数值分析样条插值

数值分析样条插值第一页，共十八页，编辑于2023年，星期三引例.sinx

在区间[0，

]上的插值逼近

1.二次插值

2.两点埃尔米特插值3.分段埃尔米特插值x 0 /2

Sinx 0 1 0Cosx 1 0 –1x 0

Sinx 0 0Cosx 1 –12/18第二页，共十八页，编辑于2023年，星期三x=-5:5;y=1./(1+x.^2);plot(x,y,x,y,'o')x=-5:5;y=1./(1+x.^2);xi=-5:.05:5;yi=spline(x,y,xi);plot(xi,yi,'b',x,y,'ro')被插值函数:-5≤x≤53/18第三页，共十八页，编辑于2023年，星期三x=[0,0.0155,0.1485,0.3493,0.6480,1.0547,2.0];y=[0,0.1242,0.3654,0.4975,0.5472,0.4781,0];n=length(x);t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(xx,yy,x,y,'o')4/18第四页，共十八页，编辑于2023年，星期三定义

5.4

给定区间[a,b]上的一个分划:a=x0<x1<…<xn=b已知

f(xj)=yj(j=0,1,···,n),如果满足:(1)

S(x)在

[xj，xj+1]上为三次多项式;

(2)

S”(x)在区间[a，b]上连续;

(3)

S(xj)=yj

(j=0,1,···,n).则称

S(x)为三次样条插值函数.5/18第五页，共十八页，编辑于2023年，星期三当x∈[xj,xj+1](j=0,1,…n-1)时

Sj(x)=aj+bjx+cjx2+djx3插值条件:S(xj)=yj

(j=0,1,···,n)连续性条件:S(xj+0)=S(xj-0)

(j=1,···,n-1)S’(xj+0)=S’(xj-0)

(j=1,···,n-1)S”(xj+0)=S”(xj-0)

(j=1,···,n-1)由样条定义,可建立方程(4n-2)个！！

n个三次多项式,待定系数共4n个！！方程数少于未知数个数？？6/18第六页，共十八页，编辑于2023年，星期三(1)自然边界条件:S”(x0)=0,S”(xn)=0例

5.7已知f(–1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求[–1，1]

上的三次自然样条(满足自然边界条件).解设

则有:–a1+b1–c1+d1=1,d1=0,a2+b2+c2+d2=1d1=d2,c1=c2,b1=b2

(2)周期边界条件:S’(x0)=S’(xn),S”(x0)=S”(xn)(3)固定边界条件:S’(x0)=f’(x0),S’(xn)=f’(xn)7/18第七页，共十八页，编辑于2023年，星期三由自然边界条件:–6a1+2b1=0,6a2+2b2=0解方程组,得

a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0问题的解

x=[-1,0,1];y=[1,0,1];f1=inline('0.5*x.^3+1.5*x.^2');f2=inline('-0.5*x.^3+1.5*x.^2');t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1;p1=f1(t1);p2=f2(t2);plot(x,y,'o',[t1,t2],[p1,p2],’r’)Holdon,plot([t1,t2],[t1,t2].^2)y=x28/18第八页，共十八页，编辑于2023年，星期三用分段Hermite两点插值推导样条已知函数表xx0

x1······xnf(x)y0

y1······yn设

f(x)在各插值节点

xj处的一阶导数为

mj取

xj+1–xj=h，(j=0,1,2,···,n).当

x∈[xj,xj+1]时,

分段Hermite插值9/18第九页，共十八页，编辑于2023年，星期三由S”(x)连续,有等式:S”(xj+0)=S”(xj–0)考虑

S”(x)在区间[xj,xj+1]和[xj-1,xj]上表达式.当

x∈[xj,xj+1]时,

S(x)由基函数组合而成10/18第十页，共十八页，编辑于2023年，星期三11/18第十一页，共十八页，编辑于2023年，星期三同理,有联立两式,得(J=1,2,······,n-1)自然边界条件:S”(x0)=0,S”(xn)=012/18第十二页，共十八页，编辑于2023年，星期三例5.7已知函数表x

–101f(x)

101

m0=-3/2

m1=0

m2=3/2

x

–101H(x)

101H’(x)-3/203/2求

[–1，1]上的三次自然样条(满足自然边界条件).

13/18第十三页，共十八页，编辑于2023年，星期三x∈[-1,0]x∈[0,1]第1个小区间曲率计算公式第2个小区间14/18第十四页，共十八页，编辑于2023年，星期三样条插值函数的极性设f(x)∈C2[a,b],对于a=x0<x1<…<xn=b,有f(xj)=yj(j=0,1,···,n).S(x)是满足S(xj)=yj(j=0,1,···,n)的三次自然样条.则有

||S”(x)||≤||f”(x)||证明:15/18第十五页，共十八页，编辑于2023年，星期三所以即样条函数S(x)在[a,b]上的总曲率最小.16/18第十六页，共十八页，编辑于2023年，星期三一维插值:yi=interp1(x,y,xi,

‘method

’)

methodnearest

最近点插值

linear线性插值

spline样条插值

cubic立方插值

x=0:10;y=sin(x);xi=0:.25:10;yi=