排列组合的主要题型及解答方法

一、相邻问题捆绑法例16名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种A.720B.360C.240D.120解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有A；种排法。由分步计数原理可知，共有用用=240种不同排法，选Co评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。二、相离问题插空法例2要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为A3种;这6个歌唱节目的空隙及两端共7,个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为编组种。评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。三、定序问题缩倍法例3信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗,把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（用数字作答）。解：5面旗全排列有人；种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均_aL只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=io（种）。评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。四、标号排位问题分步法例4同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（ ）种A.6种B.9种C.11种D.23种解：此题可以看成是将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有种填法;第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3X3X1=9种填法，而选Bo评注：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，.如此继续下去，依次即可完成。五、有序分配问题逐分法［Teie*1例5有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有（）种A.1260B.2025C.2520D.5040解：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下8人中选1人承担乙项任务，最后从剩下7人中选1人承担丙项任务。根据分步计数原理可知，不同的选法共有=2520种，故选C。评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。六、多元问题分类法例6由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A.210个B.300个C.464个D.600个解：按题意个位数只可能是0,1,2,3,4共5种情况，符合题意的分别有A；,A；AjAj,AjAjAj.AjAjAyA；A：个。合并总工有+A；A>300(个),故选Bo评注：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。另解：先排首位，不用0,有用种方法;再同时排个位和十位，由于个位数字小于十位数字，即顺序固定，故有弓种方法;最后排剩余三个位置，有种排法。故共有符合要求的六位数 =300(个)。七、交叉问题集合法例7从6名运动员中选出4名参加4X100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参誓■法？।cd"解：设全集U=｛6人中任取4人参赛的排列｝；A二｛甲跑第二棒的排列｝,B=｛乙跑第四棒的排列｝,根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有card(U)-card(A)-card(B)+card(AnB)=A：-A；-A：+A；=252(种)0评注：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式：-card(A)+card(B)-caxd(AQB)来求解。八、定