数列解答题的解法

数列解答题的解法第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析＞＞试题特点＞＞0311数列解答题的解法应试策略＞＞07第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

1.近三年高考各试卷数列考查情况统计2005年高考各地的16套试卷中，每套试卷均有1道数列解答题试题，处于压轴位置的有6道.由此知，数列解答题属于中档题或难题.其中，涉及等差数列和等比数列的试题有11道，有关递推数列的有8道，关于不等式证明的有6道.另外，等比求和的错位相减法，广东卷的概率和数列的交汇，湖北卷的不等式型的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点.2006年高考各地的18套试卷中,有18道数列解答试题.其中,与函数综合的有6道，涉及数列不等式证明的有8道，北京还命制了新颖的“绝对差数列”,值得一提的是，其中有8道属于递推数列问题，这在高考中是一个重点.试题特点←返回目录数列解答题的解法第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

2007年高考各地的各套试卷中都有数列题，有7套试卷是在压轴题的位置，有9套是在倒数第二道的位置，其它的一般在第二、三的位置，几乎每道题涉及到递推数列,有9道涉及到数列、不等式或函数的综合问题，安徽省还出现了一道数列应用题.

2008年高考各地的各套试卷中都有数列题，也都是几乎每道题涉及到递推数列,数列、不等式或函数的综合问题．综上可知，数列解答试题是高考命题的一个每年必考且难度较大的题型，其命题热点是与不等式交汇、呈现递推关系的综合性试题.当中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体，有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点，而数学归纳法的应用在2007年中有所增强.←返回目录试题特点数列解答题的解法第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

2.主要特点

数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在历年高考中占有重要地位，近几年更是有所加强.

数列解答题大多以数列、数学归纳法内容为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，其难度属于中、高档难度.

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。一般情况下都是一个客观题和一个综合解答题，数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法.其中的高考热点——探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中。←返回目录试题特点数列解答题的解法第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期三←返回目录试题特点1.考查数列、等差数列、等比数列、数列极限以及数学归纳法等基本知识、基本技能.2.常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养.3.常以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间.数列解答题的解法第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期三应试策略←返回目录第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

1.熟练掌握并灵活运用数列的基本知识是解决数列问题的基础.(1)等差、等比数列的判定：①利用定义判定；②an＋an＋2=2an＋1

{an}是等差数列，anan＋2=a2n＋1(an≠0){an}是等比数列；③an=an＋b(a,b为常数){an}是等差数列；④Sn=an2＋bn(a,b为常数，Sn是数列{an}的前n项和){an}是等差数列.(2)等差、等比数列的性质的应用：注意下标、奇、偶项的特点等.

←返回目录应试策略数列解答题的解法第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

(3)已知数列的前n项和求通项公式，这类问题常利用

an=

求解.(4)用递推公式给出的数列，常利用“归纳——猜想——证明”的方法求解.

(5)数列求和的基本方法：①公式法(利用等差、等比数列前n项和公式或正整数的方幂和公式）；②错位相减法(等比数列求和推导的基本方法)；③倒序相加法；④裂(拆)项法等.←返回目录应试策略数列解答题的解法第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

2.注意函数思想与方程思想在数列中的运用.

由于数列是一种特殊的函数，所以数列问题与函数、方程有着密切的联系，如等差数列的前n项和为n的二次函数，有关前n项和的最大、最小值问题可运用二次函数的性质来解决.等差(比)数列问题，通过涉及五个元素a,d(q),an,n,Sn,利用方程思想，熟练运用通项公式与前n项和公式列出方程或方程组，并求出未知元素，是应当掌握的基本技能.3.数列问题对能力要求较高，特别是运用能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑思维能力更为突出.在高考解答题中更是能力与思想的集中体现，尤其是近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们的足够重视.←返回目录应试策略数列解答题的解法第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录1.数列{an}和{bn}满足an=(b1＋b2＋…＋bn)（n=1，2，3…），求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列.

［证明］必要性若{bn}为等差数列，设首项b1，公差d∵an＋1－an=,∴{an}是公差为的等差数列充分性若{an}为等差数列，设首项a1，公差d则b1＋b2＋…＋bn=n［a1＋(n－1)d］=dn2＋(a1－d)nb1＋b2＋…＋bn－1=d(n－1)2＋(a1－d)(n－1)(n≥2)∴bn=2dn＋(a1－2d)(n≥2)当n=1时，b1=a1也适合∵bn＋1－bn=2d，∴{bn}是公差为2d的等差数列

［点评］要证明一个数列为等差数列，关键是抓住等差数列的定义：从第二项起，任一项与前一项的差都为一个常数，即相邻两项的差是一定值，证等比数列也是如此.数列解答题的解法第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录数列解答题的解法第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录数列解答题的解法第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录数列解答题的解法第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录数列解答题的解法[点评]：数列中的不等式问题，一般有放缩，构造函数这两类常见的方法，本题的第（2）问用构造函数证明考生要容易上手容易想一些。第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录数列解答题的解法第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录数列解答题的解法[点评]：数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解。第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析5.(2007·宁波市三中)已知数列{an}中，a1=1，nan＋1=2(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*).（1）求a2,a3,a4；（2）求数列{an}的通项an；（3）设数列{bn}满足，求证：bn<1(n≤k).←返回目录

［解析］

（1）a2=2,a3=3,a4=4数列解答题的解法第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期三（2）nan＋1=2(a1＋a2＋…＋an)①(n－1)an=2(a1＋a2＋…＋an－1)②①－②得nan＋1－(n－1)an=2an即：nan＋1=(n＋1)an，所以所以an=n(n∈N*)考题剖析←返回目录数列解答题的解法第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录（3）由（2）得：b1=,bn＋1=＋bn>bn>bn－1>…>b1>0，所以{bn}是单调递增数列，故要证：bn<1(n≤k)只需证bk<1若k=1，则b1=<1显然成立若k≥2，则bn＋1=所以因此：数列解答题的解法第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录所以所以bn<1(n≤k)［点评］求数列的通项，是数列问题中的常见问法，本题中关键是要抓住递推关系nan＋1=2(a1＋a2＋...＋an)(n∈N*)，得到关系后，再求an的通项，用累乘法.在平时的解题中，要注意积累一些递推数列问题的处理.数列解答题的解法第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录

6.(2007·东北四市长春、哈尔滨、沈阳、大连)数列{an}的首项

a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=(n≥2).

（1）求证：数列{}的通项公式；（2）设存在正数k，使(1＋S1)(1＋S2)…(1＋Sn)≥k

对一切n∈N*都成立，求k的最大值.数列解答题的解法第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

［解析］（1）证明：∵n≥2，an=Sn－Sn－1∴Sn－Sn－1=，∴(Sn－Sn－1)(2Sn－1)=2S，∴Sn－1－Sn=2SnSn－1∴=2(n≥2)，数列为首项，以2为公差的等差数列.考题剖析←返回目录数列解答题的解法第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

（2）由（1）知=1＋(n－1)×2=2n－1∴F(n)在n∈N*上递增，要使F(n)≥k恒成立，只需［F(n)］min≥k∵［F(n)］min=F(1)=

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［点评］本小题考查等差数列通项与前n项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题.数列解答题的解法第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析7.（2007·莆田四中）已知α为锐角，且tanα=－1，函数f(x)=x2tan2α＋x·sin(2α＋)，数列{an}的首项a1=,an＋1=f(an).（1）求函数f(x)的表达式；（2）求证：an＋1>an；（3）求证：←返回目录［解析］（1）tan2α==1又∵α为锐角∴sin(2α＋)=1f(x)=x2＋x数列解答题的解法第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

（2）∵a1=∴a2,a3,…an都大于0∴>0∴an＋1>an考题剖析←返回目录（3）由（2）知数列解答题的解法第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期三∵又∵n≥2时,an＋1>an∴an＋1≥a3>1∴1<2－<2∴1<<2考题剖析←返回目录

［点评］在高考题中，数列一般与函数、不等式、三角综合，本题中，表面上有三角函数，但可以通过对三角函数求值，将三角函数去掉.从而转化为一个递推数列的问题.数列解答题的解法第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

8.（2007·浙江省五校模拟题）已知函数f(x)=x－ln(1＋x),数列{an}满足0<a1<1,an＋1=f(an);数列{bn}满足,n∈N*.求证:（Ⅰ）0<an＋1<an<1;（Ⅱ）an＋1<;（Ⅲ）若a1=,则当n≥2时,bn>an·n!.考题剖析←返回目录数列解答题的解法第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

（2）假设当n=k时,结论成立,即0<ak<1.则当n=k＋1时,因为0<x<1时,f′(x)=1－>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在［0,1］上连续,所以f(0)<f(ak)<f(1),即0<ak＋1<1－ln2<1.故当n=k＋1时,结论也成立.即0<an<1对于一切正整数都成立.又由0<an<1,得an＋1－an=an－ln(1＋an)－an=－ln(1＋an)<0,从而an＋1<an.综上可知0<an＋1<an<1.考题剖析←返回目录

［解析］

(Ⅰ)先用数学归纳法证明0<an<1,n∈N*.（1）当n=1时,由已知得结论成立;数列解答题的解法第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录

(Ⅱ)构造函数g(x)=0<x<1,由g′(x)=>0,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在［0,1］上连续,所以g(x)>g(0)=0.因为0<an<1,所以g(an)>0,即.数列解答题的解法第三十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期三

(Ⅲ)

因为

b1=所以bn>0,,所以由(Ⅱ)所以因为a1=,n≥2,0<an＋1<an<1.所以由①②两式可知:bn>an·n!.考题剖析←返回目录

［点评］本题考查函数、数列、不等式、数学归纳法、导数等知识，考查综合运用知识、综合解题能力，是一道较难题.数列解答题的解法第三十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期三考题剖析←返回目录9.（2007·江苏启东中学）在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中An(n,an),Bn(n,bn),Cn(n－1,0)，满足向量

n＋1与向量共线，且点（Bn，n）在方向向量为（1，6）的线上a1=a,b1=－a.（1）试用a与n表示an(