江苏省宿迁市宿城区实验高级中学高三数学文测试题含解析

江苏省宿迁市宿城区实验高级中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.若一个球的半径为1，则它的表面积是（）A．4π B．2π C．π D．参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】直接利用球的表面积公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，半径为1的球的表面积是4π?12=4π．故选：A．【点评】本题考查球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．3.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．【解答】解：∵截面圆的面积为π，∴截面圆的半径是1，∵球O半径为2，∴球心到截面的距离为．故选：A4.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．5.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的面积（），则为等比数列的充要条件是（

）（A）是等比数列.（B）或是等比数列.（C）和均是等比数列。（D）和均是等比数列，且公比相同.参考答案：D本题考查等比数列的概念及其应用，难度中等.由题意可知，，若是等比数列，则，即数列的奇数项、偶数项都成等比数列，且公比都等于的公比，故选择D.6.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（

）A.4 B. C.2 D.参考答案：C【分析】由题意得m＝2sin18°，4﹣m2＝4cos218°，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，计算即可得解．【详解】由题意得m＝2sin18°，4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，∴＝．故选：C．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7.已知直线平面，直线，有下面四个命题：①；

②；③；④其中正确的两个命题是A.①②

B.③④

C.②④

D.①③参考答案：D8.若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是

（

）

A．（0，1）

B．

C．

D．参考答案：C9.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱的结构特征．【分析】由正方体的特点，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形得答案．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．故选：C．10.若向量，，则A.

B.

C.

D.参考答案：A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[，＋∞)，

f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，

则实数m的取值范围是

.参考答案：(－∞，－]∪[，＋∞)略12.已知点，，，平面区域是由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为，则的最小值为________．参考答案：设，，∵，∴．∴，∴，∵，∴，即

∴表示的可行域为平行四边形，如图：由，得，由，得，∴,∵到直线的距离，∴，∴，∴，∴，.13.展开式中的常数项为．参考答案：80【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1=令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为80，故答案为：80．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．14.已知是定义在R上周期为4的奇函数，且时，则时，=_________________

参考答案：略15.若正实数x、y满足，且，则xy的取值范围为

▲

．参考答案：(6,9]16.已知，且，则

参考答案：略17.已知则

。参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.甲乙两人进行掰手腕比赛，比赛规则规定三分钟为一局，三分钟内不分胜负为平局，当有一人3局就结束比赛，否则继续进行，根据以往经验，每乙甲胜的概率为，乙胜的概率为，且每局比赛胜负互不受影响．（Ⅰ）求比赛4局乙胜的概率；（Ⅱ）求在2局比赛中甲的胜局数为ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）若规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，比赛进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行，求甲得7分的概率．参考答案：解:由已知甲赢的概率为,平的概率为,输的概率为,由已知乙赢的概率为,平的概率为,输的概率为,

(I)4局乙胜,即4局中乙3胜，且第4局为胜

所求的概率为

(II)取0,1,2

012P （Ⅲ）甲若得7分,至少进行4局或5局比赛，且最后一局甲赢,设比赛进行4局事件为,比赛进行5局事件为,;,所以

略19.（12分）（2013?泗县模拟）已知在x=1与处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数g（x）=x2﹣2mx+m，若对任意的，总存在，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），由f（x）在x=1与处都取得极值，得f'（1）=0，，得关于a，b的方程组，解出a，b，然后检验；（Ⅱ）对任意的，总存在，使得g（x1）≥f（x2）﹣lnx2，等价于g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min，利用函数单调性易求[f（x）﹣lnx]min，按照对称轴在区间[，2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g（x）min，然后解不等式g（x）min≥[f（x）﹣lnx]min可得答案；【解答】解：（Ⅰ）∵，∵在x=1与处都取得极值，∴f'（1）=0，，∴，解得，当时，，所以函数f（x）在x=1与处都取得极值．∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在上递减，∴[f（x）﹣g（x）]min=﹣+=﹣，又函数g（x）=x2﹣2mx+m图象的对称轴是x=m，（1）当时：，依题意有成立，∴；（2）当时：，∴，即6m2﹣6m﹣7≤0，解得：，又∵，∴；（3）当m＞2时，g（x）min=g（2）=4﹣3m，∴，解得，又m＞2，∴m∈?；综上：，所以，实数m的取值范围为．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题的解决，考查分类讨论思想、转化思想．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4（尾/立方米）时，的值为（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为（千克/年）．（1）当时，求函数的表达式；（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值．参考答案：（1）由题意：当时，；

…………2分当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得

…………4分故函数=

…………6分（2）依题意并由（1）可得

……8分当时，为增函数，故；

……………10分当时，，．

……………12分所以，当时，的最大值为．

当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米．……………14分21.（本小题满分14分）已知函数，（）.(1)若时，函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；(2)在（1）的结论下，设函数的最小值；(3)设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定.B11B12G4(1)(2)当当(3)C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.解析：（1）依题意：∵上是增函数，∴恒成立，∴∵∴b的取值范围为

…………4分（2）设，即，∴当上为增函数，当t=1时，当

…………7分当上为减函数，当t=2时，综上所述，当当

………8分（3）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在M处的切线斜率为

C-2-在点N处的切线斜率假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则，即则，

设…………①令则∵

∴

所以上单调递增，故，

则，这与①矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

.……13分【思路点拨】(1)根据时，函数在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；(2)先设t=ex，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；(3)先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在．22.（13分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，BB-1=BC=2，且M是BC的中点，点N在CC1上。

（1）试确定点N的位置，使AB1⊥MN；

（2）当AB1⊥MN时，求二面角M—AB1—N的大小。参考答案：解析：解法1：（1）连结MA、B1M，过M作MN⊥B1M，且MN交CC1点N，在正△ABC中，AM⊥BC，又∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，∴AM⊥平面BB1C1C，∵MN平面BB1C1C，∴MN⊥AM。∵AM∩B1M=M，∴MN⊥平面AMB1，∴MN⊥AB1。∵在Rt△B1BM与Rt△MCN中，即N为C1C四等分点（