2021-2022学年山西省太原市东煤中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年山西省太原市东煤中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数的共轭复数为，若，则a=A.±1

B.±3

C.1或3

D.－1或－3参考答案：A2.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为

（

）A．

B.

C.

D.参考答案：A：由图知在时取到最大值，且最小正周期满足，故,,所以，所以，即，所以，令得。故选A.3.设{an}是等比数列，函数y=x2－x－2013的两个零点是a2，a3，则ala4= A．2013 B．

C．－1

D．－2013参考答案：D略4.i为虚数单位，复数，则（）A.1 B.2 C. D.参考答案：D【分析】化简为的形式，进而求得.【详解】依题意，故，故选D.【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.5.已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对于任意x∈R恒成立，且f()＞f(π)，则f()的值为（）A． B．0 C． D．参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意得f（）是函数f（x）的最值，求得φ=kπ﹣．再根据f（）＞f（π），可得sinφ＜0．故可取φ=﹣，从而求得f（）的值．【解答】解：由题意可得，f（）是函数f（x）的最值，故有2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣．再根据f（）=sin（π+φ）=﹣sinφ＞f（π）=sin（2π+φ）=sinφ，可得sinφ＜0．故可取φ=﹣，故f（）=sin（﹣）=sin=，故选：D．6.有一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在内的频数为（A）

（B）（C）

（D）参考答案：7.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为A．

B．C．

D．参考答案：D略8.已知定义域为R的函数

(a、b∈R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则3a-2b=

(A)7

(B)8

(C)9

(D)10参考答案：C略9.如图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东30°方向处，河流的没岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远现要在曲线上选一处建一座码头，向、C两地转运货物.经测算，从到、到修建公路的费用分别是万元/km、万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（

） A．(2－2)a万

B．5a万元 C．(2+1)a万元 D.(2+3)a万元【知识点】双曲线的几何性质

H6参考答案：Ｂ解析：依题意知曲线是以、为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线为轴、的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点的坐标为，则修建这条公路的总费用设点、在右准线上射影分别为点，根据双曲线的定义有，所以，当且仅当点在线段上时取等号，故的最小值是.故选择Ｂ.【思路点拨】依题意知曲线是双曲线的方程为的一支，点的坐标为，则修建这条公路的总费用根据双曲线的定义有，所以.10.设数列和分别为等差数列与等比数列，且，，则以下结论正确的是A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆的方程为，过直线：（）上的任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则直线的斜率为__________.参考答案：12.（几何证明选讲选做题）在平行四边形中，点在边上，且，与交于点，若的面积为，则的面积为．w。w-w*k参考答案：略13.已知函数f（x）=则f（f（））=．参考答案：考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由此得f（）==﹣2，由此能求出f（f（））．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2，f（f（））=f（﹣2）=3﹣2=．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．14.在锐角△ABC中，D是线段BC的中点，若，则角B=__________，AC=__________参考答案：

45°

【分析】利用正弦定理求得，进而求得的大小，利用余弦定理求得.【详解】在三角形中，由正弦定理得，解得，由于三角形为锐角三角形，故.而，在三角形中，由余弦定理得.故答案为：；.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于基础题.15.在极坐标系中，若过点

且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，则

.参考答案：略16.在等差数列{an}中，首项，公差，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为

．参考答案：200试题分析：等差数列中的连续10项为，遗漏的项为且则，化简得，所以，，则连续10项的和为.考点：等差数列.17.已知平面向量，，与垂直，则＝

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，以原点为极点.以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线C和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线过点与曲线C交于不同两点A，B，AB的中点为M，与的交点为N，求.参考答案：（Ⅰ）C:；直线的直角坐标方程（Ⅱ）8【分析】（Ⅰ）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可直接得出结果；（Ⅱ）先写出直线的参数方程，代入曲线的普通方程，得到，再由直线的参数方程代入，得到，进而可得出结果.【详解】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为：；即的直角坐标方程为：（Ⅱ）直线的参数方程（为参数），将其代入曲线的普通方程并整理得，设两点的参数分别为，则因为为的中点，故点的参数为，设点的参数分别为，把代入整理得所以.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程互化，熟记公式即可；本题也考查了参数的方法求弦长的问题，熟记参数方程即可求解，属于常考题型.19.已知是椭圆的左右焦点．（Ⅰ）若点在椭圆上，且，求的面积；（Ⅱ）动直线与椭圆相交于A,B两点．点．问：是否存在，使为定值，若存在，求出；若不存在，请说明理由．参考答案：（I）.，……………1分设则由，……………5分可知……………...6分所以…………..7分(II).设，则，化简得….8分，直线恒过椭圆内一点，则定有两交点….9分………….13分存在，…………….15分20.如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；（Ⅱ）求证：PM∥平面AFC．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB，所以可推断出CB⊥平面ABEF，又AF?平面BDC1，所以CB⊥AF，进而由余弦定理求得BF，推断出AF2+BF2=AB2得AF⊥BF同时利用AF∩CB=B判断出AF⊥平面CFB，即可证明平面ADF⊥平面CBF；（Ⅱ）连结OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，推断出PH∥CF，又利用线面判定定理推断出PH∥平面AFC，连结PO，同理推断出PO∥平面AFC，利用面面平行的判定定理，推断出平面POO1∥平面AFC，最后利用面面平行的性质推断出PM∥平面AFC【解答】证明：（Ⅰ）∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB∴CB⊥平面ABEF，又AF?平面BDC1，∴CB⊥AF又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，由余弦定理知BF=，AF2+BF2=AB2得AF⊥BF∵AF∩CB=B，∴AF⊥平面CFB∵AF?平面AFC，∴平面ADF⊥平面CBF；（Ⅱ）连结OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又∵AF?平面AFC，∴PH∥平面AFC连结PO，则PO∥AC，AC?平面AFC，PO∥平面AFCPO∩PO1=P，∴平面POO1∥平面AFC，PM?平面AFC，∴PM∥平面AFC．【点评】本题主要考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，面面平行的判定，以及线面垂直的性质，属于中档题．21.如图，已知抛物线的焦点是F，准线是l.（1）写出焦点F的坐标和准线l的方程；（2）已知点，若过点F的直线交抛物线C于不同的两点A、B（均与P不重合），直线PA、PB分别交l于点M、N，求证：.参考答案：（1），准线的方程为；（2）见解析.【分析】（1）由抛物线的定义即可解题；（2）由（1）知：设直线的方程为：，与抛物线方程联立，由根与系数的关系得：．直线方程为：，，当时，，，同理得：，得到，所以，所以．【详解】解：（1）抛物线的焦点为，准线的方程为：；（2）设直线的方程为：，令，，联立直线