微积分入门精华

微积分入门精华第一页，共九十八页，编辑于2023年，星期三abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出第二页，共九十八页，编辑于2023年，星期三abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）第三页，共九十八页，编辑于2023年，星期三曲边梯形如图所示，第四页，共九十八页，编辑于2023年，星期三曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为第五页，共九十八页，编辑于2023年，星期三实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．第六页，共九十八页，编辑于2023年，星期三（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值第七页，共九十八页，编辑于2023年，星期三二、定积分的定义定义第八页，共九十八页，编辑于2023年，星期三被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和第九页，共九十八页，编辑于2023年，星期三注意：第十页，共九十八页，编辑于2023年，星期三定理1定理2三、存在定理第十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期三曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义第十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期三几何意义：第十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例1利用定义计算定积分解第十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期三五、定积分的性质第十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期三证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1第十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期三证性质2第十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期三补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3第十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期三证性质4性质5第二十页，共九十八页，编辑于2023年，星期三解令于是可以直接作出答案第二十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期三性质5的推论：证（1）第二十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期三证说明：

可积性是显然的.性质5的推论：（2）第二十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期三证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6曲边梯形的面积夹在两个矩形之间第二十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期三解例2不计算定积分估计的大小第二十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期三证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（Th5.1定积分第一中值定理）积分中值公式第二十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期三使即积分中值公式的几何解释：第二十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期三Th5.2(推广的积分第一中值定理）第二十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期三考察定积分记积分上限函数六、积分上限函数及其导数第二十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期三证第三十页，共九十八页，编辑于2023年，星期三由积分中值定理得第三十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期三计算下列导数第三十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期三补充证第三十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例1求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.第三十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期三定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.第三十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期三定理3（微积分基本公式）证七牛顿—莱布尼茨公式第三十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期三令令牛顿—莱布尼茨公式第三十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期三微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.第三十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例4求

原式例5设,求.解解第三十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例6求

解由图形可知第四十页，共九十八页，编辑于2023年，星期三则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼茨公式第四十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期三定理八、换元公式第四十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期三证第四十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第四十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期三应用换元公式时应注意:（1）（2）第四十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例1计算例2计算第四十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例1计算解凑微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。第四十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例2计算解原式第四十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例3计算解第四十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期三三角代换和根式代换第五十页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例4计算解令原式明显换元第五十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期三证第五十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第五十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期三奇函数例6计算解原式偶函数单位圆的面积第五十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期三总结：1、定积分公式—2、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）3、根式和三角代换为明显的代换，所以换元要换上下限4、介绍了积分上限函数5、积分上限函数是原函数6、计算上限函数的导数第五十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期三证（1）设第五十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第五十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期三（2）由此计算设第五十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第五十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期三定积分的分部积分公式推导九、分部积分公式第六十页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例计算解第六十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例2计算解令则第六十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例3计算解例4计算第六十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例5计算解第六十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第四节广义积分

一、无穷限的广义积分第六十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第六十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第六十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例1计算广义积分解简记为第六十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例1计算广义积分解第六十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期三证第七十页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第七十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第七十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第七十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第七十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第七十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第七十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期三回顾曲边梯形求面积的问题第五节、定积分应用abxyo第七十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期三1、几何上的应用第七十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期三面积第七十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期三abxyo面积元素第八十页，共九十八页，编辑于2023年，星期三一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右图所示图形，面积元素为第八十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期三曲边梯形的面积曲边梯形的面积第八十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期三c有时也会选y为积分变量第八十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期三解（1）作图（2）求出两曲线的交点（3）选为积分变量（4）代公式第八十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期三解两曲线的交点选为积分变量第八十五页，共九十八页，编辑于2023年，星期三解题步骤：(2)求出交点；(3)选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。(1)画出草图；第八十六页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例3.求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式第八十七页，共九十八页，编辑于2023年，星期三二、立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,1.已知平行截面面积函数的立体体积第八十八页，共九十八页，编辑于2023年，星期三例1.

一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.第八十九页，共九十八页，编辑于2023年，星期三思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:第九十页，共九十八页，编辑于2023年，星期三

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台旋转体的体积第九十一页，共九十八页，编辑于2023年，星期三当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有2.旋转体的体积第九十二页，共九十八页，编辑于2023年，星期三xyo旋转体的体积为第九十三页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第九十四页，共九十八页，编辑于2023年，星期三第九