2024届新高考一轮复习湘教版 7-1 基本立体图形、空间几何体的表面积与体积 学案

第七章立体几何第一节基本立体图形、空间几何体的表面积与体积【课标标准】1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．必备知识·夯实双基知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相____且____多边形互相____侧棱__________相交于______但不一定相等延长线交于________侧面形状______________________(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且____于底面相交于____延长线交于____轴截面全等的____全等的__________全等的____________侧面展开图____________2.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：(1)“斜”：直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°.(2)“二测”：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的________．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝____S圆锥侧＝____S圆台侧＝____4.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝________锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝________台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上球S＝________V＝________[常用结论]1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝24S原图形夯实双基1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．()(4)菱形的直观图仍是菱形．()2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A．1cm B．2cmC．3cm D．323.(教材改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．4．(易错)如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，FG∥BC.则剩下的几何体是()A．棱台 B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱5．(易错)圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为________．关键能力·题型突破题型一基本立体图形角度一结构特征例1下列命题正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．正六棱锥的侧棱和底面边长一定不相等D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形[听课记录]题后师说辨别空间几何体的两种方法巩固训练1下列说法正确的是()A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱D．圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交角度二直观图例2[2022·河南新乡期末]在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，A(22，0)，B(22，2)，C(0，6)．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形O′A′B′C′的面积为()A．4B．42C．8D．82[听课记录]题后师说用斜二测画法画几何体的直观图，掌握线段的方向、长度两要素的变化规律即可；几何体的直观图和原几何体的关系(形状和数量关系)是解题的关键．巩固训练2[2023·河北张家口期末]如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1，则原图形是()A．面积为62的矩形B．面积为32C．面积为62的菱形D．面积为32角度三展开图例3[2023·广东佛山期末]如图，某圆柱的高为13，底面圆的半径为3，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为________．[听课记录]题后师说多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．巩固训练3[2023·河北石家庄二中模拟]已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．3 B．23C．6 D．43角度四截面问题例4[2023·辽宁锦州期末]已知正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为2，E为棱BB1的中点，则经过A1，D，E三点的正方体的截面面积为()A．92 B．3C．332 D[听课记录]题后师说(1)求解与截面有关问题的关键是确定截面的形状，并从几何体中获取相关的数据进行计算．(2)作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连成截线，从而得到截面．巩固训练4[2023·河南郑州模拟]用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是()①等边三角形②直角梯形③菱形④五边形A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④题型二空间几何体的表面积例5(1)如图，已知正方体的棱长为a，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为()A．(8＋22)a2 B．(2＋42)a2C．(4＋22)a2 D．(6－42)a2(2)[2023·湖北腾云联盟]已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为()A．36 B．1210＋20C．1213＋20 D．48(3)[2023·辽宁沈阳二中模拟]半径为3的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面半径为22的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为________．[听课记录]题后师说求解几何体表面积的策略巩固训练5(1)已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为2，高为2，则该圆台的侧面积为()A．2πB．3πC．32πD．33π(2)[2023·辽宁协作体]已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为5，则这个三棱锥的表面积为()A．4＋33+15B．4＋3＋C．4＋3+15D．4＋(3)[2023·山东潍坊期末]已知圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为________.题型三空间几何体的体积例6(1)若一个圆台的高为3，母线长为2，侧面积为6π，则该圆台的体积为()A．53π3 BC．53π D．73π(2)[2023·重庆模拟]如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BA⊥AD，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则四面体A′-BCD的体积为()A．16 B．C．13 D．(3)如图中的多面体的底面是边长为a的正方形，上面的棱平行于底面，其长为2a，其余的棱长都是a.已知a＝62，则这个多面体的体积是________．[听课记录]题后师说求空间几何体的体积的三种方法巩固训练6(1)[2023·江苏南通模拟]已知圆锥的轴截面是斜边为23的直角三角形，该圆锥的体积为()A．33π B．3C．3π D．33π(2)[2023·浙江丽水期末]《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤六丈，上袤四丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝6丈，上棱EF＝4丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是()A．8立方丈 B．6立方丈C．5立方丈 D．4立方丈(3)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，点M，N分别为棱AA1，CC1的中点，则棱锥B-AMNC的体积为________．第七章立体几何第一节基本立体图形、空间几何体的表面积与体积必备知识·夯实双基知识梳理1．(1)平行全等平行平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形(2)垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆矩形扇形扇环2．斜二测一半3．2πrlπrlπ(r＋r′)l4．S底·h13S底·h4πR243π夯实双基1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，∵侧面展开图是一个半圆，∴πl＝2πr⇔l＝2r，∵圆锥的表面积为12π，∴πr2＋πrl＝3πr2＝12π，∴r＝2，故圆锥的底面半径为2cm.答案：B3．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－148abc＝4748答案：1∶474．解析：根据几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选C.答案：C5．解析：当圆柱的高为8cm时，r＝6πcm，V＝π×(6π)2×8＝288πcm3；当圆柱的高为12cm时，r＝4πcm，V＝π×(4π)2×12＝答案：288πcm3或192π关键能力·题型突破例1解析：有两个面平行，其余各面有相邻的公共边且都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，如图所示，A、B都错；对C，正六棱锥的底面为正六边形，其底面最长的对角线长度为底面边长的两倍，又该对角线和相交的两条侧棱要构成三角形，故侧棱一定大于底面边长，C对；对D，棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错．故选C.答案：C巩固训练1解析：对于A，由圆锥的性质知：圆锥的底面为圆面，侧面为曲面，A正确；对于B，一张扇形的纸片只能卷出圆锥的侧面，不包含底面，B错误；对于C，若两个相等的圆面不平行，则该几何体不是圆柱，C错误；对于D，圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥所得，则任意两条母线的延长线必然相交于一点，D错误．故选A.答案：A例2解析：如图，画出直观图，过点A′作A′D⊥O′C′，垂足为D.因为O′C′＝12OC＝3，∠C′O′A′＝∠B′A′x＝45°所以O′C′∥A′B′，O′D＝A′D＝2，C′D＝1＝A′B′，则A′D＝B′C′＝2，故四边形O′A′B′C′的面积为S＝1+3×2故选A.答案：A巩固训练2解析：∠D′O′A′＝45°，O′C′＝1，所以O′D′＝2，故在原图中，OD＝22，OC＝OD2+CD2＝所以四边形OABC为菱形(如图所示)，OA＝3，则面积为62.故选C.答案：C例3解析：如图，将圆柱侧面展开，BC＝23π2＝3则在圆柱侧面的展开图上，最短路径的长度为AB＝3π2+13答案：13+3巩固训练3解析：设圆锥的母线长为l，由底面半径为r＝3，侧面展开图为一个半圆，所以2πr＝πl，所以该圆锥的母线长为l＝2r＝23.故选B.答案：B例4解析：正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D∥平面CBB1C1，则平面A1DE与平面CBB1C1的唯一交线与A1D平行．取BC中点F，连接EF、DF、A1E、A1D，则四边形A1DFE即为经过A1，D，E三点的正方体的截面．梯形A1DFE中，A1D∥EF，A1D＝22，EF＝2，A1E＝DF＝5，则梯形的高为52-2则梯形A1DFE的面积为12(2＋22)×3故选A.答案：A巩固训练4解析：如图，用一个平面截正方体，截面可能出现的形状是等边三角形，菱形，五边形．故选C.答案：C例5解析：(1)由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为2a，宽为a，所以面积为2a2，所以拼成的几何体的表面积为4a2＋22a2＝(4＋22)a2.故选C.(2)设正四棱台上、下底面的中心为O，O1，CD为侧面上的斜高，过C作CE⊥O1D交边O1D于点E，所以O1O＝3，OC＝1，O1D＝2，所以CD＝9+1＝10，所以正四棱台的上、下底面的面积为：S1＝22＋42＝20，正四棱台的侧面积为：S2＝2+42×10×4＝则其表面积为：S＝S1＋S2＝20＋1210.故选B.(3)要使圆柱的体积最大，即圆柱的高最大，所以仅当圆柱上下底面是金属球的截面时高最大，为h＝232-2所以侧面积为S＝2×22π×2＝82π.答案：(1)C(2)B(3)82π巩固训练5解析：(1)设圆台上、下底面的半径分别为r1，r2，高为h，母线长为l，则l＝r2-r因此圆台的侧面积S＝π(r1＋r2)l＝33π.故选D.(2)结合题目边长关系，三棱锥如图所示，AB＝AC＝AD＝2，CE＝5，由题意△ABC，△ACD是等腰直角三角形，则BC＝CD＝22，BE＝222-52＝3，BD＝23，AE＝22-32＝1，则表面积为S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝12×2×2＋12×2×2＋12×23故选C.(3)圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形．则圆锥的底面直径为2，母线长为2，故该圆锥的侧面积为πrl＝2π.答案：(1)D(2)C(3)2π例6解析：(1)设圆台的上底面半径为r′，下底面半径为r，母线为l，则圆台的侧面积S＝π(r′＋r)l＝6π，可得r′＋r＝3，又因为圆台的高h为3，可知r－r′＝22-32＝1，故有r′＝1，圆台的体积V圆台＝13πh(r′2＋r′r＋r2)＝13π×3×(1＋2＋4)＝故选B.(2)由题意，平面