人教2011课标版初中数学九年级上册一元二次方程及其应用(共31张)

一元二次方程及其应用基础点1一元二次方程及其解法基础点巧练妙记基础点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系基础点3一元二次方程的实际应用基础点

1一元二次方程及其解法(10年4考)1.一元二次方程具备的条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有______个未知数；(3)所含未知数的最高次数是______．2.一般形式：2一①②

练提分必1.下列方程是一元二次方程的是________．①x2＋2x－3＝0；②x2＋3＝0；③(x2＋3)2＝0;④x2＋＝4；⑤5x2－6y－2＝0;⑥(x＋2)2＝1＋x2.2.若(a－3)x－7＋4x＋5＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为(

)A.3

B.－3

C.±3

D.无法确定①②B3.一元二次方程的解法[2016.16，2012.16，2011.8，2009.20(2)]解法适用情况方法步骤及注意事项直接开平方法ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；(x＋m)2＝n(n≥0)口诀：方程没有一次项，直接开方最理想移项得x2＝，两边开方得x＝±；两边开方得x＋m＝±即x＝±－m因式分解法方程左边能分解为两个因式的积，右边等于0一移：方程的右边＝0；二分：方程左边因式分解；三化：方程化为两个一元一次方程；四解：写出方程两个解公式法所有一元二次方程求根公式为x=__________(b2－4ac≥0)在使用求根公式时：(1)要先将一元二次方程化为一般式；(2)确定a、b、c的值时要带符号③配方法所有一元二次方程，一般用于：1．二次项系数化为1后，一次项系数是偶数；2．各项的系数较小且便于配方1.把二次项系数化为1，即方程两边同除以二次项系数；2．把常数项移到方程的另一边，即x2＋px＝－q；3．在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程整理成(x＋)2＝－q＋()2的形式；4．运用直接开平方法解方程

练提分必3.方程x2＋x－12＝0的两个根为(

)A.x1＝－2，x2＝6

B.x1＝－6，x2＝2C.x1＝－3，x2＝4D.x1＝－4，x2＝3D

练提分必4.解方程：x2－3x＝0.解：x2－3x＝0，x(x－3)＝0，解得x1＝0，x2＝3.

练提分必5.解方程：x2＝3x－1.解：x2＝3x－1，x2－3x＋1＝0，其中a＝1，b＝－3，c＝1，b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5，∴x1＝，x2＝.

练提分必6.解方程：x2＋3＝6x－2.解：x2－6x＋9＝9－5，(x－3)2＝4，x－3＝±2，x＝3±2，解得x1＝5，x2＝1.

4失分点

解一元二次方程“丢根”现象解方程：3x(x－1)＝2(x－1)．解：方程两边同除以(x－1)，得3x＝2，第一步系数化为1，得x＝.

第二步

4失分点∴方程的解为x＝.第三步上述解法是从第____步开始出现错误的，此题最终的结果是________．【名师点拨】对于左右两边含有相同因式的一元二次方程，将方程化为等号一边为0且另一边含未知数的式子，利用因式分解法求解，切勿因直接约去含有未知数的公因式而丢根．一

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.根的判别式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.(1)当__________时，方程有两个不相等的实数根；(2)当___________时，方程有两个相等的实数根；(3)当b2－4ac＜0时，方程_______实数根．作用：(ⅰ)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况；(ⅱ)根据方程根的情况，确定未知系数的值或范围(二次项系数不为0)．基础点

2b2－4ac>0b2－4ac＝0没有④⑤⑥7.一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是___________________．8.已知关于x的方程x2－x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是__________．

练提分必有两个相等的实数根m＜

5失分点

忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是___________．【解析】∵关于x的方程(a－1)x2－2x＋1＝0有实数根，

第一步∴b2－4ac＝4－4(a－1)≥0，第二步∴a≤2.

第三步a≤2且a≠1

5失分点【答案】a≤2第四步上述解题过程从第______步开始出错，错误的原因为___________________________，此题最终结果为__________【名师提醒】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个隐含的限制条件．二a≤2且a≠1忽略二次项系数不为0的条件2.根与系数的关系(1)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个根分别为x1、x2，则x1＋x2=______，x1x2=_____．(2)常用根与系数关系解决以下问题：(ⅰ)已知方程及方程一根，求另一个根及未知数；(ⅱ)不解方程求关于根的式子的值，如求x1＋x2，x1x2；(ⅲ)由给出的两根满足的条件，确定字母的取值范围．⑦⑧【易错警示】利用根与系数关系解题的前提是方程的两根存在，即注意根的判别式b2－4ac≥0.9.若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为______．10.已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则＋＝______．练提分必－2－2

一元二次方程的实际应用(10年5考)1.变化率模型：(2017.8，2015.6，2013.7，2010.19，2009.7)设a是基础量，x为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量，则b=________，当x为平均下降率，2为下降次数，b为下降后的量，则b＝a(1－x)2；2.面积模型：基础点

3a(1＋x)2⑨(1)如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影＝___________(2)如图2、图3、图4，设阴影道路的路口宽为x，则S空白＝_____________．图1⑩(a－2x)(b－2x)(a－x)(b－x)11(3)如图5，栏杆AB、BC、CD三段总长为a，墙面AD段的长为b，则S阴影＝________．图5123.利润等量关系——“每每模型”总利润＝单件利润×数量；成本每件a元，售价为m元时销量是n件，售价每降低d元，则可多卖出c件．设售价降低了x元，则每件的利润为(m－x－a)元，销量增加件，销量变为(n＋)件，则降价后的利润为w＝(m－x－a)(n＋)元．4.握手、单循环赛与送礼模型：握手、单循环赛总次数为(n为人数)；送礼物总份数为n(n－1)(n为人数)．重难点精讲优练类型一元二次方程的实际应用(重点)例

问题1：宿州市某砀山酥梨种植基地可近似看成长100m，宽50m的矩形，如图，该种植基地被宽度相等的4条小路隔开，若实际种植面积为3600m2，求小路的宽．例题图【自主解答】解：设小路的宽为xm，(100－2x)(50－2x)＝3600，(50－x)(25－x)＝900，1250－75x＋x2＝900，x2－75x＋350＝0，(x－5)(x－70)＝0，x＝5或x＝70(不合题意，舍去)答：小路的宽为5m.问题2：某批发商第一次批发的价格为2元/kg，第三次比第一次的批发价格多了2.5元/kg，求两次批发价格的平均增长率．【自主解答】解：设两次批发价格的平均增长率为a，根据题意，2(1＋a)2＝2＋2.5，(1＋a)2＝2.25，1＋a＝±1.5，a＝±1.5－1，a＝0.5或－2.5(不合题意，舍去)答：两次批发价格的平均增长率为50%.问题3：某经销商销售该基地的酥梨，经过观察发现，定价为6元/kg时，能销售100kg；当定价每增加0.1元，则销量减少1kg.当定价最少为多少时，销售额为630元．【自主解答】解：设销量成小了nkg，根据题意得，(6＋0.1n)(100－n)＝630，600＋4n－0.1n2＝630，n2－40n＋300＝0，(n－30)(n－10)＝0，n＝10或30，∴n＝10，∴6＋0.1×10＝7，∴定价最少为7元/kg时，销售额为630元．练习1某工厂一月份产值为50万元，计划第一季度总产值达到120万元，设二、三月份平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程(

)A.50(1＋x)2＝120B.50(1＋x)＋50(1＋x)2＝120C.50(1＋x)3＝120D.50＋50(1＋x)＋50(1＋x)