数值分析习题与答案,DOC

海量资源，欢迎共阅海量资源，欢迎共阅第一章绪论习题一.设x>0,x*的相对误差为5,求f（x）=lnx的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f（x）=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有班k*)=1烟-取*)人印薪If'61的)已知x*的相对误差J满足审.u,而f(x)=Inx,f(x)=—Jx-x*|<t?(1出)=工1x工故1 I-r-_-r-=+=I|lnx-lnx+K必召品|—|•|工-1*怪」 匚f-"四工 |工*|-我工*)即风出-产）=.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。x；=1.1021,x；=0,031,x；=560.40解：直接根据定义和式（1.2.2,；有5位有效数字，其误差限s⑷芸小、相对误差限石有2位有效数字，除;），恭1口-厚（工；）;31尸工;有5位有效数字，.下列公式如何才比较准确？

（1）产+11、1+x2dx,N=1产+11、1+x2dx,N=1（2）(1)J：(1)J：J/次=0Ttan(M+l)-arctanM.近似数x*=0.0310,是3位有数数字。1.计算广（四一1尸取也"利用：乐百式计算误差最小。人、人———,0-2点）3,——,99-7072四个选项：（后+球 （3+2后7第二、三章插值与函数逼近习题二、三.给定出户出的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值(0.54-0,5)=-0.620219।口寸 口上凸/心-0.510826+0.693147(0.54-0,5)=-0.6202190.6-0.5h0.54fy-0.693147+ 0.6-0.5误差限同到外眄"-0.5)(工-0到 ,因作)=lnx，㈤=-±,也=黑刈壬!",故|A1(x)|<|x4x0.04x0.06=0.0048二次插值时，用0.5,0.6,0.7三点，作二次Newton插值In0.54«-0.620219+/［0,5;0,6,0,7］(0.54-0.5)(0.54-0,6)=-0.620219+(-1,40850)x0.04x(-0,06)=-0.616839误 差 限 展⑴|<1^3|(x-0.5Xx-0.6Xx-0.7)|,2一⑴二拆,死莅血，聂二叱故|A/x)|<1x16x0.04x0.06x0.16<0,001024.在-4口口口4上给出色)=於的等距节点函数表，若用二次插值法求产的近似值，要使误差不超过］0司，函数表的步长h应取多少？解：用误差估计式(5.8)，用=2 =ex尸"｛工、1=段”—/)0—毛+—/)0—毛+1)|=^9*C1L 111双［因*1&£片引得c手Rio：血E0.0066.若年)=三+犬4+3犬+1，求［代即,…7怵皿2。,2】，…，智］解：由均差与导数关系加国…多］一%”。/+/+3工+1,/门（工）= =0于是」…,2］=彳乂7!=1/2°,2。，灯=0.若/⑻=%+1（工）=（犬一心）（犬一看）…（丈一犬。工&=口1，…㈤互异，求了［而,工卜…的值,这里pon+1.解:，®=%+］（xuoj=og=oL…㈤，由均差对称性小0久,…“U荒可知当旧有心,占「，心］=口而当P=n+1时/［犬口，再，…,7+1］=N了（犬3），叫+式七）=叫=1I /（7+1）［0,P<n于是得了几乐…，砧=卜P=n+1.求证冒的厂以一幽.解：解：只要按差分定义直接展开得无（”L）* >0-AyB-i+AyM_i-4yM_2+…+轴】-防口二5一4yg.已知〃©=s屋的函数表海量资源，欢迎共阅求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表Kif(kJ一阶埼差二阶均差三阶均差000.200.201341.00670.300.304521.031S0.083670.500.521121.08300.170670.17400由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得囚式0.2到=，个口23陶323)由于力[两，和町，知02]]/0.033133\R3(0.23)|<0,033133x0.23x0.03x0.07x0.27<4.32xlO-6.给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差海量资源，欢迎共阅海量资源，欢迎共阅解：先构造差分表fL(v/|1了俨力|加『5I^(v47)a5z(v7)LtXOX)-0.。05000.99500-0.00的3-0.01493①CW。]0.98007-0.00980人口口口。2-0.024730.00025-0.000020.95534-0.009550.00010-0.034280.00035-0.000010.92106-0.009200.00009-0.0434S0.00044-0.00876-0.052240.85234计算ssO.cmx=0.043^=0.U二一口0.43，用n=4得Newton前插公式A2f A3f A4fN式殉=纳)=<+4/0.£+寸弟—1)+寸通—1)(£—2)+学肥—1)(£—2波—3)「一000993 (q00Q13 000012、1=1.00000+0.48-0,00500-0.52]一： -1.52 -2.52x- [ 12I6 24))]误差估计由公式(5.17)得瓦(0.。4W)归等依—1 —3)。— 1光45父1L其中她二附0.6|=0.565计算COS0,566时用Newton后插公式(5.18)元=0.566,&=06e=T=—0.34=0.82534-0.34x-0.05224+0.66x-0.00876… =0.82534-0.34x-0.05224+0.66x-0.00876… +1.66x^0.00044… +2.66xI60.00009^24))V2f A3f A4/cos2!0.566口死(跳+成)=九+&寸屯+1)+寸气+1*+2)+得维+l)W+2厚+3)cos2!=0.84405误差估计由公式（5.19）得|A4(0.566)|二冬依+1)«+2)Q+荻+制酎<1,7064xW7这里蚂仍为0.5658.求一个次数不高于四次的多项式p（x），使它满足p（口）=p'（口）=口/i）=p'⑴=1疯2）=1解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造月⑴使它满足"（0）=0,%（1）=外6=1，显然%（丈）=/（2—工）,再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A=，于是P⑺=^[2-x+-(x-1)2]=-?(x-3)29.令工⑺工式立no区称为第二类Chebyshev多项式，试9.令工⑺求号的表达式，并证明瓦｝是［-1,1］上带权而户口的正交多项式序列。解：因4+1⑶=gsS+l)arcgs工.用最小二乘法求一个形如厂的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.解：本题给出拟合曲线P“+苏，即伙⑺二1,仍⑴二/，故法方程系数4（此,此）=Z忒（Xj）=5i-0（例,仍）=二帜”532工（仍，仍）=二程4=7277699（例，¥）=271.4,（仍产）=二回，=369321.53-0 i-0法方程为f5fl+5327i=271.4\5327a+7277699Z?=369321.5解得a=0.9726045,i=0.0500351最小二乘拟合曲线为y=0.9726045+0.0500351/均方程为同上同卜（伙，^-^1^）=00^0321|胤=0」226.填空题（1）满足条件⑴，限户的插值多项式TOC\o"1-5"\h\zp（x）=（ ）.（2）电=企+5，贝I」f[1,2,3,41=（ ），f[1,2,3,4,5]=（ ）.（3）设立国,1,234）为互异节点，1侬为对应的四次插值基函\o"CurrentDocument"数，则国犬*（。）=（ ）,南（金+2）4⑶=（ ）.\o"CurrentDocument"⑷设｛佻0<=0是区间[0,1]上权函数为P（x）=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中就⑶=i，则『"xM工二（ ），仍⑴=（ ）答：（1）M犬）=（白+1）0-以（2）」[123,4]=2,力123,44=04 4⑶z的⑼=。23+双（工”，+2'）3 2-0J：工佻（工抽工二，2‘1°[0,-0的⑴=/g+,第4章数值积分与数值微分习题4.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.解 本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。对‘⑴=-F，取n=8,在分点处计算f（x）的值构造函数表。按式（6.11）求出『.1114024,按式（6.13）求得5ml5724,积分"Cf小二1nli.用Simpson公式求积分J：二.，并估计误差解：直接用Simpson公式（6.7）得J》-5犬日"（1+4屋5+彦T）=0.63233由（6.8）式估计误差，因f⑶二k,/%”二，故|A2C/）|=|f-—Yl^l中F<—.—<3,5x10^121|l,lSOA2J18016.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.（1）1）⑸抽日V⑨+时旧）+q⑴（刈皿日/付+^/（0）+A/WJ：/"）改口A/（-h）+明国）解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令/⑴二1,/一代入公式两端并使其相等，得解此方程组得与=/=”=/1,于是有f/w1/（o）+|/4）J0 6 3 2 6再令/5）=/,得2%xw|（》U故求积公式具有3次代数精确度。（2）令/⑶=1,/代入公式两端使其相等，得41+4+4=4血《』_］（—血）+工/=0-— +&=0工_1（-4+4*=|（2迎产+A=yZ?解出土=4=冢4二-决令⑶二/得J；/而二|用（一划'+标］二0而对,⑴二/不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度（3）令/⑶二1,制弋入公式精确成立，得A+B=2h<-hA+Bx\=0标工+取;=#解得/二?乃二为工玲，得求积公式f 剑（-我）+3」（抑^对'⑴=/0=口语，自（.4+33沟=-#故求积公式具有2次代数精确度。.计算积分"/理工也，若用复合Simpson公式要使误差不超过^乂101问区间电会要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间［0,自应分为多少等分？解：由Simpson公式余项及『⑴二他仃㈤⑴二出工得I&⑺g高（A喘金卡阴⑴I1804T=2L（£y（ly<lxW-53604 2即^>665.>5,08,取n=6,即区间电砂分为12等分可使误差不超过!父1『对梯形公式同样:以京广60|§，由余项公式得I邑C/）|三得（齐）工葭10一5,1乙乙用乙艮严。之（《）晨105至646x10,总之2542取n=255才更使复合梯形公式误差不超过31广.用Romberg求积算法求积分作卜叱取X解：本题只要对积分（尸西使用Romberg算法（6.20）,计算到K=3,结果如下表所示。■了（依丁（依00.68394010.6452350.63233320.6354100.6321350.63212230.6329430.6321210.6321200.632120于是积分告J：尸源融不究力，积分准确值为0.713272. 用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。由于区间为［0］，所以先做变换吁权+1）ci与M+i】H春—Lyf比于是I曰-[0.555556x(1.7745972e°-88™s+(1-0.774597尸.^0112702)+0,888889e0J]=0.718252本题精确值1="2=0,718281828.用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分工二J1『1以解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算于是Ji+尤,因n=2,即为三点公式，于是L，a）办日与（f）+郎⑼+cyg）有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式？解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令f⑶EX,/,一对公式精确成立，得到TOC\o"1-5"\h\zA+B+C=\2dx=4 ①匕3「/月+12=0 （4）由（2）（4）得A=C，这两个方程不独立。故可令,⑴二山得（55~）C=^dx=y （5）由（3）⑸解得"土旧”=孝，代入⑴得则有求积公式令f⑶二小公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。第五章解线性方程组的直接法习题五.用Gauss消去法求解下列方程组.’1 1 1 凸—箝+—右+一七=y415263111rl《耳/+^叼+,也=£N+通+2x3=8L解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。个=-154x153=-177.69勺=—60(—4+白也)=47692故西=4(9-"-")=-227项6 5’12占-3x2+3x3=15《-1胱+3x2+3x3=-15.用列主元消去法求解方程组卜1+叼+电=6并求出系数矩阵A的行列式detA的值解：先选列主元―2,2行与1行交换得

」消元—1-153」消元—1-1531516-3-183—1-15-183-1-15：o26173107173118,~6618~63行与2行交换一1735消元07622T66T.11回代得解工3=3,%=2,/=]行列式得722d加工=-=-66673.用Doolittle分解法求解.解：由矩阵乘法得TOC\o"1-5"\h\z1 15 61 _2_60 -451315再由5=3求得y二(9,M「154尸由江、解得x=(-227.08,476.92-177.69)r若能分解，分解式是否4.下述矩阵能否作Doolittle分解唯一?若能分解，分解式是否台匕

能匕步分解后，"翼=2・2+以翼=＞，=0,(232=42+0+0,相互矛盾，故A不能分解，但＜1讨"口，对B，显然若A中1行与2行交换，则可分解为LU心产5=0,但它仍可分解为Xi —■TOC\o"1-5"\h\z1 1 1o 0 -1U U 1^2 —2分解不唯一为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯分解不唯一c=5.用追赶法解三对角方程组Ax=b其中2-1000-12-1000-12-1000-12-1000-12A=力=10000解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.26.用平方根法解方程组L解：用分解直接算得由5=8及£%求得y=(-126)『,证明即上m,另一方面范数解：故忸=1.1,||4=0.8,|^|^=7071=0.840.370.330.330.34^(^)=0.68534=70.68534=0.82785-319-179Ax=b240499179319240A=626.29-319-179Ax=b240499179319240A=626.29-319.5240因P非奇异，故x与y为一对一，于是解：记设|同为P上任一种范数，peb-是非奇异的，定义.凡士也证明闻=同方||证明：根据矩阵算子定义和比定义，得.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计卜||.而0+砂＞+盘）=3的解（工+命）=（8⑹II刚，=。£仙『」刚，=S%012由（3.12）的误差估计得|K<1.274||4<5.10表明估计阀］二4略大，是符合实际的。.是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：题目中x= …/）rE十，金二（%）£氏叱（1）若A对称正定，六十，则||也=口於严是犬上的一种向量范数（）TOC\o"1-5"\h\z（2）定义网山广吧编⑷是一种范数矩阵 （）⑶定义“噌产产是一种范数矩阵 （）（4）只要dd。0，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵 （）（5）只要北1¥0，则总可用列主元消去法求得方程组小尖的解（）（6）若A对称正定，则A可分解为人［尸，其中L为对角元素为正的下三角阵 （）⑺对任何女行都有胤之||理之|同 （）（8）若A为正交矩阵，则s城⑷口二1 （）答案：⑴（+）（2）（一）⑶（+）（4）（一）（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）第六章解线性方程组的迭代法习题六.证明对于任意的矩阵A,序列L 工4「.收敛于零矩阵解：由于忖闫邮而工5H「二。故氏#=0.方程组(5x1+2x2+x3=-12_/+4x2+2x3=202x1-3x2+10x3=3(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.(2)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以一=电。域计算到产‘一叫00一'为止TOC\o"1-5"\h\z-5 2 1-A=—1 4 2\o"CurrentDocument"解：因为〔2 -3 电具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。(2)J法得迭代公式是^=-1(12+2^+^)先严=%20+增熠)工产1】=白(3—2工/+3犬庄).=0工…取”二电0修，迭代至IJ18次有

工网=(-3.999996,2.999974,1.99999)1I身⑺叫<0.4145x10^GS迭代法计算公式为工”=［（12+2小+套）工严=：（20+工”-2炉）铲=#一2铲"+3工产）收=0,1，…取式网=（-4.00003629999W52000003/卜⑶一姆，至0.9156x1073.设方程组证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散解：Jacobi迭代为呼=［囱一町1工尸’）其迭代矩阵谱半径为“⑶=而谱半径为“⑶=而Gauss-Seide迭代法为其迭代矩阵，其谱半径为"9）二alla22a12Qan，其谱半径为"9）二alla22由于/（助=65，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。4.下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解否收敛？-211解：Jacobi法的迭代矩阵是B=D1(£+》)=-202故B=D1(£+》)=-202故-210,det(2Z—B)=-212p(B)=0J法收敛GS法的迭代矩阵为£尸》=-11_20120一01_-1-00_0-2002—10_=-00_0-2202-3222-2det(,U-G)==2(2-2)2=CUidet(,U-G)=故@=2>1解此方程组的GS法不收敛。，故@=2>1解此方程组的GS法不收敛。，5.设，detADO，用厘，b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.解J法迭代矩阵为6.用SOR解J法迭代矩阵为6.用SOR方法解方程组（分别取3=1.03,3=1,3=1.1）代矩阵为1得GS法收敛得充要条件是照精确解八白:孑，要求当忖-1310却寸迭代终止，并对每一个3值确定迭代次数解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为，4^=0-田）套】+£（4+好川+嫂：1）工严=（1-助看】+0（-3+工严）土=01…取”二电0,0）1，当.=1,03时，迭代5次达到要求“二(0.5000043,1.0000002-0.4999995)若取田=11，迭代6次得⑹二(0.5000035,0.9999989-0.5000003)7.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使IK-^L工5'1。"那么J法gs法和sor法各需迭代多少次？解：J法的迭代矩阵为,det(2Z-B)=为=口,，，3=±:®，故户（的=（点，因A为对称正定三对角阵,最优松弛因子1.03337J法收敛速度由于白9)=炉\B)=g,故R(6)=-In.&)=3.4001若要求卜叫「卜.-巧「EO制叫「5m1L,于是迭代次数,-In£15.425kKJ > &⑻R®对于J法电蒜=酱卧4.85,取"15对于GS法匹携=需"42,取"8f-hs15.425-q对于SOR法此日互不二环之'A,取K=58.填空题% 10.A=1⑴ 0 5要使『#=0应满足().⑵已知方程组[I?"[]=[；]则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛().它的渐近收敛速度R(B)=().[2-1'(3)设方程组Ax=比其中瓜=1 1.5其J法的迭代矩阵■■是0.GS法的迭代矩阵是0.伉+ax2=4⑷用GS法解方程组%叼+/一3：，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足0.

⑸给定方程组:p］,a为实数⑸给定方程组:p］,a为实数.当a满足(),且0<3<2时SOR迭代法收敛.答:⑴|叱(2)j法是收敛的，R⑶=C-ln6B)=-In0.8=0,223)TOC\o"1-5"\h\z0 1 0 1B= 2 (3= 22 1(3)J法迭代矩阵是O。」，GS法迭代矩阵一为⑷以满足卜卜5⑸厘满足同父1第七章非线性方程求根习题七1.用二分法求方程"-针1=。的正根，使误差小于0.05解使用二分法先要确定有根区间皿句。本题f(x)=x2-x-1=0,因f⑴=-1,f(2)=1,故区间［1,2］为有根区间。另一根在［—1,0］内，故正根在［1,2］内。用二分法计算各次迭代值如表。2.求方程=0在工0=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.（1）x=l+5，迭代公式%「号.⑵/二房,迭代公式—犷.1_1（3）1=二，迭代公式反行.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根TOC\o"1-5"\h\z［ 2解：（1）取区间口》可帜⑶=1+fE犬）田131均且取Q）=-二，A Ai. 2在［131向且eQ）=—了，在［1,耳划中0.4鸵石心制修0.911，则L<1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。（2）双方二机工？，在［131向中wO）e［1.3,1.6］，且（p,W=y（l+^）3，在［W向中有档上0.46=入1，故迭代收敛。1 1 _3（3）烟⑺二二t炉⑶=丁1广在斯=1.5附近M切>1，故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取而=1.5,则=1.481248,=1,472706,=1,468817?x4=1,467048%=1.466243,%=1,465877,x7=1.465710,演=1.465634须=1.465599,/=1.465583,xn=1.465577rx12=1.465574x13=1.465572,x14=1.4655723.设方程12-0的迭代法地+1=4+£cqs联（1）证明对以0Ea均有氐五**，其中x•为方程的根.⑵取x0=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过］尸,并列出各次迭代值.⑶此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论2解：（1）迭代函数如⑺=4+^^，对均有3<（工）/5,故朝（x）e（-00,-1-00）2 2，W=--sm犬，|^'W|<