离散型随机变量的方差优秀教学设计

2.3离散型随机变量的方差【课题】：2.3离散型随机变量的方差【教学时间】：高二下学期【学情分析】：(适用于平行班)教学对象是高二理科学生，学生已经初步学会利用离散型随机变量均值解决实际问题。本课时要结合均值的概念讲解方差的概念，与均值进行对比和联系，要通过具体的例题讲清求方差的一般步骤。本节课的教学难点是复杂的方差问题的求解，在教学中要加强对学生运算能力的培养。在教学中要注意和实际问题相结合，使学生真正理解方差的意义。【教学目标】：(1)通过实例使学生理解离散型随机变量均值的定义；(2)会运用方差解决实际问题。【教学重点】：.离散型随机方差的定义；.离散型随机变量方差的求法；.运用方差解决实际问题。【教学难点】：.复杂的方差问题的求解，；.运用均值解决实际问题。【教学突破点】：通过一个实际问题结合均值引入均值，与均值进行对比和联系，帮助学生理解方差的定义；通过对典型例题的分析，使学生掌握运用解决问题的方法和步骤。【教法、学法设计】：在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展具体的实际例子，使得内容更为丰富.教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图及师生活动一、设问引入思考探究：要从两名学生中挑出-名，代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 X1~B(10,0.8),第一名同学击中目标靶的环数X2—Y+4,其中Y~B(5,0.8)。请问应该派哪名同学参赛？利用二项分布均值的计算公式，有EX1=10父0.8=8,EX2=EY+4=5父0.8+4=8这说明两名学生的平均射击水平没有差异。思考：除用均值外，还有其他可以刻画两名学生射击特点的指标吗？比较分布列图，可以发现：第二名同学的射击成绩更集中于 8环，即第二名同学的射击成绩更稳定。引入新知：能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性？教师提出问题，引导学生回忆上节课内容.引导学生与反映样本数据的指标相类比，并将分布列用柱形图表不出来，帮助学生观察对比二、探究新知1、离散型随机变量方差的定义一般地，若离散型随机变量X的分布列为

XX1X2…Xi…XnPP1P2…Pi…Pn则(Xi-EX)2描述了相对于均值EX的偏离程度。而nDX=£(xi-EX)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 XiW与其均值EX的偏离程度。称DX为随机变量X的方差，其算术平方根JDX为随机变量X的标准方差，记作(TX.注意：.随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. 方差越小，稳定性越高，波动越小。 推导过程不要求掌.随机变量的方差是常数，样本方差是变量，随着样本容量的增加， 握样本方差越来越接近于总体方差.2、离散型随机变量均值的性质D(aX+b)=a2DX练习1.已知随机变量X的分布列是X01234P0.20.20.30.20.1试求(1)DX;(2)D (2X-1)解析：(1)EX=00,210.2 20.330.240.1=1.8_ 2_ 2__2 2DX=(0-1.8) 0,2(1-1.8) 0,2(2-1.8) 0,3(3-1.8)20.2(4-1.8)20.1=1.56(2)D(2X-1)=4DX=41.56=6.24练习2.设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再放回。若以I表示取出次品的个数，求I的期望和方差.分析：首先求出各种情况的概率，写出概率分布，注意零件取后不放回.2235C2235P(-=。)=才C151 2解;小心『最P(=2)=C；C；3C；51 2解;小心『最P(=2)=C；C；3C；5135推导过程不要求掌握故E的分布列是012P22351235135e 22 12 1 2EU=0m——+1x——+2m——=_35 35 35 5社 22 22 22 12 22 1 52Dt=(0—―)黑一+(1—―)M_+(2__)黑一=一5 35 5 35 5 35 175练习3.已知随机变量 七的数学期望为 EE,方差为DE,随机变量一E-e^ ..”=一，则的值为()w… 之一EM 1 、2 … 乜、,解析：Dn=D(।_)=(^^)2，D代-eO=1wJdU归纳求力差的步骤：(1)根据题意找出随机变量(2)求出分布列(3)运用公式求出数学期望(4)求出方差3、特殊分布的均值(1)若X服从两点分步，则DX=p(1—p)(2)若X〜(n,p),则DX=np(1—p)三、例题分析例1.已知某运动员投篮命中率为 p=0.6(1)求一次投篮命中次数 E的期望和力差(2)求重复5次投篮时，命中次数Y］的期望和方差分析：投篮一次可能投中，也可能不中，命中次数E服从两点分布；重复5次投篮，每次命中的概率都是一样的，所以命中次数刀服从二项分布.解：(1)一次投篮命中次数E服从两点分布E-=p=0.6D。p(1-p)=0.6^0.4=0.24(2) 重复5次投篮时，命中次数Y］服从二项分布，即。~B(5,0.6)En=5父0.6=3Dn=5父0.6父0.4=1.2例2.有甲乙两个单位都愿意聘请你 ，而你获得如下的信息：巩固知识，培养技能.甲单位/、同职位月工资 X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P0.40.30.20.120001400100018002000140010001800乙单位不同职位月工资X2/元获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，EX1=12000.414000.316000.218000.1=1400DX「(1200—1400)20.4(1400—1400)20.3(1600-1400)20.2(1800-1400)2.1=40000EX2=10000.414000.318000.220000.1=1400DX2=(1000-1400)20.4(1400-1400)20.3(1800-1400)20.2(2000-1400)2.1=112000因为，所以两家单位的工资平均水平相当，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；否则就选择乙单位.例3.若随机事件A在一次实验中发生的概率为 p(0<p<1),用随机变量E表示A在一次实验中发生的次数 .(1)求方差D之的最大值(2)求2D-12D.止1的最大值.E解：随机变量E的所有可能取值是0,1,并且有P(=0)-1-p,P(=1)-p2 1\2.1TOC\o"1-5"\h\z所以DX=p(1-p)= 2 40二p：二11当p=一时，有取大值为一42D-1 2(p-p2)-1 12-(2p )E p p1cc(2) 0：二p：二1.2p--22pTOC\o"1-5"\h\z1 2当2P=—，即p=J时取”=P 2四、小结离散随机变量方差的定义.样本方差和随机变量方差的区别与联系.随机变量方差的求法.随机变量方差的应用反思归纳五、课后练习与测试.已知随机变量七服从二项分布 E〜B(n,P),且EE=7,DE=6,则P^T()1111A.7B,6C,5D,4k― 、1A.设随机变量E的概率分布为P(卫=k尸p(1-p)(k=0,1),则EE、DE的值分别是( )A.0和1B.P和P2C.P和1—PD.P和(1—P)P.D(--D-)的值为()A.无法求B.0C.D-D.2D-.一牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染 ，已知疯牛发病的概率为0.02,若发病的牛数为X头，则DX=()A.0.2B,0.196C,0.8D,0.812TOC\o"1-5"\h\z.已知随机变量的的分布列为 nn 「2 0则DE等于（） P0.4 0.2 0.4A.0B.0.8C.2 D.1.某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，据资料统计，经营甲商品获利2万元的概率为0.4,获利3万元的概率为0.3,亏损1万元的概率为0.3;经营乙商品获利2万元的概率为0.6,获利4万元的概率为0.2,亏损2万元的概率为0.2,则投资者应经营商品•.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为 0.6,现在共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目 E的期望为.设一次实验成功的概率为 p,进行100次独立重复实验，当P=时，成功次数的标准差最大，最大值是 ,.有10张卡片，其中8张标有数字2,有2张标有数字5,从中随即地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为随机变量 求EE、D匕.A、B两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同，已知A、B两个方案至少一个成功的概率为 0.36,(1)求两个方案均获成功的概率；(2)设试验成功的方案的个数为随机变量 匕求E的分布列及数学期望..设E是一个离散型岁随机变量，其分布列如下表，试求E：D上

-101P121-2qq212.由以往的统计资料表明，甲乙两运动员在比赛中得分情况如下:。（甲得分）012p0.20.50.3b（乙得分）012P0.30.20.5现有一场比赛，派哪位运动员参加比较好？答案：l.A2.D 3.C 4.B 5.B 6.乙7.2.3716 8.2,59.解：由题意可知， 七的可能取值为2+2+2=6,2+2+5=9,2+5+5=12P(=6)=P(=6)=109815TOC\o"1-5"\h\z87 2 7P(=9)：一一 一 3二一109 8 158 2 1 Q 1P(=12)= 3=—1098 15所以H的分布列为6912P771151515TOC\o"1-5"\h\z7 7 1E=6.一—9—--12 7.815 15 15_ 2 7 2 7 2 1D； =(6-7.8)2 '- -^(9-7.8)2——一(12-7.8)2 -1 3.3615 15 1510.(1)设A方案和B方案独立进行科学实验成功的概率都为 x，则A,B方案在实验中都未能成功的概率为 (1-x)2

1_(1_x)2=0.36所以x=0.2;两种方案均获成功的概率为0.2*;60工(2)试验成功的方案种数S的分布列为012P0.640,320,04EE匚nX0.64+1Ma32+£X0.04=6丸11.解；根据离散型随机变量分布列的性质 ，可得1 2-(1-2q)q2=12解得2解得q=1_220<1-2q<1q2<1所以n的分布列为-101P12V2-13.贝2E工=-1x1+0X(J2—1)+1X(3—72)=1_'万2 2D=[-1-(1-、2)]21 (1-\2)2(.2-1