高中数学-3.2　均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE6PAGE3．2均值不等式教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式≥的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式≥等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课前准备：四个全等直角三角形和四个全等的等腰三角形。课前课前：比较数的大小的基本方法。教学过程导入新课思路.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．（合作探究）利用手中的直角三角形摆出两个正方形，探寻四个直角三角形面积之和与正方形面积的关系（老师总结）一般的对于任意实数a,b都有当且仅当a=b时等号成立（学生证明）老师展示学生证明过程及规范证明过程∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即.活动：这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．推进新课得出本节课的内容均值不等式：（教师引导）在上面的公式中会得到什么呢？学生讨论，教师板书eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a、b的eq\f(a＋b,2)叫做数a、b的算术平均值，数eq\r(ab)叫做a、b的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．两个公式的关系重要不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，)当且仅当a＝b时取“＝均值不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0,b>0)当且仅当a＝b时取“＝下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？(学社思考)老师提示：OD=，CD，两者之间的关系(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD＝eq\r(ab).或由射影定理也可得到CD＝.eq\r(ab)从图中我们可直观地看到表示的是半弦长，eq\f(a＋b,2)表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为：.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．讨论结果：(1)(2)略．(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．共同提高：对均值不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0,b>0)的理解几何解释;半径不小于半弦均值定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数从数列角度看：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项深入探究揭示本质1注意公式成立的条件（1）a,b是两个正数（2）当且仅当a=b时等号成立2公式变形eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0,b>0可变形为学以致用例1(教材本节例1)展示例1活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的相当于均值不等式中的a、b.因此必须有，∈R＋.点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.教材本节例2)一个矩形的德面积为100平方米，问这个矩形得长，宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少?已知矩形的周长是36米，问这个矩形的长，宽各为多少时它的面积最大？最大是多少？活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．反思总结1两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则当且仅当a=b时等号成立和定积最大2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥当且仅当a=b时等号成立积定和最小强化练习对接高考（2014，福建）要制作一个容积为4立方米，高为1米的无盖长方体容器，已知该容器的地面造价是每平米20元，侧面造价是每平米10元，该容器的最低造价是A80元B120元C160元D240元(生解答)展示规范答案设容器的长宽分别为am,bm则ab=4容器的总造价为20ab+2(a+b)x10=80+20(a+b)≥80+40eq\r(ab)=160（元）课堂总结1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数()，几何平均数()及它们的关系(≥)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．习题3—2A组，4,5,6.习题3—2B组，1,2.学情分析均值不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中的“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用均值不等式的类型，学生解决起来有一定的困难。均值不等式效果分析评价维度评课因素权值评课层次对比因素优良中差评析学生学习活动的5个维度100分1参与状态20分参与形式参与学习活动的形式多样适当，如师生谈话、合作交流、动手实践、自主探索6

学生无精打采或只有少数学生在按老师要求学习，只重视练习阶段时学生的参与，学生参与学习的方式单一投入形式是否积极参与教学的全过程4展开不同层次的学生是否都能积极参与4深入学生在参与学习中，师生、生生能进行深层次的思考和交流，即能进行实质性参与6拓展学生不仅参与学，还参与教；不仅课内，而且延伸到课外42情绪状态20分气氛活跃学生是否具有适度的紧张感和愉悦感12

课堂气氛沉闷，学生情绪低落，学生注意力分散，课堂秩序较混乱及时反馈学生能否善于自我控制，调节学习情绪，保持良好的注意状态83交往状态20分交流充分能否构建师生、生生及媒体之间信息交流的立体结构，信息交流充分8

师生配合不够，缺少民主，师生或生生之间，讨论的内容属浅层次、低水平或没有经过个体精思就匆忙展开合作讨论，或合作讨论不充分，刚一开锣就草草收场，只追求表面形式，而无视实际效果有效合作合作讨论的内容是否有思考性，有价值；是否有明确的分工，每人都有事可做；注重合作前的独立思考（多少时间？）；是否有足够的时间和空间展开合作讨论（多少时间？）12

4思维状态20分主动积极参与思考能否引发大多数学生积极思考，展现出解决问题的强烈愿望，举手回答问题率80％以上，学生是否敢于提出问题，发表见解（这样的人次有多少？）10

学生举手答题率较低，学生很少有发表见解的机会或对学生的质疑缺乏及时的深入的探讨，学生自主独立思考的时间很少。思维得到深层次发展学生提出的问题与见解具有挑战性与独创性（引发了学生主动创造？）（这样的人次有多少？）学生能否把握经过猜想和探索发现的结论作为新的思维素材，去努力探索新的发现（这样的人次有多少？）10

5生产状态20分成就感学生是否都能各尽所能，感到踏实和满足。学生是否保持一种积极进取的心态，有强烈的成功欲望，对学习更有信心和兴趣10

学生学习态度很被动或紧张；缺乏上进心，自信心；不积极参与思考或分析问题思路狭窄，不灵活；易受不良情绪干扰。严谨感学生能否调控自己学习的消极心理，调整不利于积极思维的思维定势、惰性、畏惧、自卑、闭锁等不良心理10

综合评价总分:85优点、特色：优良中差问题、建议：90-10075--8961--7460以下教材分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排2课时评测练习3（2014，福建）要制作一个容积为4立方米，高为1米的无盖长方体容器，已知该容器的地面造价是每平米20元，侧面造价是每平米10元，该容器的最低造价是A80元B120元C160元D240元 课后反思1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y都是正数；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等．2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一