振动之同方向的简谐振动的合成

振动之同方向的简谐振动的合成第一页，共十六页，编辑于2023年，星期三①当两个分振动同相时Δφ=φ2-φ1=2kπ,(k=0，±1，±2，...)因为cos(φ2-φ1)=1，所以可见：合振幅等于原来两个简谐振动的振幅之和，振动加强。②当两个分振动反相时Δφ=φ2-φ1=(2k+1)π,(k=0，±1，±2，...)[讨论]x=cos(ωt+φ),因为cos(φ2-φ1)=-1，所以xMφ1Ox2A2Pωφφ2AA1ωωx1x合振幅等于原来两个简谐振动的振幅之差的绝对值，振动减弱。如果A1

=A2，则合振动的结果使质点处于静止状态。一般情况下，合振幅介于A1

+A2和|A1

-A2|之间。{范例5.9}同一直线上的简谐振动的合成第二页，共十六页，编辑于2023年，星期三两个振动同相，合振动加强，振幅达到0.07m。如果第一个振动的振幅和初相分别为0.03m和0，第二个振动的振幅和初相分别为0.04m和0，第三页，共十六页，编辑于2023年，星期三如果两个振动的振幅不变，角度分别是0和90，x2超前x1的相位π/2，合振幅为0.05m，初相的度数达到53。第四页，共十六页，编辑于2023年，星期三如果将两个角度数改为0和180，则两个振动反相，合振动减弱，振幅只有0.01m。第五页，共十六页，编辑于2023年，星期三如果将两个角度数改为0和-90，x2滞后x1的相位π/2。除了同相和反相的情况外，合振动的极大值的横坐标处在两个分振动的极大值的横坐标之间。第六页，共十六页，编辑于2023年，星期三(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是ΔA，相差都是Δφ，第一个振动的初相为零。求n个简谐振动的振幅和初相。n个简谐振动可表示为x1=ΔAcosωt，x2=ΔAcos(ωt+Δφ)，x3=ΔAcos(ωt+2Δφ)，…，xn=ΔAcos[ωt+(n-1)Δφ]根据矢量合成法则，这些简谐振动对应的旋转矢量的合成如图所示。由于各个振动的振幅相同且相差恒为Δφ，图中各个矢量的起点和终点都在以C为圆心的圆周上。[解析](2)采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。设圆的半径为r，每个矢量对应的圆心角都是Δφ，因此全部矢量对应的圆心角是nΔφ，因此这是多个等幅同频振动的合振幅公式。ΔA1ΔφΔφΔφΔφΔA2ΔA3ΔA4ΔA5AMnΔφφΔφCr{范例5.9}同一直线上的简谐振动的合成第七页，共十六页，编辑于2023年，星期三这是多个等幅同频振动的初相公式。(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是ΔA，相差都是Δφ，第一个振动的初相为零。求N个简谐振动的振幅和初相。初相为合振动为x

=Acos(ωt+φ)当Δφ→0时，有A→nΔA，φ→0，这就是等幅同频同相振动合成的情况。如果nΔA=2π，就是所有矢量旋转构成一个正多边形，则A=0。振幅这是多个等幅同频振动的振动公式。ΔA1ΔφΔφΔφΔφΔA2ΔA3ΔA4ΔA5AMnΔφφΔφCr{范例5.9}同一直线上的简谐振动的合成第八页，共十六页，编辑于2023年，星期三如果有7个分振动，相差依次为20度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。将各个分振动叠加之后，振幅越来越大，初位相也越来越大。第九页，共十六页，编辑于2023年，星期三矢量首尾相接形成多边形的一部分，最后首尾相接的矢量就是合振动，合振幅为A=5.4ΔA，初相为60度。第十页，共十六页，编辑于2023年，星期三当各振动逐级叠加时，合振幅先增加再变小。取10个分振动，相差依次为30度。第十一页，共十六页，编辑于2023年，星期三合振幅为A=1.9ΔA，初相为135度。第十二页，共十六页，编辑于2023年，星期三取12个分振动，相差依次为30度，分振动就构成一个完整的正多边形，合振幅为零。如果分振动的相差为零，那么，正多边形变成一条线。第十三页，共十六页，编辑于2023年，星期三(3)求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。x1

=Acos(ω1t+φ)，x2

=Acos(ω2t+φ)利用和差化积公式可得合振动为可见：两个同方向不同频率的简谐振动合成之后不是简谐振动，也没有明显的周期性。当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|ω2-ω1|<<ω2+ω1，方程就表示了振幅按2Acos[(ω2-ω1)t/2]变化的角频率为(ω2+ω1)/2的“近似”的简谐振动。这种振动的振幅变化是周期性的，相对于简谐振动来说是缓慢的。[解析](3)设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振动，角频率分别为ω1和ω2，为了突出频率不同所产生的效果，设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为由于余弦函数的绝对值的周期为π，设时间周期为Tp，则有因此拍频如上{范例5.9}同一直线上的简谐振动的合成第十四页，共十六页，编辑于2023年，星期三不妨设两个振动的初相都为零，第一个角频率为π/2，第二个角频率比第一个角频率大Δω=π/10。每经过20s，两个振动的最大值重合。经过10s，两个振动的极大值和极小值重合。拍频为fp=Δω/2π=1/20Hz，拍频的周期为Tp=1/fp=20s。一条曲线的角频率较大，是两个分振动的角频率的平均值；另一条曲线的角频率较小，称为调制线。因为质点振幅的改变是周期性的，就形成时强时弱的现象，这种现象称为“拍”。调制线决定了振幅的范围。第十五页，共十六页，编辑于2023年，星期三两个振动的最大值重合的周期随着发生