的中点，・,40=343即D,F互相重合，・・・D在。O上；⑵证明：连结OD,・「D为BC的中点，AO=BO,.\OD#AC,VDE±AC,AOD±DE,••OD为半径，，直线DE是。。的切线..如图6,已知PA,PB分别切。。于A,B,E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C,交PB于D.⑴若PA=6,求4PCD的周长；(2)若NP=50°,求NDOC的大小.解：(1)如答图，连结OE,・「PA,PB与。O相切，.•.PA=PB=6,同理可得AC=CE,BD=DE,...△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；

⑵・・・PA,PB与。O相切，.\ZOAP=ZOBP=90°,ZP=50°,.\ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°,在RtA在RtAAOC和Rt^EOC中，[OA=OE,

OC=OC,ARtAAOC^RtAEOC(HL),.•.NAOC=NCOE,同理：NDOE=NBOD,.\ZDOC=1ZAOB=65°.乙.[2017•曲靖模拟]如图7,C为以AB为直径的。。上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D.(1)求证：AC平分NBAD；⑵若CD=3,AC=3%：5求。O的半径长.图7第9图7第9题答图解：(1)证明：如答图，连结OC,VOA=OC,AZACO=ZCAO,•「CD