数学物理方成的分类

数学物理方成的分类1第一页，共十九页，编辑于2023年，星期三1.行波法；2.分离变量法；3.幂级数解法；4.格林函数法；

5.积分变换法；6.保角变换法；7.变分法；8.计算机仿真解法；9.数值计算法数学物理方程的求解2第二页，共十九页，编辑于2023年，星期三分离变量理论考察如下两变量的二阶线性齐次偏微分方程：试确定方程如下形式的解：将该解代入方程可得：3第三页，共十九页，编辑于2023年，星期三对于常系数偏微分方程，我们有：因为X、Y分别是关于x、y的函数，所以λ一定是一个常数；这样原方程就化为如下两个常微分方程：4第四页，共十九页，编辑于2023年，星期三对于变系数偏微分方程，一般不能分离变量。5第五页，共十九页，编辑于2023年，星期三有界弦的自由振动研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：两端固定的弦的自由振动会形成驻波，此时行波法将不再适用（？）。考虑到驻波的波函数为：6第六页，共十九页，编辑于2023年，星期三类比驻波波函数，可设定解问题的具有一个可分离变量的特解为：将这一特解代入泛定方程可得：其中X和T分别为x和t的函数。易知λ为常数，故原泛定方程变为：7第七页，共十九页，编辑于2023年，星期三相应地，边界条件变为：这样就得到如下常微分方程：这个常微分方程的解依λ的取值不同而不同，需要讨论。8第八页，共十九页，编辑于2023年，星期三当λ<0时，该方程有非零解，且其解为：易知当λ=0时，微分方程的解为：但边界条件要求类似地，当λ＞0时，微分方程的解为：而边界条件要求9第九页，共十九页，编辑于2023年，星期三关于T

的方程变为：其解为：这样就得到泛定方程满足边界条件的一个特解：这样的特解有无穷多个，但是其中的每一个并不总能满足初始条件的要求。10第十页，共十九页，编辑于2023年，星期三因为泛定方程和边界条件都是线性的，可以把这些特解叠加起来，并让其满足初始条件：11第十一页，共十九页，编辑于2023年，星期三这样我们就得到如下定解问题存在如下形式的解：12第十二页，共十九页，编辑于2023年，星期三本征值问题在求解方程过程中，我们遇到如下问题：通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函数。求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。13第十三页，共十九页，编辑于2023年，星期三解的物理意义驻波波函数这样，该定解问题的解可以看作一系列（频率、振幅、位相各异的）驻波波函数的叠加。所以分离变量法又称为驻波法。各驻波的振幅、相位由初始条件决定；频率则和初始条件无关，称为弦的本征频率。14第十四页，共十九页，编辑于2023年，星期三分离变量法处理问题的程序1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件是非齐次的，还要对边界条件进行处理。2、求解常微分方程的本征值问题3、构造变量分离形式的特解4、叠加特解，利用初始条件确定叠加系数15第十五页，共十九页，编辑于2023年，星期三分离变量法可以推广应用到各种定解问题，但它的应用也有一定的限制：1、常系数偏微分方程总能进行变量分离，而变系数偏微分方程则不一定。2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量分离的解。16第十六页，共十九页，编辑于2023年，星期三量子力学中的本征值问题

经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个Hermitianoperator。任意一个Hermitianoperator的本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。而其他任意Hermitianoperator的本征函数都可以用这个完备基展开，而且展开式是唯一的。每个Hermitianoperator的本征值对应于该物理量可能的观测值；每次测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值，这个概率由测量时体系的波函数决定。17第十七页，共十九页，编辑于2023年，星期三分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的某一种完备基函数，然后将问题的解用该完备基展开，再利用定解条件确定展