2021年高考数学模拟训练卷 (一百二十九)(含答案解析)

2021年高考数学模拟训练卷（129）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.（）分）

1.集合｛xez||x-l|<2｝的非空子集的个数是（）

A.4B.6C.7D.8

2.如果z=+1）+（巾2一为纯虚数，则实数瓶的值为（）

A.1B.0C.-1D.-1或1

3.如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）

0in

CD正方体痂僚③三帔台④正四陵锥

A.①②B.①③C.①④D.②④

4.各项均为正数的等比数列｛Q7a中，&。4=4,则的%+的的值为（）

A.5B.3C.6D.8

5.从（40,30）,（50,10）,（20,30）,（45,5）,（10,10）这5个点中任取一个，这个点在圆/+y2=2016

内部的概率是（）

A.IB.|C.：D.1

6,已知b>Q>0且a+b=1,贝恒（）

A.b>a2b2>2ab>->aB.Z?>a24-b2>->2ab>a

22

C.a2+b2>b>->a>2abD.a2-^-b2>b>a>->2ab

22

7.直线（+£=1和坐标轴所围成的三角形的面积是（）

A.2B.5C.7D.10

8.若直线以+y+4=0上存在点P,过点P作圆产+y2_2y=0的切线,切点为Q,若|PQ|=2,

则实数Z的取值范围是（）

A.[-2,2]B.[2,+8）

C.（-00,-2]U[2,4-00）D.U[1,+8）

9.函数y=1cos（x+§图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为（）

A.VTT2+1B.J?+lC.V4TT2+1D.VTT24-4

10.已知A是双曲线。圣一3=l(a,b>0)的右顶点,过左焦点尸与y轴平行的直线交双曲线于P,

。两点，若A4PQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围是

A.(1,V2)B.(1,V3)C.(1,2)D.(2,+oo)

11.函数/'(x)=V3sin8x+2cos的最大值是()

A.3B.2C.1D.4

12.已知矩形A8CD,E、尸分别是BC、AO的中点，且BC=24B=2,现沿E尸将平面ABEF折起，

使平面4BEF，平面EFDC,则三棱锥4-FEC的外接球的体积为()

A.—yrB.—yrC.V3TTD.2V3TT

32

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.平面向量丘=(2,2),3=(一1,3)，若(定一石)_1_(入/+了)，则2=.

14.若曲线'=支吾在点(a,a4)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则。=.

(x-y+3>0,

15.已知实数x,y满足约束条件｛x+2y>0,贝近=3尤+y的最小值为_________.

Ix<2,

16.已知F「F2是椭圆9+3=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且44居尸2=45。，则△4吊尸2的面

积为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.()分)

17.在△力BC中，用气，4B=4a点。在BC上，且CC=3,cos^DC=g

(/)求sin/B4。；

(II)求8。AC的长.

18.为了研究家庭结构对学生学习成绩的影响，某机构在本区高一年级从单亲家庭和双亲家庭中随

机抽取部分学生，结合期末考试成绩，得出如表2x2列联表.

优秀非优秀总计

双亲家庭50

单亲家庭30120

合计210

附：K2-(a+b)(L)(a+)c)(b+d)，其中…+b+c+d.

P(K2>k0)0.150.100.050.010.001

ko2.0722.7063.8416.63510.828

(1)请完成如表的2x2列联表，并分析能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“成绩与

家庭结构有关”；

(2)若采用分层抽样的方法从单亲家庭的学生中随机抽取4人，从这4人中再随机抽取2人，求

取到优秀的学生的概率.

19.如图，在三棱柱ABC-CBiQ中,4C1平面BCQBi，4c=1,BC=遮，BB、=2,乙B$C=30°.

(1)证明：BiC_L平面ABC

(2)求二面角区-ArC-G的余弦值.

20.已知函数f(x)=e«%+l).

(I)求曲线y=f(%)在点(0J(0))处的切线方程；

(II)若对于任意的x6(—8,0),都有/"(AOA/C,求火的取值范围.

21.已知8(1,2)是抛物线M：于=2px(p>0)上一点，尸为M的焦点.

(1)若C(|,b)是M上的两点，证明：|F4|,|FB|,|FC|依次成等比数列.

(2)若直线y=kx-3(kH0)与M交于201，%)，Q(%z，力)两点，且以+乃+乃为=一4,求线

段PQ的垂直平分线在x轴上的截距.

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线C的

极坐标方程为ps讥2。=mcos6(m>0),过点P(-2,-4)且倾斜角为?的直线/与曲线C相交于A,

B两点、.

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程；

(2)若|4P|•|BP|=田川2,求加的值.

23.2知函数f(x)=-1|+2|x+1|.

(1)求不等式/(x)<5的解集;

(2)若不等式f(x)2x-m的解集为R,求机的取值范围

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查了真子集的个数，先得出集合元素的个数，再由真子集的个数为2"-1得出结果.

解：集合{工€Z||x-1|<2}={xeZ|-1<X<3}={0.1,2},

所以其非空子集的个数是23—1=7,

故选C.

2.答案：B

解析：

本题考查了纯虚数的定义，是一道基础题.

根据纯虚数的定义判断即可.

解：由题意得：

(m(m+1)=0

Im2-1*0，

解得：m=0,

故选：B.

3.答案：D

解析：

本题主要考查空间几何体的三视图。

解：正方体三个面的视图都是正方形，不符合条件，

圆锥的侧视图与正视图都是三角形，符合条件，

三棱台的三个试图均不相同，不符合条件，

正四棱锥的正视图与侧视图相同，符合条件。

故选D。

4.答案：C

解析：

各项均为正数的等比数列｛即｝中，可得：a2a4==送=4,求出。3，即可得出答案.

本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

解：各项均为正数的等比数列｛aj中，可得：a2a4==踞=4,

解得=2.

•••。必+a?=4+2=6.

故选：C.

5.答案：B

解析：

本题考查古典概型的概率求法；首先明确事件的总数以及名字条件的事件数，利用古典概型的概率

公式求值.

解：从(40,30),(50,10),(20,30),(45,5),(10,10)这5个点中任取一个的基本事件总数为5,这个

点在圆/+y2=2016内部包含的基本事件有(20,30),(10,10),共2个，

・•・这个点在圆/+y2=2016内部的概率P=|；

故选&

6.答案：B

解析：

本题考查不等式的性质以及比较大小，属于基础题.

根据题意，运用不等式的性质求解.

解：因为b>Q>0且a+b=1,

:.b=b(a+b)=ab-Vb2>a2+b2

>=^>2ab>a(a+b)=Q,

.-.b>a2+b2>l>2ab>a,

故选&

7.答案：B

解析：解：直线2+9=1,与坐标轴的交点分别为(5,0),(0,2),

直线，=1和坐标轴所围成的三角形的面积是：x2x5=5,

故选B.

求出直线声”1,与坐标轴的交点分别为(5,0),(0,2),即可求出直线""1和坐标轴所围成的

三角形的面积.

本题考查直线的截距式方程，考查三角形面积的计算，比较基础.

8.答案：C

解析：解：圆C：+y22y=0的圆心(0,1),半径是r=1,

由题意，尸Q是圆C：/+、2一2丫=0的一条切线，Q是切点,|PQ|=2,

\PC\yj22+I2=圾,

.♦.由点到直线的距离公式可得瑞<\PC\=V5,

k.<-2或k>2.

故选：C.

利用PQ是圆C/+丫2-2丫=0的一条切线，。是切点，PQ长度为2,可得圆心到尸点的距离

PC长度，由点到直线的距离小于等于PC长度可得k的取值范围.

本题考查直线和圆的方程的应用，考查圆的切线，点到直线的距离公式等知识，是中档题.

9.答案：A

解析：

本题考查对余弦函数图像与性质的理解.

解：由于y=》os(x+9的周期是2兀，最大值为《最小值为一右

・•・相邻的最高点和最低点的横坐标之差为半个周期兀，纵坐标之差:-(-3=1,

y=：cos(x+§图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是荷TT.

故选A.

10.答案：c

解析：

本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b\考查双曲线的离心率问题就是

研究三参数mb,c的关系.

利用双曲线的对称性及锐角三角形"4F<45。得到4尸〉PF,求出A的坐标；求出AF,PF得到关

于a,b,c,的不等式，求出离心率的范围.

解：MAPQ是锐角三角形

・••"4F为锐角

・••双曲线关于x轴对称，且直线垂直x轴

•••Z.PAF=Z.QAF<45°

PF<AF

为左焦点，设其坐标为(-c,0)

所以力(a,0)

所以PF=—,AF=a+c

a

・•・日VQ+cBPc2—ac—2a2<0

解得一1<£<2

a

双曲线的离心率的范围是(1,2)

故选C.

11.答案：A

解析：

本题主要考查了二倍角公式，两角和差公式，属于基础题，

根据计算即可得到答案.

解：•1,/(x)-丫行$加81+

=+1+CUSST

=2sin(ST+1)+1,

所以/'(X)max=3,

故选A.

12.答案：B

解析:

本题考查几何体的外接球的体积的求法，关键是球的半径的求解，考查计算能力，属于基础题.

求出几何体的外接球的直径，然后求解外接球的体积即可.

解：几何体的外接球就是棱柱的外接球，也就是扩展的正方体的外接球，

正方体的棱长为1，体对角线就是外接球的直径，体对角线的长度为百，

A

所求外接球的体积为：早X(?)3=4兀.

故选：B.

13.答案：|

解析：

本题考查了向量的垂直与数量积的关系，属于基础题.

利用向量的垂直与数量积的关系即可得出.

解：a-b=(3,-1).la+fe=(22-l,2A+3);

-~b)±(xir+~b),

(a-b)■(Aa+b')=

即3(24—1)一(24+3)=0

解得A=|.

故答案为：|.

14.答案：64

解析：解：y'=—k=—1a-2,切线方程是y—=—?a-%x—a)，

令x=0,y=|a~2,令y=0,x=3a,

三角形的面积是S=--3a--a~2=18>

22

解得a=64

故答案为：64

求出y',然后把x=a代入y'即可求出切线的斜率，根据斜率和点(a,cT句写出切线的方程，分别令％=

0和y=0求出与坐标轴的截距，然后根据三角形的面积公式表示出面积让其等于18得到关于。的方

程，求出方程的解即可得到〃的值.

此题为一道综合题，要求学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，以及会根据斜率和一点写出

切线的方程.会求直线与坐标轴的截距.

15.答案：-5

解析：解：由实数x,y满足约束条件

%—y+3N0

x+2y>0作出可行域如图，

X<2

联立°,解得4一2,1),

(人•乙1y-u

化目标函数z=3%+、为^=-3%+z,

由图可知，当直线y=-3尤+z过A时，直线在

y轴上的截距最小，z有最小值为3x(-2)+1=

-5.

故答案为：-5.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程

的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

16.答案：\

解析：

本题给出椭圆的焦点三角形满足的条件，求三角形的面积.着重考查了椭圆的定义与标准方程、余

弦定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题.

根据椭圆的方程算出a=3、b=夕，可得焦距|0尸2|=2近，由椭圆的定义得MF21=6-|4&|.由

此在△4&尸2中利用余弦定理解出长，根据正弦定理的面积公式即可算出的面积.

解：由题意，可得

•••椭圆的方程为1+日=1,

97

•••a=3,b=y/7>可得c-yja2—b2=V2>

故焦距IF/2I=2夜，

•••根据椭圆的定义,得

|40|+\AF2\=2a=6,

.••△/IF1F2中，利用余弦定理得

2+|&尸产-仍|•。2所以2

\AFi\22|l&F21cos45=\AF2\,MF2E=\AFX\-4|40|+8,

即(6-|40|)2=恒&|2-4|4a|+8,解之得|/&|=1,

故44尸#2的面积为S=]/尸1|•I&F21s比45。

17.答案：解：(I)•・•/-ADC+Z.ADB=n,且coszL4DC=cos乙ADB=—g，

••・sinZ.ADB=A/1—cos?乙ADB=等，

由NB+Z.ADB4-乙BAD="得，sinZ-BAD=sin(z^+Z.ADB)

=sinz.Bcosz.ADB+cosZ-BsinZ.ADB

鱼―/V5,,V22V5V10

=——X(-----)d----X-----=-----；

2v572510

(11)在448。中，由正弦定理得一^^=一矢，

''sinz.fi/lDsinz.ADB

...BD=4&sin皿0=4、叵X嘿=2,

sin乙4082」

由正弦定理得$=—%，二4。=空=2通，

sinzfisinzXDF2V5

5

在A力DC中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2_2AD.DC•cos^ADC

=20+9-2x275x3x^=17，

AC=V17.

解析：本题考查正弦、余弦定理的综合应用，两角和的正弦公式等，熟练掌握公式和定理是解题的

关键，考查化简、计算能力，属于中档题.

(1)由乙4。。+4408=兀和诱导公式求出(：05乙4。8,由平方关系求出sin乙4DB,由内角和定理、两

角和的正弦公式求出sin/BAD；

(U)在△ABD中由正弦定理求出B。、AD,在AADC中由余弦定理求出AC的值.

18.答案：解：(1)根据题意，补充2x2列联表如下；

优秀非优秀总计

双亲家庭405090

单亲家庭3090120

合计70140210

n(ad-bc)2210x(40x90-30x50)2„-

,-o./56.635,

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)90x120x70x140

・•・能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“成绩与家庭结构有关”；

(2)采用分层抽样的方法从单亲家庭的学生中随机抽取4人，

优秀有1人，记为4,非优秀有3人，记为氏c、d,

从这4人中再随机抽取2人，基本事件数为

Ab、Ac、Ad、be、bd、cd共6种不同取法，

取到优秀的学生的事件为4氏Ac、Ad共3种不同取法，

故所求的概率为P=J=i

62

解析：本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，用列举法写出基本事件数，计算所

求的概率值，是基础题.

(1)根据题意补充2x2列联表，计算K2,对照临界值得出结论；

(2)采用分层抽样法求得抽取4人中优秀与非优秀人数.

19.答案：(1)证明：因为BC=V5，BBy=2,/.ByBC=30°,

所以BiC=j3+4-2xgx2cos30°=1，

所以BC2+BC=BB：,则BiC_LBC.

因为ACJ_平面BCGBi，且BiCu平面BCCiBi，

所以ACIBiC,

因为BCn4C=C,所以81cl平面48c.

(2)解：由(1)可知CA,CB,CBi两两垂直，故以C为原点，西，CB，方的方向分别为x,y,z轴

的正方向建立空间坐标系C-xyz.

则4式1,一封1),0),C(0,0,0),"1,一封0),

故国=(1,一代,1)，函=(1,0,0)，=(0,0,-1).

设平面4B1C的法向量沆=(x1,y1,z1'),

则0t-CA^=x1-吗i+Zi=0,

令力—1,则沅=(0,1,V3)-

设平面41cle的法向量记=(x2,y2,Z2)>

则1元•毋；=-z2=0,

(n-CAX=x2-V3y2+z2=0,

令丁2=1,则元=(V3,1,0)

则cos<沅㈤=繇=六=；.

设二面角Bi-4C-Ci为0,

由图可知。为锐角，则cos8="

4

解析：(1)通过勾股定理计算证明/C1BC.推出AC1BC然后证明，平面ABC.

(2)以C为原点，西，而,心?的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间坐标系C-xyz.求出平面4B1C

的法向量，平面4GC的法向量，设二面角B1-4C-G为。，利用空间向量的数量积求解即可.

本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算

能力，是中档题.

20.答案：解：(I)v/(x)=ex(x+l),

/'(x)=ex(x+1)+e*=ex(x+2),

f'(0)=e0•(0+2)=2,

W0)=l,

•••曲线曲线y=/(x)在点(0)(0))处的切线方程为：

y-1=2(x—0),B|J2x—y+1=0；

(H)令/'(x)=0,得x=-2,

当x变化时，/(x)和尸(x)的变化情况如下表：

X(-00,-2)-2(-2,0)

r(x)—0+

f«)极小值7

•••f(x)在(一8,—2)上递减，在(—2,0)上递增，

f(x)在(-8,0)上的最小值是/(-2)=-e-2.

-e-2>k,即k<-e-2.

・•.k的取值范围是(一8,-e-2).

解析：(I)求出原函数的导函数，得到f'(1)的值，再求出/(I),然后直接利用直线方程的点斜式得

切线方程；

(H)利用导数求出函数f(x)在(-8,0)上的最小值，根据f(x)>k,可得幺小于f(x)在(-8,0)上的最

小值.

本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，是中档题.

21.答案：证明：(1)8(1,2)是抛物线M：y2=2px(p>0)上一点,

•••4=2p,

**,p=2,

：,y2—4x,

根据题意可得：|F*="1=|,\FB\=1+1=2,|FC|=|+1=|,

38彳

v22=-x-=4,

23

•••尸川，|FB|,|FC|依次成等比数列.

⑵由匕2魂J3,消X可得ky2-4y-12=0,

412

•••yi+y-i=%，%丫2=-7

乃+乃+y/2=-4,

kk

1・k=2,

设PQ的中点QoJo)

•1•yo=1(%+为)=1，&=1(yo+3)=2,

••・线段PQ的垂直平分线的斜率为一%

故其直线方程为y-1=-1(x-2),

当y=0时，％=4.

解析：(1)根据抛物线的定义求出p的值，再根据抛物线的性质可得：|F4|=|,|FB|=2,|尸C|=*

即可证明，

(2)根据中点坐标公式求出PQ的中点坐标，即可求出线段尸。的垂直平分线方程，即可求出答案

本题考查抛物线的方程及抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查函数的单

调性与圆锥曲线的综合应用，考查计算能力，属于中档题.

22.答案：解:(1)曲线C的极坐标方程为=mcosdfm>0),BPp2sin20=mpcos0(m>0),

可得直角坐标方程：

y2—mx(m>0).

X-+V2T

-22

过点P(-2,-4)且倾斜角为第勺直线/参数方程为:(t为参数).

y-+V2T

消去参数化为普通方程：y=x-2.

(2)把直线I的方程代入曲线C的方程为：t?一72(m+8)t+4(m+8)=0.

则ti+12=+8)，•*2=4(/n+8).

222

V\AP\'\BP\=IBAI,It,-t2\=(ti-t2),化为：5t1-t2=(t1+t2),

20(m+8)=2(m+8)2,m>0,解得m=2.

解析：(1)曲线。的极坐标方程为ps)=mcosO(?n>0),BPp2sin20=mpcosdfm>0),利用互

X-+VT2