2021年上海清华中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021年上海清华中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“函数在区间上为增函数”的A.必要不充分条件

B.充分不必要条件C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件参考答案：B函数在区间上为增函数,则满足对称轴，即，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，选B.2.已知集合A={1,2,3,4}，B={5,6}，设映射f：A→B使集合B中的元素在A中都有原象，这样的映射个数共有（

）A．16 B．14 C．15 D．12参考答案：B略3.圆心在轴上，半径为2，且过点的圆的方程为（

）、

、

、、参考答案：A略4.若P（x,y）∈则事件P（x,y）∈{（x,y）|(x-1)2+(y-1)2≤1}的概率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A5.已知R是实数集，集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，，则A∩（?RB）=（）A．（1，6） B．[﹣1，2] C． D．参考答案：D【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据不等式的性质求出集合A，B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，={x|x＞6或x≤}，则?RB={x|＜x≤6}，则A∩（?RB）={x|＜x≤2}，故选：D6.已知全集，集合，，则（

）A． B．

C． D．参考答案：D略7.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝,则集合CuA等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C8.抛物线的焦点坐标是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.在等差数列{an}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是（）A．32 B．39 C．46 D．78参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列前n项和公式及通项公式得S13=，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}中，a3+a11=6，∴其前13项的和：S13==．故选：B．10.已知函数（其中），若，则在同一坐标系内的大致图象是参考答案：【知识点】指数、对数函数的图像与性质.B6B7B

解析：因为，所以，则根据函数为减函数且为偶函数，可排除C,D，为减函数，排除A,故选B.【思路点拨】先由解出，然后根据两个函数的单调性以及奇偶性排除即可.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______.参考答案：【分析】根据二项分布方差计算公式计算出结果.【详解】由于满足二项分布，故.【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查二项分布方差计算公式，属于基础题.12.若函数在点(1,1)处的切线方程为，则实数a=_________.参考答案：-1【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率为,从而可得结果.【详解】因为函数的导数为,所以在点处的切线斜率为,

又因为在点处的切线方程为,

所以,

解得，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于基础题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求参数或切点即解方程；(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.13.已知条件不是等边三角形，给出下列条件：①的三个内角不全是

②的三个内角全不是

③至多有一个内角为

④至少有两个内角不为则其中是的充要条件的是

.（写出所有正确结论的序号）参考答案：①③④略14.若执行如图所示的程序框图，则输出的的值为

.参考答案：15.若tanθ=1，则cos2θ=

．参考答案：0【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】cos2θ==，代入计算可得结论．【解答】解：∵tanθ=1，∴cos2θ===0．故答案为：0【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查同角三角函数关系的运用，比较基础．16.已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线与圆C相切于点，则m=_____，r=______.参考答案：m=－2

【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.【详解】可知，把代入得，此时.【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.

17.在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用频率分布直方图的性质即可得出．（II）利用超几何分布列的概率与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由（0.005+0.021+0.035+0.030+x）×10=1，解得x=0.009．（4分）（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有100×0.009×10=9人，其中男生6人，女生3人．则X的值可以为0，1，2，3.，，，．（9分）则X分布列如下：X0123P（10分）所以X的期望．（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.设函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）令，试证明：．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；数列与函数的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（I）先求导数，再求出f'（x）＞0时x的范围；并且求出f'（x）＜0时x的范围；进而解决单调性问题．（II）令g（x）=f（x）﹣ax3=x﹣ln（x+）﹣ax3．则g′（x）=，令h（x）=，求其导数，下面对a进行分类讨论：（1）当a≥时，（2）当0＜a＜时，（3）当a≤0时，h′（x）＞0，最后综合得出实数a的取值范围．（III）在（II）中取a=，则x∈[0，]，时，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x=（）2n，利用等比数列求和公式即可证明结论．解答：解：（I）函数的定义域为R，由于f′（x）=1﹣≥0，知f（x）是R上的增函数．（II）令g（x）=f（x）﹣ax3=x﹣ln（x+）﹣ax3．则g′（x）=，令h（x）=，则h′（x）=，（1）当a≥时，h′（x）≤0，从而h（x）是[0，+∞）上的减函数，因h（0）=0，则x≥0时，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，进而g（x）是[0，+∞）上的减函数，注意g（0）=0，则x≥0时，g（x）≤0，也即f（x）≤ax3，（2）当0＜a＜时，在[0，]，h′（x）＞0，从而x∈[0，]时，也即f（x）＞ax3，（3）当a≤0时，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax3，综合，实数a的取值范围[，+∞）．（III）在（II）中取a=，则x∈[0，]，时，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x=（）2n，则＜（）2n，∴点评：本小题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．解决此类问题的关键是熟练掌握求导该生并且利用导数解决函数的单调区间问题．20.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元.额外聘请工人的成本为万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.（Ⅰ）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；（Ⅱ）该基地是否应该外聘工人，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）设下周一无雨的概率为，由题意，，，基地收益的可能取值为，，，，则，，，.∴基地收益的分布列为：，∴基地的预期收益为万元.（Ⅱ）设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益（万元），，综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人：成本低于万元时，外聘工人：成本恰为万元时，是否外聘工人均可以.21.在等比数列{an}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{|an﹣4|}的前n项和Sn． 参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I）设等比数列{an}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，an﹣4≥0．数列{|an﹣4|}的前n项和Sn=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（an﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出． 【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴an=2n． （II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2． 当n≥2时，an﹣4≥0． ∴数列{|an﹣4|}的前n项和Sn=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（an﹣4） =2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2． ∴Sn=． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式