高中数学第三章直线与方程31直线的倾斜角与斜率第2课时两条直线平行与垂直的判定讲义含解析新人教A必修2

高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率第2课时两条直线平行与垂直的判断讲义含解析新人教A必修2_高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率第2课时两条直线平行与垂直的判断讲义含解析新人教A必修2_/高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率第2课时两条直线平行与垂直的判断讲义含解析新人教A必修2_第2课时两条直线平行与垂直的判断[中心必知]1．预习教材，问题导入依照以下大纲，预习教材P86～P89，回答以下问题：(1)观察教材图3.1－7，设关于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？提示：α1与α2之间的关系为α1＝α2；关于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，由于α1＝α2，所以tan_α1＝tan_α2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1、k2不存在．观察教材图3.1－10，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1、k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？提示：α2＝α1＋90°，由于三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．归纳总结，中心必记两直线平行的判断①关于两条不重合的直线l，l，其斜率分别为k1，k，有k＝k?l∥l.1221212②若直线l1和l2可能重合时，我们获取k1＝k2?l1∥l2或l1与l2重合．③若直线l1和l2的斜率都不存在，且不重合时，获取l1∥l2.两直线垂直的判断①若是两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们垂直，即l1⊥2?12＝－1.lkk1②若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直．[问题思虑]若两条直线平行，斜率必然相等吗？提示：不用然，垂直于x轴的两条直线，诚然平行，但斜率不存在．(2)若两条直线垂直，它们的斜率之积必然为－1吗？提示：不用然，若是两条直线l1，l2中的一条与x轴平行(或重合)，另一条与x轴垂直(也即与y轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．[课前反思]经过以上预习，必定掌握的几个知识点．怎样判断两条直线平行？；怎样判断两条直线垂直？.[思虑]对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点？名师指津：对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：(1)l∥l?k＝k成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．12122(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.两条不重合直线平行的判断的一般结论是：l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．讲一讲1．依照以下给定的条件，判断直线l1与直线l2的地址关系．(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点(3,23)，(－2，－33)．MN[试一试解答](1)由题意知k＝5－14－7＋34＝－，k＝＝－.12由于k＝k，且A，B，C，D四点不共线，所以l∥l.121233－23(2)由题意知k1＝tan60°＝3，2＝＝3.k－2－3由于k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．判断两条直线可否平行的步骤练一练1．试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．3m－0解：由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝－5－＋＝m5－31k＝k，即m1，k＝＝，由于AB∥CD，所以＝，得m＝－2.经CD0－－2ABCD－6－m2－6－m考据m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.[思虑]对两直线垂直与斜率的关系应注意什么？名师指津：对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点：(1)l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判断两条直线垂直的一般结论为：l1⊥l2?k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．讲一讲2．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若是l1⊥l2，求a的值．[试一试解答]设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴l2的斜率存在．当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，吻合题意．当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，3－aa－2－3由k1·k2＝－1，得a－2－3·－1－2＝－1，解得a＝－6.综上可知，a的值为5或－6.4利用斜率公式来判断两直线垂直的方法一看：就是看所给两点的横坐标可否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标可否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．二代：就是将点的坐标代入斜率公式．三求：计算斜率的值，进行判断．特别是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行谈论．练一练2．已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是__________．－3解析：以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则kAC＝x＋1，2kBC＝x－4，3－2所以x＋1·x－4＝－1，得x＝1或2，所以C(1,0)或(2,0)．答案：(1,0)或(2,0)讲一讲3．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若按次连接A，B，C，D四点，试判断图形ABCD的形状．(链接教材P89—例6)5[思路点拨]画出图形，经过求四条边所在直线的斜率，解析它们之间的关系判断图形形状．[试一试解答]由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的地址，以下列图，5－31由斜率公式可得kAB＝2－－＝3，0－310－3＝－3，kCD＝＝，kAD＝－－3－63－3－3－51kBC＝6－2＝－2.所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．1又由于kAB·kAD＝×(－3)＝－1，3所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．利用两条直线平行或垂直判断图形形状的步骤6练一练3．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．解：设所求点D的坐标为(x，y)，如图，由于kAB＝3，kBC＝0，kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可以作为直角梯形的直角腰．若AD是直角梯形的直角腰，y－3y则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝x，kCD＝x－3，y－3由于AD⊥AB，∴x·3＝－1.①又∥，∴y＝3.②ABCDx－3718x＝5，解①②两式可得此时AD与BC不平行．9y＝.若DC为直角梯形的直角腰，则DC⊥BC，且AD∥BC.kBC＝0，∴DC的斜率不存在．故x＝3，又AD∥BC，则y＝3.故D点坐标为(3,3)．189综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或5，5.——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判断条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线平行的步骤，见讲1.(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见讲2.(3)判断图形形状的方法步骤，见讲3.3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论，如讲2.8课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组1两条直线平行的判断及应用1．若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α、α，斜率分别为k、k，1212有以下命题：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若α1＝α2，则l1∥l2.其中真命题的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C①错，两直线不用然有斜率．2．已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是( )A．－8B．0C．2D．104－m解析：选A由题意可知，kAB＝＝－2，所以m＝－8.m＋23．过点A(1,3)和点B(－2,3)的直线与直线y＝0的地址关系为________．3－3解析：∵直线y＝0的斜率为k1＝0，过A(1,3)，B(－2,3)的直线的斜率k2＝－2－1＝0,∴两条直线平行．答案：平行94．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为________．解析：∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF∥AB.1－3kEF＝kAB＝2－0＝－2.答案：－2题组2两条直线垂直的判断及应用5．(2016·淄博高一检测)直线l，l的斜率是方程2的两根，则l与l2121的地址关系是( )A．平行B．重合C．订交但不垂直D．垂直解析：选D设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.6．若不同样两点P、Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直均分线的斜率为________．3－a－b解析：由两点的斜率公式可得：kPQ＝3－b－a＝1，所以线段PQ的垂直均分线的斜率为1.答案：－17．已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．3解析：由题意可知直线l1的斜率k1＝tan30°＝3，设直线l2的斜率为k2，则k1·k2＝－1，∴k2＝－3.答案：－3题组3两条直线平行与垂直的综合应用8．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为极点的三角形是( )A．锐角三角形10B．钝角三角形C．以A点为直角极点的直角三角形D．以B点为直角极点的直角三角形1－－24－13解析：选CkAB＝－1－2＝－3，kAC＝1－－＝2，∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A点为直角极点的直角三角形．9．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．若l1∥l2，求a的值．若l1⊥l2，求a的值．解：设直线l2的斜率为k2，2－＋a则k2＝－＝－.1－32－a2－aa若l1∥l2，则直线l1的斜率为k1＝a－4，所以a－4＝－3，解得a＝1或a＝6，经检验当a＝1或a＝6时，l1∥l2.(2)若l1⊥2，①当2＝0时，此时a＝0，1＝－1，不吻合题意；②当k2≠0时，l1的lkk22－a斜率存在，k1＝a－4，2－aa由k1·k2＝－1获取a－4×－3＝－1，解得a＝3或a＝－4.10．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．24－22y－4y解：设D(x，y)，则kAB＝3－1＝1，kBC＝0－3＝－3，kCD＝x，kDA＝x－1.由于AB⊥CD，AD∥BC，11y－41×x＝－1，所以kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，即y2x－1＝－.3x＝10，解得即D(10，－6)．y＝－6.[能力提升综合练]1．以下说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若l1∥l2，则k1＝k2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为()A．(0，－6)B．(0,7)C．(0，－6)或(0,7)D．(－6,0)或(7,0)解析：选C由题意可设点P的坐标为(0，y)．由于∠APB＝90°，所以AP⊥BP，且直y＋5y－6y＋5y－62，k＝－6·－6APBPAPBP＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)．3．(2016·邯郸高一检测)若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为( )A．135°B．45°C．30°D．60°12a＋1－b解析：选BkPQ＝b－1－a＝－1，kPQ·kl＝－1，∴l的斜率为1，倾斜角为45°.4．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为极点的四边形是( )A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：选B以下列图，易知k＝－33134444，所ABBCCDADBDAC3以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－12，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直．所以四边形ABCD为平行四边形．5．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，给出下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正确的选项是________．(把正确选项的序号填在横线上)331解析：∵kAB＝－5，kCD＝－5，kAC＝4，kBD＝－4，AB∥CD，AC⊥BD.答案：①④6．